Квантово-механическое описание атома.

Несмотря на успех планетарной модели атома водорода, предложенной датским физиком Н. Бором, она имеет лишь ограниченное значение, и на ее основе не может быть объяснена вся совокупность атомных и молекулярных явлений. Это стало возможным лишь на основе квантово-механических представлений о поведении электрона в атоме. Современная теория атома строится на базе волновой концепции австрийского физика Э. Шредингера, точнее – на основе волнового уравнения, описывающего состояние электрона в атоме.

Принимая в расчет корпускулярно-волновой дуализм электрона и другие накопленные наукой знания об атоме, Э. Шредингер выдвинул концепцию о том, что движение электрона в атоме может быть описано волновым уравнением с граничными условиями. В качестве таковых предположено равенство нулю волновой функции при нулевой и при бесконечной координате электрона относительно ядра. Вводя в уравнение стоячей волны соотношение де Бройля и выражение для кинетической энергии, а также производя необходимые математические преобразования, можно получить так называемое волновое уравнение Шредингера. Для того, чтобы отличать волновую функцию от амплитуды осциллятора, ей присвоено обозначение Y:

 

Ѳ _x,y,zY + (8p²m_e / h² )·(E – E_п) · Y = 0. (5)

 

Здесь Ѳ_x,y,z ^_ математический оператор Лапласа, предусматривающий двукратное дифференцирование функции по трем координатам x, y и z; m_e – масса электрона; h – постоянная Планка; E и E_n - общая и потенциальная энергии электрона.

Упрощенно, с использованием математического оператора Гамильтона ℋ, это уравнение может быть представлено как:

 

ℋΨ = ЕΨ. (6)

 

Волновая функция

Ключевым понятием современной теории атома является волновая функция Y. Волновая функция представляет собой некоторую характеристику электрона, определяющую состояние электрона в атоме, включая пространственную конфигурацию орбитали и энергию электрона.

Поскольку атом, по крайней мере, атом водорода, представляется сферической частицей, то удобно находить решение волновой функции не в ортогональных, а в сферических, полярных координатах, где положение частицы задается расстоянием (r) до нее от начала координат и двумя угловыми координатами – углами азимута (θ) и склонения (φ).

В полярных координатах волновая функция может быть представлена в виде произведения трех составляющих:

 

Y = R(r)·Θ(θ)·Φ(φ), (7)

 

где R(r) - радиальная компонента волновой функции; Θ(θ) и Φ(φ) – угловые компоненты волновой функции.

Волновая функция для 1s орбитали атома водорода имеет вид:

___

Y = e ^–r / √ π. (8)

 

Очевидно, это – экспоненциальная функция относительно расстояния электрона от ядра. Таким образом, решить волновое уравнение Шредингера относительно волновой функции означает найти вид этой функции.

Согласно современным представлениям, собственно волновая функция физического смысла не имеет, имеет смысл лишь ее квадрат Y ², точнее, произведение собственно волновой функции и функции, комплексно сопряженной ей: Y·Y^*. Эта величина определяет вероятность (Р) нахождения электрона в элементарном объеме на том или ином расстоянии (r) от ядра:

 

Р(r) = Y·Y^* · d V = Y·Y^*· 4pr² dr. (9)

 

Под размером атома понимается размер той области пространства, вероятность обнаружить электрон внутри которой равна заранее заданной величине. Обычно задается 90 % вероятность.

 

Квантовые числа

 

В решении для радиальной составляющей R(r) появляются два числа n и l, имеющие целочисленные значения. Математическая связь между ними требует выполнения условия: (n – l – 1) ≥ 0, т.е. l £ n – 1.

Число n названо главным квантовым числом, оно принимает значения 1, 2, 3, 4 и так далее. Число l – это орбитальное число, значения его: 0, 1, 2, 3 и так далее.

Угловая составляющая волновой функции Θ(θ) включает в себя орбитальное квантовое число l и еще одно – m _l, названное магнитным. Связь между ними дается неравенством: │ m _l │ £ l. Например, при l = 1 квантовое число m _l может принимать три значения: –1, 0, +1.

Угловая составляющая волновой функции Φ(φ) включает в себя только магнитное квантовое число m _l.

Таким образом, набор из трех квантовых чисел однозначно определяет вид волновой функции и, следовательно, состояние электрона в атоме.

Главное квантовое число n определяет энергию электрона, см. формулу (2), а также задает размер электронного облака.

Орбитальное квантовое число l определяет пространственную конфигурацию электронной орбитали и задает число узловых поверхностей, проходящих через центр атома (на узловой поверхности вероятность обнаружить электрон равна 0).

Орбитальное квантовое число может принимать значения l = 0, 1, 2, 3...

Значение l = 0 соответствует сферическим орбиталям 1s, 2s, 3s, 4s...

Значение l = 1 соответствует гантелеобразным орбиталям 2p, 3p, 4p...

Значение l = 2 соответствует орбиталям более сложной формы 3d, 4d, 5d и т.д.

 

Магнитное квантовое число m _l определяет проекцию магнитного момента электрона как движущейся заряженной частицы на каждую из координатных осей и, следовательно, отклик атома на приложение внешнего электромагнитного поля.

Каждая орбиталь может быть охарактеризована своим единственным набором трех квантовых чисел:

 

ì n = 3 ì n = 5

3s: í l = 0 5d: í l = 2

î m _l = 0 î m _l = -2, -1, 0, +1, +2.

 

Таким образом, 3s орбиталей может быть только одна, а 5d – пять и только пять.