Обратите внимание, что при вводе формулы в виде суммы дробей – сначала необходимо ввести все числители, а затем знаменатели.

MathCAD.

Многие математические системы создавались исходя из предположения, что пользователь будет решать свои задачи, практически не занимаясь программированием. Однако подобный путь имеет недостатки. Ведь многие задачи нуждаются в развитых средствах программирования, которые упрощают запись алгоритмов задач. (Дьяконов) MathCAD создавался как инструмент решения широкого круга задач для тех, кто не программирует. Главной отличительной особенностью MathCAD является привычный по учебникам математики вид записи математических выражений.

MathCAD в современном виде не предназначен для программирования сложных задач — для этого есть система MatLAB, языки программирования. MathCAD создавался как мощный микрокалькулятор, позволяющий легко справляться с рутинными задачами инженерной практики, ежедневно встречающимися в работе: решение алгебраических или дифференциальных уравнений с постоянными и переменными параметрами; анализ функций, поиск их экстремумов; численное и аналитическое дифференцирование и интегрирование; вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.

Главными достоинствами MathCAD являются легкость и наглядность программирования задачи, отображение сложных математических выражений в том виде, в каком они обычно записываются на листе бумаги, то есть отсутствие специального языка программирования, простота использования, возможность создания средствами MathCAD высококачественных технических отчетов с таблицами, графиками и текстом.

Пять типов решаемых задач. При всем разнообразии задач, решаемых в рамках различных научно-технических дисциплин их можно свести к пяти основным типам: моделированию, расчету, анализу, оптимизации и синтезу.

Моделирование сводится к описанию работы устройства с помощью матрицы, уравнения, формулы, графика или таблицы. Такая математическая модель должна, с одной стороны, с требуемой точностью отражать физические процессы в исследуемом объекте, а с другой – быть пригодной для использования на компьютере. В одних случаях математическая модель является результатом аналитического или численного анализа физической модели объекта, в других – экспериментальных исследований. Обработка, в том числе и статистическая, имеющегося массива данных, характеризующего работу устройства, также проводится с помощью компьютера. Работа объекта исследования может быть определена также в виде его отклика или реакции на входное воздействие без проникновения в сущность физических процессов, протекающих внутри устройства. В таком случае с помощью математической модели описываются только внешние свойства исследуемого объекта и поэтому модель может быть названа феноменологической.

При написании программы на MathCAD математические выражения, моделирующие устройство или некоторый процесс, обычно располагают в начале ядра программы.

Расчет состоит в определении параметров или характеристик устройства с использованием его математической модели. На основании определенных зависимостей составляется алгоритм, позволяющий найти отклик объекта при его неизменной структуре и фиксированных внутренних параметрах на внешнее воздействие. В результате составляются методики расчета параметров и характеристики самых разнообразных устройств.

Анализ заключается в определении отклика объекта на изменение его внутренних параметров или внешнего воздействия, в исследовании процессов, протекающих в устройстве.

Оптимизация состоит в определении такой комбинации значений внутренних параметров устройства при его неизменной структуре, при которых одна или несколько внешних характеристик или параметров объекта имеют наилучшие значения согласно выбранному критерию. При этом составляется функция цели, в концентрированной форме отражающая конечный смысл решаемой задачи: поиск оптимальной характеристики объекта с учетом определенных ограничений. Сам поиск глобального минимума и максимума функции цели, в зависимости от характера решаемой задачи, осуществляется по нескольким методам, составляющим предмет нелинейного программирования. Практическая реализация второго пути, требующая огромного объема вычислений, возможна только с применением компьютера. Например, следует разработать конструкцию автомобиля, расходующего минимальное количество топлива на 100 км пробега, при соблюдении ряда условий: грузоподъемности, маневренности, условий безопасности, комфортабельности и т.п.

Синтез состоит в определении структуры проектируемого объекта и значений параметров его элементов, при которых устройство наилучшим образом согласно выбранному критерию отвечает необходимым требованиям. Из сказанного следует: оптимизацию можно рассматривать как частный случай синтеза. Более того, с перебором нескольких, наиболее подходящих для рассматриваемого случая структур объекта, практически смыкается с синтезам. Поэтому оптимизацию называют также параметрическим синтезом.

По объему проводимых вычислений все пять задач можно разбить на две основные группы:

1) расчет одного варианта (например, следует рассчитать массу некоторой конструкции заданной формы, изготовленной из определенного материала);

2) расчет множества вариантов при решении большинства практических задач (например, при расчете траектории полета ракеты или экономическом анализе).

Вне зависимости от сложности составляемой специализированной рабочей программы она включает обычно три основные раздела:

1) исходные данные в виде записи констант в табличной форме, логических или иных соотношений;

2) ядро программы – последовательная запись математических выражений: функций, алгебраических или дифференциальных уравнений, интегралов, матриц и т.п. – в рамках определенного алгоритма решения поставленной задачи, связанной с вычислениями;

3) результат решения в виде числа, таблицы, графика или символьного выражения.

 

Интерфейс MathCAD

Интерфейс системы (программы) напоминает интерфейс программ Microsoft Office. С назначение элемента можно ознакомиться, установив на соответствующий элемент курсор мыши и задержав его на пару секунд.

Сразу после запуска программа готова к созданию документа с необходимыми пользователю вычислениями.

Верхняя строка – титульная. Она отображает название документа, с которым в данный момент работает пользователь. В левой части верхней строки помещены стандартные кнопки: для свертывания окна, перехода к многооконному режиму и закрытия программы.

Основную часть экрана занимает окно редактирования, первоначально пустое. Курсор имеет вид красного крестика. Линейки прокрутки на нижней и правой кромках текущего окна предназначены для перемещения изображения на экране.

При нажатии правой кнопки мыши появляется контекстное меню. Позиции этого меню зависят от того, в каком режиме работает система и куда был установлен курсор мыши.

Главное меню – осуществляет полное управление всеми процессами, позволяет выполнить все команды системы.

File – работа с файлами

Edit – редактирование документов

View – изменение средcтв обзора и вкл/выкл элементов интерфейса

Insert – вставка различных объектов

Format – изменение формата (параметров) объектов

Tools – управление процессом вычислений

Symbolic – операции символьного процессора

Window – управление окнами

Help – справка

Панели инструментов служат для быстрого выполнения команд. Стандартная панель инструментов (Standart) служит для выполнения действий с файлами, редактирования документов, вставки объектов и т.п. Панель форматирование (Formatting) предназначена для форматирования текста и формул. Панель математика (Mach) служит для вставки математических символов и операторов. Панель дополнительные ресурсы (Recources) содержит список электронных книг, включенных в оболочку Mathcad.

Открыть или закрыть панели инструментов можно с помощью главного меню View-Toolbars.

Панель математика содержит следующие кнопки, нажатие на которые проводит к раскрытию следующих панелей инструментов:

Редакторы MathCAD

Фактически MathCAD интегрирует в себе три редактора: текстовый, формульный и графический. Возможны два типа вычисления в среде MathCAD, осуществляемые с помощью формульного редактора: численный и символьный. При первом – результат получается в виде числа, при втором – в форме математического выражения. Результаты расчетов могут быть представлены в виде числа, выражения (символьной форме), таблицы, графика.

Для входа в текстовый редактор достаточно ввести символ «или просто начать набор текста. При этом появляется прямоугольник, в который можно вводить текст. Курсор имеет вид красной вертикальной четы. Текст редактируется общепринятыми средствами. Для выхода из редактора необходимо указать мышью вне текстового поля.

Формулы вводят с помощью символов клавиатуры и панелей инструментов. При работе с формулами удобно использовать шаблоны. Позиции для ввода данных на шаблоне имеют вид черных квадратов. В области формул курсов превращается в синий уголок, который можно перемещать по формуле с помощью мыши или стрелок на клавиатуре.

Для того, чтобы переместить формулу в документе на нее наводят курсор мыши (должен иметь вид меленькой черной ручки).

Простейшие приемы работы.

В простейшем случае работа с программой сводиться к подготовке в окне редактирования задания на вычисления и установке форматов для их результатов.

Общение пользователя с MathCAD происходит на некотором промежуточном математически ориентированном языке программирования – входном языке. Многие математические записи в этом языке вводятся просто выбором (и последующим заполнением) шаблонов соответствующих операторов и функций.

Операторы – специальные символы, указывающие на выполнение тех или иных операций над данными – операндами. Операнды могут быть представлены константами или переменными – объектами с именами, хранящими данные определенного типа и значения.

MathCAD вычисляет выражения слева направо и сверху вниз.

Алфавит и словарь языка

Алфавит языка содержит малые и большие латинские и греческие буквы, арабские цифры (от 0 до 9), идентификаторы системных переменных, операторы, имена встроенных функций, специальные знаки.

Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха, символа процента и включать в себя пробелы. MathCAD воспринимает прописные и строчные буквы как различные идентификаторы, не делает различий между именами функций и переменных. Имена, используемые MathCAD для встроенных констант, единиц измерений и функций можно переопределить. Но следует учитывать, что это изменить их значения в используемой программе. Для того чтобы записать индекс в имени – записываем имя переменной, потом ставим точку и пишем индекс (следует отличать от индексов элементов массивов).

Арифметические операторы.

Знаки этих операторов находятся на панели инструментов Math-Calculator. Операторы предназначены для выполнения арифметических действий над операндами и конструирования математических выражений. Знак возведения в степень ^ (крышечка), на экране степень отражается в виде верхнего индекса.

Для работы с комплексными величинами необходимо ввести объявление мнимой единицы ().

Работа с функциями.

Встроенные функции задаются именем и значением аргумента в круглых скобках. Аргумент может быть действительным или комплексным числом. В MathCAD существуют встроенные тригонометрические, гиперболические, показательные, логарифмические, статистические и др. функции. Для выбора функции на стандартной панели инструментов есть кнопка f(x). Появляется диалоговое окно, аналогичное окну функций в программе Excel.

Следует отметить, что принцип разбиения функций по группам или категориям в некоторых случаях представляется спорным. Поэтому при выборе функции полезно обращать внимание на поле с названием функции и краткую справку по выбранной функции. При этом следует иметь в виду, что очень часто встроенные функции MathCAD, по сравнению с их математическими двойниками, имеют некоторые особенности определения (например, ограниченная область определения и т.п.).

В MathCAD можно создать функции пользователя, если необходимо многократно вычислять одно и то же выражение. Чтобы определить функцию пользователя, необходимо ввести ее название, а в скобках после названия указать аргумент или аргументы через запятую. После этого вводится оператор присваивания и выражение, которым задается функция. В выражении для функции должны присутствовать аргументы функции, а также могут быть другие переменные, которые следует предварительно инициализировать. Все величины из правой части функции должны быть заданы левее и выше задания функции пользователя. Чтобы узнать значение функции для какого-либо конкретного значения аргумента, функция вызывается с этим значением аргумента и после нее указывается знак равенства.

 

Решение уравнений

Given

Уравнения [и ограничения]

Выражения с функциями Find или Minerr

Функция Find используется, когда решение реально существует, функция Minerr пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению. При вводе системы уравнений используется оператор = (логический).

Пример программы решения системы ДУ.

Программирование в MathCAD

В MathCAD имеется специальная панель инструментов для ввода программных модулей. Программный модуль выделяется в тексте документа вертикальной жирной чертой.

Построение графиков.

График должен располагаться ниже формулы, задающей его. Удаление, копирование и перенос графиков осуществляется по той же методике, что и математических выражений. Изменение размера графика осуществляется путем протаскивания курсора, установленного на обрамляющей его рамке.

Создание графика осуществляется командой Insert-Graph или с помощью панели инструментов Graph.

Трехмерные графики.

В MathCAD можно создавать график-поверхность, в том числе заданный в параметрической форме, контурный график, трехмерную гистограмму, трехмерный график рассеяния, трехмерный график векторного поля. Для изменения параметров графика используют операцию установки формата графика (угла поворота, заливки и т.п.)

Построение графиков поверхностей и линий уровня Z(X,Y) сводится к определению матрицы М значений, в которой строкам и столбцам соответствуют определенные значения X и Y, а величина элемента определяется координатой Z(X,Y). Эта матрица называется матрицей аппликат поверхности. При построении масштабы по осям X и Y не проставляются, можно вывести только порядковые номера элементов матрица аппликат.

Параметрические графики.

Параметрическое задание функции означает, что каждая из координат является функцией от независимых параметров (или параметра, например, времени). При построении параметрических графиков сначала задаем зависимости координат от параметров. Затем выбираем команду Insert-Graph-Surfase Plot и в области создания графика вводим в круглых скобках названия трех координат, разделенные запятыми.

Аппроксимация функций.

При решении многих задач исходная функция задается в табличной форме или по точкам (например, результаты экспериментальных исследований). Для дальнейшего анализа необходимо знать значение функции при любом значении аргумента, для этого служит процедура аппроксимации. При определении функции между узловыми точками аппроксимация называется интерполяцией.

MathCAD располагает двумя видами такой интерполяции: кусочно-линейной и сплайновой.

Пусть исходная функция, заданная по точкам, записана в виде, Y(X). Тогда функция W:=cspline(X,Y) возвращает вектор вторых производных W при приближении в узловых точках к кубическому полиному. Вторая функция Z(x):=interp(W,X,Y,x) возвращает значения функции Z(x), которая аппроксимирует исходную, дискретно заданную функцию Y(X), при любом заданном значении аргумента х между узловыми точками. В узловых точках значения функций Y(X) и Z(x) совпадают.

 

 

 

 

 

Литература.

1. Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и MathCAD. – М.: Горячая линия – Телеком, 2003. – 328с.
2. Плис А.И.. Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: Учебное пособие. – 2-е изд.. перераб.и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. - 656с.
3. Васильев А.Н. MathCAD 13 в примерах. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 528с.
4. Макаров Е.Г. MathCAD: Учебный курс(+СD). – СПб.: Питер, 2009. – 384с.

 

 

MathCAD.

Многие математические системы создавались исходя из предположения, что пользователь будет решать свои задачи, практически не занимаясь программированием. Однако подобный путь имеет недостатки. Ведь многие задачи нуждаются в развитых средствах программирования, которые упрощают запись алгоритмов задач. (Дьяконов) MathCAD создавался как инструмент решения широкого круга задач для тех, кто не программирует. Главной отличительной особенностью MathCAD является привычный по учебникам математики вид записи математических выражений.

MathCAD в современном виде не предназначен для программирования сложных задач — для этого есть система MatLAB, языки программирования. MathCAD создавался как мощный микрокалькулятор, позволяющий легко справляться с рутинными задачами инженерной практики, ежедневно встречающимися в работе: решение алгебраических или дифференциальных уравнений с постоянными и переменными параметрами; анализ функций, поиск их экстремумов; численное и аналитическое дифференцирование и интегрирование; вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.

Главными достоинствами MathCAD являются легкость и наглядность программирования задачи, отображение сложных математических выражений в том виде, в каком они обычно записываются на листе бумаги, то есть отсутствие специального языка программирования, простота использования, возможность создания средствами MathCAD высококачественных технических отчетов с таблицами, графиками и текстом.

Пять типов решаемых задач. При всем разнообразии задач, решаемых в рамках различных научно-технических дисциплин их можно свести к пяти основным типам: моделированию, расчету, анализу, оптимизации и синтезу.

Моделирование сводится к описанию работы устройства с помощью матрицы, уравнения, формулы, графика или таблицы. Такая математическая модель должна, с одной стороны, с требуемой точностью отражать физические процессы в исследуемом объекте, а с другой – быть пригодной для использования на компьютере. В одних случаях математическая модель является результатом аналитического или численного анализа физической модели объекта, в других – экспериментальных исследований. Обработка, в том числе и статистическая, имеющегося массива данных, характеризующего работу устройства, также проводится с помощью компьютера. Работа объекта исследования может быть определена также в виде его отклика или реакции на входное воздействие без проникновения в сущность физических процессов, протекающих внутри устройства. В таком случае с помощью математической модели описываются только внешние свойства исследуемого объекта и поэтому модель может быть названа феноменологической.

При написании программы на MathCAD математические выражения, моделирующие устройство или некоторый процесс, обычно располагают в начале ядра программы.

Расчет состоит в определении параметров или характеристик устройства с использованием его математической модели. На основании определенных зависимостей составляется алгоритм, позволяющий найти отклик объекта при его неизменной структуре и фиксированных внутренних параметрах на внешнее воздействие. В результате составляются методики расчета параметров и характеристики самых разнообразных устройств.

Анализ заключается в определении отклика объекта на изменение его внутренних параметров или внешнего воздействия, в исследовании процессов, протекающих в устройстве.

Оптимизация состоит в определении такой комбинации значений внутренних параметров устройства при его неизменной структуре, при которых одна или несколько внешних характеристик или параметров объекта имеют наилучшие значения согласно выбранному критерию. При этом составляется функция цели, в концентрированной форме отражающая конечный смысл решаемой задачи: поиск оптимальной характеристики объекта с учетом определенных ограничений. Сам поиск глобального минимума и максимума функции цели, в зависимости от характера решаемой задачи, осуществляется по нескольким методам, составляющим предмет нелинейного программирования. Практическая реализация второго пути, требующая огромного объема вычислений, возможна только с применением компьютера. Например, следует разработать конструкцию автомобиля, расходующего минимальное количество топлива на 100 км пробега, при соблюдении ряда условий: грузоподъемности, маневренности, условий безопасности, комфортабельности и т.п.

Синтез состоит в определении структуры проектируемого объекта и значений параметров его элементов, при которых устройство наилучшим образом согласно выбранному критерию отвечает необходимым требованиям. Из сказанного следует: оптимизацию можно рассматривать как частный случай синтеза. Более того, с перебором нескольких, наиболее подходящих для рассматриваемого случая структур объекта, практически смыкается с синтезам. Поэтому оптимизацию называют также параметрическим синтезом.

По объему проводимых вычислений все пять задач можно разбить на две основные группы:

1) расчет одного варианта (например, следует рассчитать массу некоторой конструкции заданной формы, изготовленной из определенного материала);

2) расчет множества вариантов при решении большинства практических задач (например, при расчете траектории полета ракеты или экономическом анализе).

Вне зависимости от сложности составляемой специализированной рабочей программы она включает обычно три основные раздела:

1) исходные данные в виде записи констант в табличной форме, логических или иных соотношений;

2) ядро программы – последовательная запись математических выражений: функций, алгебраических или дифференциальных уравнений, интегралов, матриц и т.п. – в рамках определенного алгоритма решения поставленной задачи, связанной с вычислениями;

3) результат решения в виде числа, таблицы, графика или символьного выражения.

 

Интерфейс MathCAD

Интерфейс системы (программы) напоминает интерфейс программ Microsoft Office. С назначение элемента можно ознакомиться, установив на соответствующий элемент курсор мыши и задержав его на пару секунд.

Сразу после запуска программа готова к созданию документа с необходимыми пользователю вычислениями.

Верхняя строка – титульная. Она отображает название документа, с которым в данный момент работает пользователь. В левой части верхней строки помещены стандартные кнопки: для свертывания окна, перехода к многооконному режиму и закрытия программы.

Основную часть экрана занимает окно редактирования, первоначально пустое. Курсор имеет вид красного крестика. Линейки прокрутки на нижней и правой кромках текущего окна предназначены для перемещения изображения на экране.

При нажатии правой кнопки мыши появляется контекстное меню. Позиции этого меню зависят от того, в каком режиме работает система и куда был установлен курсор мыши.

Главное меню – осуществляет полное управление всеми процессами, позволяет выполнить все команды системы.

File – работа с файлами

Edit – редактирование документов

View – изменение средcтв обзора и вкл/выкл элементов интерфейса

Insert – вставка различных объектов

Format – изменение формата (параметров) объектов

Tools – управление процессом вычислений

Symbolic – операции символьного процессора

Window – управление окнами

Help – справка

Панели инструментов служат для быстрого выполнения команд. Стандартная панель инструментов (Standart) служит для выполнения действий с файлами, редактирования документов, вставки объектов и т.п. Панель форматирование (Formatting) предназначена для форматирования текста и формул. Панель математика (Mach) служит для вставки математических символов и операторов. Панель дополнительные ресурсы (Recources) содержит список электронных книг, включенных в оболочку Mathcad.

Открыть или закрыть панели инструментов можно с помощью главного меню View-Toolbars.

Панель математика содержит следующие кнопки, нажатие на которые проводит к раскрытию следующих панелей инструментов:

Редакторы MathCAD

Фактически MathCAD интегрирует в себе три редактора: текстовый, формульный и графический. Возможны два типа вычисления в среде MathCAD, осуществляемые с помощью формульного редактора: численный и символьный. При первом – результат получается в виде числа, при втором – в форме математического выражения. Результаты расчетов могут быть представлены в виде числа, выражения (символьной форме), таблицы, графика.

Для входа в текстовый редактор достаточно ввести символ «или просто начать набор текста. При этом появляется прямоугольник, в который можно вводить текст. Курсор имеет вид красной вертикальной четы. Текст редактируется общепринятыми средствами. Для выхода из редактора необходимо указать мышью вне текстового поля.

Формулы вводят с помощью символов клавиатуры и панелей инструментов. При работе с формулами удобно использовать шаблоны. Позиции для ввода данных на шаблоне имеют вид черных квадратов. В области формул курсов превращается в синий уголок, который можно перемещать по формуле с помощью мыши или стрелок на клавиатуре.

Для того, чтобы переместить формулу в документе на нее наводят курсор мыши (должен иметь вид меленькой черной ручки).

Обратите внимание, что при вводе формулы в виде суммы дробей – сначала необходимо ввести все числители, а затем знаменатели.

Для построения графиков используются шаблоны из главного меню Insert-Graph. График должен располагаться ниже формулы, по которой он строится.

Удаление, копирование и перенос графиков осуществляется по той же методике, что и математических выражений. Изменение размера графика осуществляется путем протаскивания курсора, установленного на обрамляющей его рамке.

 

Простейшие приемы работы.

В простейшем случае работа с программой сводиться к подготовке в окне редактирования задания на вычисления и установке форматов для их результатов.

Общение пользователя с MathCAD происходит на некотором промежуточном математически ориентированном языке программирования – входном языке. Многие математические записи в этом языке вводятся просто выбором (и последующим заполнением) шаблонов соответствующих операторов и функций.

Операторы – специальные символы, указывающие на выполнение тех или иных операций над данными – операндами. Операнды могут быть представлены константами или переменными – объектами с именами, хранящими данные определенного типа и значения.

MathCAD вычисляет выражения слева направо и сверху вниз.

Алфавит и словарь языка

Алфавит языка содержит малые и большие латинские и греческие буквы, арабские цифры (от 0 до 9), идентификаторы системных переменных, операторы, имена встроенных функций, специальные знаки.

Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха, символа процента и включать в себя пробелы. MathCAD воспринимает прописные и строчные буквы как различные идентификаторы, не делает различий между именами функций и переменных. Имена, используемые MathCAD для встроенных констант, единиц измерений и функций можно переопределить. Но следует учитывать, что это изменить их значения в используемой программе. Для того чтобы записать индекс в имени – записываем имя переменной, потом ставим точку и пишем индекс (следует отличать от индексов элементов массивов).