Спектр мощности месячных данных (2000 точек) по ценам на кукурузу

программное обеспечение. Подобные программные пакеты распрост­раняются Фондом Изучения Циклов. Спектральный анализ измеряет силу цикла на каждой данной частоте. Как отмечалось ранее, требует­ся не менее 10 повторений цикла (т.е. частота, равная 10 или большая), чтобы можно было проверить статистическую надежность цикла. Мак­симальная частота должна быть равна числу точек данных, деленному на 5, поскольку, как обсуждалось ранее, пять — это практический ми­нимум длины цикла, доступный измерению. (Вспомните, что частота равна количеству точек данных, деленному на длину цикла.) Таким об­разом, если у нас есть ряд из 1000 точек, мы могли бы предпринять спектральный анализ в диапазоне частот от 10 (10% данных) до 200 (1000/5), что было бы эквивалентно длине циклов от 100 до 5.

Результатом применения спектрального анализа является спектр мощности, который показывает единственное значение для каждой ча­стоты в проанализированном частотном диапазоне. Если для данной частоты показано высокое значение, это предполагает, что у данных есть циклическая волновая форма на этой частоте. Если, однако, для данной частоты показано низкое значение, это подразумевает, что дан­ные стремятся на этой частоте к горизонтальной линии.

На рис. 16.10 показан спектр мощности месячных данных по куку­рузе за 167 лет (2000 точек данных). Поскольку у нас в наличии 2000

ГЛАВА 16. анализ циклов фьючерсных рынков 595

точек, мы анализируем диапазон частот от 10 (типичный минимум) до 400 (число точек данных, деленное на 5). Чтобы облегчить понимание гра­фика, на горизонтальной оси были отложены длительности циклов: ди­апазон от 5 (2000/400) до 200 (2000/10), соответствующий диапазону частот от 10 до 400. Заметьте, что высокие значения имеют тенденцию скапливаться вблизи некоторых частот (или длительностей цикла). Поло­жение пиков в каждой из таких областей скопления высоких значений показывает возможные циклы. На этом графике в качестве возможных циклов показаны три таких относительных пика. Слово возможных при­звано подчеркнуть, что необходима статистическая проверка того, дей­ствительно ли существуют циклы, на частоты которых указывают эти пики. Результаты подобной проверки циклов, показанных спектром мощ­ности, изображенным на рис. 16.10, обсуждаются ниже в этой главе. Хотя спектральный анализ данных, с которых частично снята на­правленность (логарифмов данных), будет правильно определять фазу найденных возможных циклов, амплитуда этих циклов будет искажать­ся оставшимся в данных трендом. Такое искажение амплитуды будет оказывать серьезное влияние на любые статистические проверки зна­чимости. Таким образом, необходимо полностью снять с данных направ­ленность, прежде чем тестировать циклы на статистическую значимость.

Шаг 6: Полное снятие направленности с данных

С использованием отклонений от скользящей средней

Перевод первоначальных данных в логарифмическую форму, предприня­тый на шаге 3, лишь частично удаляет тренд, и, как только что было пока­зано, остатки тренда в данных могут значительно повлиять на проверку статистической надежности. Отклонения от скользящей средней являют­ся наилучшим способом полностью снять направленность с данных. Откло­нения вычисляются путем вычитания скользящей средней данных из самих данных. Поскольку скользящая средняя отражает тренд в данных, вычи­тание ее из данных приводит к сериям, в которых нет тренда (рис. 16.11). Когда центрированная скользящая.средняя вычитается из первона­чальных данных, в результате получаются новые временные ряды, со­ставленные из отклонений или остатков от скользящей средней. Для каждого потенциального цикла, идентифицированного с помощью спек­трального анализа, будут выведены отдельные серии отклонений. Вы­числение серий отклонений проиллюстрировано на тех же данных, ко­торые ранее были использованы, чтобы показать процесс вычисления центрированной скользящей средней:

Начальные данные 134,500 141,20 132,40 138,90 Логарифмы данных 2,1287 2,1498 2,1219 2,1427

596 ЧАСТЬ 3. осцилляторы и циклы

2.73

Рисунок 16.11. УДАЛЕНИЕ ТРЕНДА С ПОМОЩЬЮ ОТКЛОНЕНИЙ

Значение центрированной
скользящей средней 2,1335 2,1381

Отклонение (остаток) 0,0163 -0,0162

Метод отклонений от скользящей средней следует использовать очень осторожно из-за взаимодействия длины скользящей средней и периода данных (если они цикличны). Рис. 16.12 показывает, как выг­лядит скользящая средняя данных с безупречным 25-дневным циклом: скользящая средняя, рассчитанная по количеству точек, меньшему чем период цикла, будет содержать тот же цикл, но с меньшей амплитудой; скользящая средняя той же длины, что и цикл, будет постоянной вели­чиной и не будет содержать цикла; скользящая средняя, более протя­женная, чем период цикла, будет содержать цикл с инвертированной фазой и уменьшенной амплитудой. (Именно из-за последнего свойства в предыдущем шаге сглаживания данных было необходимо использовать скользящую среднюю более короткую, чем самый короткий из отыски­ваемых циклов.)

Центрированная скользящая средняя с длиной, равной длине цикла, не содержит этого цикла. Следовательно, вычитание этой скользящей средней из первоначальных данных удалит тренд и оставит только цикл. Однако если скользящая средняя существенно длиннее, чем отыскиваемый

ГЛАВА 16. анализ циклов фьючерсных рынков 597

Рисунок 16.12.