Задача решена, осталось только вывести результаты.

 

Этап 7. Вывод ответа

Создадим матрицу-столбец a из последнего столбца матрицы matr и возвратим ее.

 

Соберем все воедино в функции otvet:

1) Выполним проверку на линейную зависимость.

2) Выполним прямой ход, если значение matr удовлетворяет условию.

3) Затем обратный ход с аналогичной проверкой.

4) И присвоим matr полученный результат.

5) Вернем значение функции (им может быть или матрица-столбец с корнями системы или одно из двух сообщений)

В заключении выведем ответ, набрав otvet =. Ответ может быть трех типов:

 

 

Пример программы в MathCAD

 

 

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Какой вид имеет матрица коэффициентов после окончания прямого хода в методе Гаусса?

2. Какие операции выполняются при обратном ходе?

3. Какие преимущества имеет модифицированный метод Гаусса по сравнению с обычным методом?

 

Лабораторная работа 3

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций

Работа выполняется с использованием палитры программирования системы автоматизации математических вычислений Mathcad

 

Задание на работу:

1. Разработать программу для решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций.

2. В программе предусмотреть проверку существования единственного решения, воспользовавшись процедурой «proverka», рассмотренной в работе № 2.

3. В программе предусмотреть вывод числа итераций, необходимых для достижения заданной точности (точность определяется погрешностью ε)

4. Решить систему уравнений, определенную вариантом задания (задания определены в работе № 2, погрешность ε положить равной 0.0001).

5. Найти теоретическую оценку числа итераций, необходимых для достижения заданной точности, и сравнить с фактическим значением.

6. Произвести проверку решения с помощью процедуры решения системы линейных алгебраических уравнений isolve (X:= isolve(A,В)).

7. Изменить матрицу коэффициентов А, сделав систему уравнений линейно зависимой, и проверить работоспособность программы в этом случае.

 

Требования к оформлению отчета

Отчет должен содержать:

- Название и цель работы

- Задание на работу

- Текст программы на Mathcadе

- Результаты работы программы

- Проверку решения

 

 

Контрольные вопросы

 

1. В каком случае целесообразно применять итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений?

2. Сформулируйте условие сходимости итерационного процесса.

3. Что такое l – норма матрицы?

4. Что такое m – норма матрицы?

5. Как оценить количество итераций, необходимое для достижения заданной точности?

 

Примечание: при выполнении работы используйте вспомогательные материалы, приведенные в работе № 2.

 

Раздел 3

Решение нелинейных уравнений

Краткое введение. Пусть f(x) = 0 - некоторое уравнение. Число ξ называется корнем или решением данного уравнения, если оно, будучи подставлено в уравнение, обращает его в равенство, т. е. f (ξ) = 0. Число ξ называют также нулем функции y = f(x).

Нахождение действительных корней с определенной точностью можно разбить на два этапа:

1. отделение корней, т. е. установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;

2. вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.

Для отделения корней составляют таблицу значений функции y = f(x) на определенном промежутке изменения аргумента х, и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то нуль находится между ними.

Возможны и другие способы отделения корней, например графические.

После отделения корней для вычисления корня можно применить следующие методы.

Метод половинного деления

Описание метода.

Пусть дано уравнение

f(x) = 0, (1)

причем функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b] и f(a)f(b) < 0.

Для вычисления корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [ a, b], найдем середину этого отрезка x₁ = (a + b) / 2. Если f(x₁) 0, то для продолжения вычислений выберем ту из частей банного отрезка [ a, x₁] или [ x_1, b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим через a₁ и b_{1 .}

Новый суженный промежуток [ a₁, b₁ ] снова делим пополам и продолжаем вычисления по разработанной схеме и т. д. В результате получаем либо точный корень уравнения (1) на каком - то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [ a, b ], [ a₁, b₁ ], ..., [ a _n, b _n ],.. таких, что

f(a _n)f(b _n) < 0 (n = 1, 2,...), (2)

b _n - a _n = (1/ 2 ⁿ) (b- a) (3)

Число ξ - общий предел последовательности { a _n } и { b _n } - является корнем уравнения

f(x) = 0.

Оценку погрешности решения на n -ом шаге вычислений можно получить из соотношения (3) в виде

 

0 < ξ - a _n (1/ 2 ⁿ) (b- a) = b _n - a _n (4)

Здесь a _n ξ c точностью ε не превышающей (1/ 2 ⁿ) (b- a).

Y

		Y = f (x)

b

X

 

 

 

Рис. 3.1 Наличие единственного корня уравнения на интервале [a,b]

 

Блок – схема алгоритма, реализующего метод половинного деления, приведена на рис. 3.3.