Синтез лінійної безперервної частини системи управління

Розглянемо розрахунок динамічної системи автоматичного управління із заданими показниками якості на конкретному прикладі.

Нехай структурна схема суднової системи управління має вигляд:

 

− задаюча дія; − вихідна величина системи управління.

 

Передаточні функції структурних елементів суднової системи управління:

Значення параметрів системи:

Задані якісні показники системи:

Необхідно розрахувати корегуючий пристрій, що забезпечував би заданій судновій системі управління, необхідні якісні показники. Виходячи з цього, структурна схема проектованої суднової системи управління матиме вигляд:

 

− передаточна функція корегуючого пристрою; − передаточна функція розімкненої нескорегованої (заданої) системи управління.

 

2.1.1 Приведення структурної схеми до робочого вигляду

У початковій структурній схемі слід замінити кожен коефіцієнт його конкретним виглядом, відповідно до завдання. Така структурна схема вважатиметься базовою при виконанні першої частини роботи.

Разом з базовою структурною схемою буде необхідна інша, яка береться за робочу, вона матиме вигляд:

 

Рис. 12 – Робоча структурна схема

 

Де − передаточна функція розімкненої системи. Перехід від початкової структурної схеми до робочої здійснюється шляхом застосування правил структурних перетворень.

Розглянемо розімкнену систему:

 

Рис. 13 – Розімкнена початкова схема

 

Таким чином, передаточна функція розімкненої системи відповідно до правил структурних перетворень має вигляд:

 

Робоча структурна схема системи і канонічний запис передаточної функції розімкненої системи є початковою для подальших розрахунків частотним методом.

Передаточна функція замкнутої системи управління відповідно до робочої структурної схеми має вигляд:

 

 

За коренями характеристичного рівняння (знаменника отриманої передаточної функції) можна визначити стійкість початкової нескорегованої системи.

Так корені знаменника:

 

 

Оскільки два уявні корені знаменника мають дійсну частину більше нуля (останні менше нуля), то початкова нескорегована система є нестійкою. Нестійкість початкової системи показує і побудований в програмі Mathcad графік перехідного процесу (рис. 14).

 

2.1.2. Побудова ЛАЧХ початкової системи автоматичного управління.

За канонічним видом передаточної функції можна визначити зразковий вид логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ). Для цього необхідно знайти коефіцієнт підсилення і постійні часу з виразу для передаточної функції розімкненої системи (2.1.1).

 

Рис. 14 – Вид перехідного процесу в початковій (нескорегованій) замкнутій системі

 

Частоти, що сполучаються, визначаються із співвідношення :

 

 

Коефіцієнт підсилення на частоті дорівнюватиме:

 

 

Перед побудовою ЛАЧХ слід вибрати і розмістити систему координат. Тут потрібно мати на увазі наступне:

1) по осі ординат розбиття йде рівномірно, в децибелах:

0 дБ, 20 дБ, 40 дБ − вгору і -20 дБ, -40 дБ... – вниз.

2) по осі абсцис розбиття йде логарифмічне, але оцифрування в звичайному вигляді:...0,1 c^-1, 1 с^-1, 10 с^-1, 100 с^-1 і так далі.

3) початок осі координат рекомендується помістити в точку, віддалену на 3-4 декади ліворуч від самої найменшої частоти, що сполучає (яка відповідає максимальній постійній часу в канонічному записі передаточної функції розімкненої системи).

4) при побудові фазової характеристики вісь абсцис залишається тією ж самою, вісь ординат з початку системи координат прямує вниз, розбиття її рівномірне в градусах (від’ємних): 0 град, -90 град, -180 град і так далі.

Підставимо в передаточну функцію і запишемо її у вигляді:

 

 

Побудова ЛАЧХ проводиться наступним чином:

На частоті відкладаємо значення 20 lg (250) = 48 дБ та через цю точку проводимо пряму з нахилом , до частоти . Далі проводимо пряму з нахилом , що відповідає ланці до частоти . Далі пряма з нахилом , що відповідає ланці . Далі пряма з нахилом , що відповідає ланці .

Вид ЛАЧХ, побудованої в програмі Mathcad за канонічним виглядом передаточної функції, представлений на рис. 15.

Передаточна функція нескорегованої системи в канонічній формі має вигляд:

 

 

 

Рис. 15 – ЛАЧХ початкової нескорегованої САУ

 

Тоді фазова характеристика системи управління визначається за допомогою формули:

 

 

Таким чином, отримаємо:

 

 

Рис. 16 – Логарифмічна фазо-частотна характеристика нескорегованої САУ

2.1.3 Побудова бажаної ЛАЧХ САУ

Найбільш відповідальним етапом синтезу корегуючого пристрою є етап побудови бажаної ЛАЧХ. Він заснований на зв’язку перехідного процесу з дійсною частотною характеристикою замкнутої системи і ЛАЧХ розімкненої системи.

Для вибору корегуючих пристроїв за заданими показниками якості перехідного процесу необхідно мати в своєму розпорядженні частотні характеристики, які повинні бути побудовані відповідно до вимог, пред’явлених до динамічних властивостей системи. Процес побудови бажаних частотних характеристик в значній мірі спрощується, якщо існують залежності, що встановлюють зв’язок між основними параметрами частотних характеристик, з одного боку, і показниками якості процесу регулювання – з іншого. У довідковій літературі [3], [16] представлені характеристики часу регулювання і перерегулювання (рис. 8).

Сполучаючі частоти, що визначають тривалість середньочастотної ділянки, знаходяться виходячи із заданого запасу стійкості, який встановлюється за , виходячи з побудованого довідкового графіка.

Виходячи із заданої величини перерегулювання за номограмою (рис. 7, а) визначається і співвідношення для . За відомим заданим часом регулювання можна визначити мінімальну циклічну частоту :

 

.

 

За відомим співвідношенням визначається частота зрізу :

 

.

 

Отримані величини дозволяють побудувати низькочастотну і середньочастотну частини бажаної ЛАЧХ (БЛАЧХ). Виберемо злами БЛАЧХ на рівні 0.394 с^-1 та 188.049 с^-1. Таким чином, складові частини БЛАЧХ мають нахил 0: -20: -80 дБ/ дек.

Виходячи з властивості логарифмічної функції:

 

,

 

ЛАЧХ корегуючого пристрою може бути отримана за наступним виразом:

 

.

 

ЛАЧХ корегуючого пристрою, має нахили 0:-20:0:+40:+60:0 дБ/ дек. Всі характеристики будуються для розімкненої динамічної системи управління.

 

Рис. 17 – Графічне зображення ЛАЧХ початкової системи, БЛАЧХ і ЛАЧХ корегуючої ланки

 

2.1.4 Знаходження передаточної функції корегуючого пристрою

На підставі бажаної і початкової ЛАЧХ системи визначається ЛАЧХ послідовного корегуючого пристрою.

Якщо бажану передаточну функцію системи позначити через , передаточну функцію початкової системи (нескорегованої) − , а корегуючої ланки - , то можна записати наступний вираз:

 

,

 

звідки

 

 

і для ЛАЧХ отримаємо:

 

.

 

Таким чином, ЛАЧХ корегуючої ланки отримується простим відніманням ординат нескорегованої ЛАЧХ з ординат бажаної.

Розглянемо першу корегуючу ланку (рис. 18), яка забезпечить злам на -20 дБ/дек.

 

а)	б)
Рис. 18 – Перша корегуюча ланка (інтегруюча) (а) та її ЛАХ (б)

Параметри інтегруючої ланки:

1) Передаточна функція ланки має вигляд

 

;

 

2) постійні часу знаходяться за частотами: і визначають параметри елементів корегуючого пристрою:

 

 

3) Амплітудна і фазова характеристики визначаються наступним чином:

 

.

 

Розрахуємо параметри елементів інтегратора. Інтегратор має частоти зламів ЛАЧХ, що дорівнюють: . Виберемо стандартний конденсатор мФ, оскільки частоти зламів невеликі. Резистори повинні мати наступні параметри:

 

Ом; Ом.

 

Виберемо стандартні значення Ом; Ом (з ряду Е96).

Розглянемо другу корегуючу ланку (рис. 19), що забезпечить злам на +20 дБ/дек.

а)	б)
Рис. 19 – Друга корегуюча ланка (диференціююча) (а) та його ЛАХ (б)

 

Для диференціюючого кола основні співвідношення мають наступний вигляд:

1) Передаточна функція ланки:

 

;

 

2) постійні часу знаходяться за частотами: і визначають параметри елементів корегуючого пристрою:

 

 

3) Амплітудна і фазова характеристики визначаються таким чином:

 

.

 

Розрахуємо параметри елементів першого диференціатора. Частоти зламів дорівнюють: . Виберемо стандартний мкФ, оскільки частоти зламів невеликі. Резистори повинні мати наступні параметри:

Ом; Ом.

 

Виберемо стандартні значення Ом Ом (з ряду Е96).

Розрахуємо другий диференціатор за аналогічною схемою. Частоти зламів дорівнюють . Виберемо стандартний мкФ. Резистори матимуть наступні параметри:

 

Ом Ом.

 

Виберемо стандартні значення Ом; Ом (з ряду Е96).

Розрахуємо третій диференціатор за аналогічною схемою. Частоти зламів дорівнюють: ; . Виберемо стандартний мкФ. Резистори матимуть наступні параметри:

 

Ом; Ом.

 

Виберемо стандартні значення Ом; Ом (з ряду Е96).

Знайдемо постійні часу корегуючих кіл з урахуванням вибору реальних номіналів електрорадіоелементів:

 

; ; ; ; ; ; ; .

 

Таким чином, інтегруюча і диференціююча частини корегуючого пристрою матимуть наступні передаточні функції, відповідно:

 

; .

 

Виходячи з наведених передаточних функцій окремих ланок КП, передаточна функція корегуючого пристрою матиме вигляд:

 

.

 

Для послідовного з’єднання пасивних ланок необхідно мінімізувати їх взаємний вплив. Для цього зазвичай використовують буферні неінвертуючі підсилювачі з одиничним коефіцієнтом підсилення і широкою смугою пропускання. Виберемо інтегральні операційні підсилювачі, включені за неінвертуючою схемою з 100 % від’ємним зворотним зв'язком (ВЗЗ). Схема такого підсилювача зображена на рис. 20. Резистор в ланцюзі зворотного зв’язку обирається для конкретного операційного підсилювача. Вибір типу операційного підсилювача не входить до змісту даної курсової роботи.

 

Рис. 20 – Буферний неінвертуючий підсилювач

 

Для технічної реалізації корегуючого пристрою необхідні послідовно сполучені інтегратор і три диференціатори. Принципова схема пристрою корекції зображена на рис. 21, а підсумкова схема корегуючого пристрою, що включає буферні підсилювачі, – на рис. 22.

 

Рис. 21 – Принципова схема корегуючого пристрою

 

 

Рис. 22 – Підсумкова схема корегуючого пристрою

2.1.5 Оцінка якості скорегованої САС

Передаточна функція розімкненої системи управління з урахуванням корегуючого пристрою має наступний вигляд:

 

, .

 

Передаточна функція замкнутої системи визначається як:

 

, .

 

Для оцінки якості скорегованої системи необхідно побудувати перехідну характеристику – реакцію замкнутої системи з корегуючою ланкою на вхідну ступінчасту дію. Вона визначатиметься як:

 

 

Перехідна характеристика системи, визначена в програмі Mathcad. Графік перехідного процесу в скорегованій системі зображено на рис. 23. Пунктирними лініями вказана 5% зона відхилення вихідної величини від сталого значення, оскільки задана статична помилка − .

 

Рис. 23 – Графік перехідного процесу

 

З графіка перехідного процесу можна визначити параметри, що визначають якість процесу управління, а саме:

1) час регулювання , що задовольняє заданому у технічному завданні значенню;

2) перерегулювання , що задовольняє заданому у технічному завданні значенню.

Технічне завдання передбачає максимальний час регулювання (час, за який перехідний процес увійде до 5% зони відхилення від сталого значення і вже не вийде з неї після цього) рівним 0.9 с. Таким чином, отриманий параметр відповідає технічному завданню.

В завданні також вказується, що максимальна величина перерегулювання (частка амплітуди максимального викиду перехідного процесу над сталим значенням від величини амплітуди сталого режиму системи управління) дорівнює 18 %. Отриманий параметр відповідає технічному завданню.

Таким чином, за допомогою синтезу послідовного корегуючого пристрою була отримана система управління із заданими характеристиками.

 

Синтез дискретної системи

Завдання ЦОМ [12] (цифрової обчислювальної машини) полягає в забезпеченні бажаних динамічних характеристик системи управління за допомогою використання в ЦОМ програм, що коректують. У цьому випадку ЦОМ є по суті цифровий фільтр із заданими характеристиками.

Цифрові системи управління мають квантування за часом, що відносить їх до класу дискретних (імпульсних) систем, і квантування за рівнем (у аналого-цифрових і цифро-аналогових перетворювачах). Якщо розрядність вхідних і вихідних перетворювачів достатньо велика, то їх нелінійністю можна нехтувати, при цьому розглядається лінеаризована дискретна система з урахуванням впливу, що надається квантуванням за рівнем, у вигляді додаткового шуму квантування, що розглядається як випадковий процес з рівноімовірним законом розподілу.

Спрощену структурну схему цифрової системи подано на рис. 24. Безперервний сигнал похибки імпульсним елементом ІЕ1перетво­рюється в решітчасту цифрову функцію і надходить на вхід ЦОМ, яку подано у вигляді передаточної функції . Вихідний сигнал ЦОМ імпульсним елементом ІЕ2і формувачем (екстраполятором) перетворюється в ступінчастий сигнал. Безперервну частину системи подано ланкою з передаточною функцією .

 

Рис. 24 – Спрощена структурна схема цифрової системи

 

На виході формувача імпульсів протягом усього періоду квантуван­ня зберігається попереднє значення сигналу, тому формувач є фіксатором (екстраполятором) нульового порядку. Його передаточна функція має вигляд

 

,

 

або, через те що ,

 

.

 

Передаточна функція приведеної безперервної частини системи визначається за формулою

 

,

 

а її дискретна передаточна функція – за формулою:

.

 

Якщо в каналі керування є затримка часу , то попередній вираз запишеться у вигляді

 

.

 

2.2.1 Дискретна передаточна функція безперервної частини

Основною засадою у визначенні дискретної передаточної функції безперервної частини є вибір періоду дискретизації за допомогою теореми Котельникова, яка дозволяє відповісти на питання, як за допомогою одиничних імпульсів передати без спотворення інформацію, що міститься в безперервному сигналі, і яка при цьому повинна бути частота проходження імпульсів.

Згідно цій теоремі, безперервна функція , наприклад, сигнал задавання , частотний спектр якого обмежений частотами від до , повністю відтворюється дискретним сигналом , якщо задовольняється умова або , с. Фізичний сенс такого ствердження визначається тим, що неперервна функція, яка не містить у своєму спектрі частот, що перевищують , не може помітно змінитися за проміжок часу , рівний половині періоду найбільшої частоти .

Таким чином, період дискретизації дорівнює:

 

.

 

Наступним кроком синтезу дискретної системи є перетворення передаточної функції безперервної частини системи управління в імпульсну, використовуючи програму Mathcad. Для цього необхідно отримати решітчасту функцію шляхом застосування зворотного перетворення Лапласа і заміни змінної добутком . Після цього до решітчастої функції застосовується - перетворення, в результаті передаточна функція безперервної частини системи в - формі має вигляд:

 

.

 

2.2.2 Дискретна передаточна функція корегуючої ланки

Аналогом розрахованої раніше безперервної корегуючої ланки в дискретній системі є ЦОМ. Для визначення її передаточної функції необхідно перетворити передаточну функцію корегуючого пристрою в - форму, використовуючи описану вище методику.

Таким чином, передаточна функція ЦОМ має вигляд:

 

.

 

Враховуючи, що передаточна функція ЦОМ є відношенням зображень вихідної і вхідної величин, узятих в цифровій формі, то отримаємо вираз:

 

.

 

Отже, розділивши чисельник і знаменник на отримаємо

 

.

 

На підставі знайденої функції можна отримати закон управління, ЦОМ, що реалізується, у вигляді рекурентного різницевого рівняння. Для цього необхідно перейти від передаточної функції ЦОМ до оригіналів, в результаті отримаємо:

 

,

 

де .

Таким чином, закон управління має вигляд:

 

 

Дане рівняння відіграє роль алгоритму роботи ЦОМ, що є дискретним фільтром з передаточною функцією .

 

2.2.3 Дискретна передаточна функція замкнутої системи

Загальна дискретна передаточна функція розімкненої системи знаходиться, використовуючи наступну формулу:

 

.

 

Дана формула застосовується, оскільки дискретний фільтр та екстраполятор розділені ключовим елементом.

Тоді дискретна передаточна функція замкнутої системи матиме вигляд:

 

,   .

 

 

2.2.4 Аналіз синтезованої дискретної системи

Раніше зазначалося, що якісний аналіз спроектованої суднової автоматичної системи починається з визначення стійкості системи.

Стійкість замкнутою цифрової САС визначається видом коренів характеристичного рівняння. У стійкій цифровій системі корені характеристичного рівняння повинні лежати усередині кола одиничного радіусу, тобто бути по модулю менше одиниці.

У даному прикладі курсової роботи корені характеристичного рівняння дорівнюють:

 

, , , .

 

Модуль кожного кореня менше одиниці, отже, дискретна САС стійка.

Наступним етапом аналізу синтезованої системи є визначення якісних показників за виглядом перехідного процесу.

Графік перехідного процесу може бути отриманий шляхом моделювання системи в програмі MATLAB (пакет Simulink) (рис. 25, 26).

 

Рис. 25 – Структурна схема моделювання дискретної системи управління

Рис. 26 – Графік перехідного процесу в замкнутій дискретній системі

 

За графіком перехідного процесу можна визначити параметри, що характеризують якість процесу управління, а саме:

1) час регулювання: .

Значення даного параметра задовольняє технічному завданню.

2) максимальне перерегулювання динамічної системи: .

Отримане значення перерегулювання повністю задовольняє технічному завданню і має запас по чисельному значенню.