Причины возникновения погрешностей

1) Неточное представление исходной информации.

2) Округление.

3) Ограничение бесконечного математического процесса конечным числом операций.

Задача лабораторной работы - определение погрешностей третьего вида.

 

 

Лабораторная работа 1

Определение погрешностей при вычислении функций методом разложения их в степенной ряд

Работа выполняется с использованием палитры программирования системы автоматизации математических вычислений Mathcad и системы Excel.

 

Задание на работу: вычислить значение функции по приближенной формуле с заданной точностью:

1) получить рекуррентное соотношение для вычисления последующего члена степенного ряда по предыдущему;

2) вычислить значение функции с помощью программы на Mathcadе;

3) вычислить значение функции, используя систему EXEL.

 

Варианты заданий

	Функция f (x)	Сумма (приближенное значение) Q (x)	Значение аргумента x	Точ-ность ()
	Cos(x)		0.5
	(x)		0.8
	(x)		0.5
			0.5
			3.5
			1.5
			0.7
			0.5
			0.5
	=2Arcth(x)		0.5
	=2Arcth(x)		2.5
			3.5
			3.5
			2.5
			0.6
			0.5
			0.5
			0.5
			0.8
			0.7
			0.8

 

Требования к оформлению отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- название работы

- цель работы

- математическую формулировку задачи (представление заданной функции степенным рядом, вывод рекуррентного соотношения и алгоритм решения)

- тексты программы (в системе Mathcad и Excel)

- результаты, полученные в процессе выполнения работы

- выводы

Вспомогательные материалы

Пример вычисления функции f(x) = Sin(x) с заданной точностью

eps = 0.000001

X = 0.5

1. Алгоритм решения задачи

 

1.1 В сумму, предварительно обнуленную, заносится первый член ряда.

1.2 Сумма сравнивается с точным значением функции. Если погрешность (модуль разности суммы и точного значения) не превосходит допустимого значения, задача считается решенной. В противном случае – переход к следующему шагу.

1.3 С помощью рекуррентной формулы вычисляется следующий член ряда и добавляется к сумме.

1.4 Переход на пункт 1.2.

2. Вывод рекуррентного соотношения

(При выводе данного соотношения в общем члене ряда индекс i заменяется на i+1, полученный i+1 -й член делится на предыдущий)

 

3. Программа для вычисления синуса

(При выполнении лабораторной работы разработка программы на языках высокого уровня не требуется! Программа приведена только для лучшего понимания алгоритма).

 

Program Lsb1;

{****************************************************************

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

****************************************************************}

Uses Crt;

Var

x,e,eps,a0,a1,r,s,y,z: real;

i,n,k: integer;

BEGIN

ClrScr;

WRITE(' Введите Х = ');

READLN (x);

WRITE (' Введите е = ');

READLN (e);

y:= Sin(x);

WRITELN (' SIN (x) = ', y);

WRITELN;

a0:= x;

i:= 0;

eps:= y - a0;

WRITELN (' N', ' S ', ' E');

WRITELN (' ', i+1, ' ', a0, ' ', eps);

r:= - x*x;

i:= 1;

s:= a0;

REPEAT

n:= 2*i;

z:= n*(n+1);

a1:= r *a0/z;

s:= s+a1;

eps:= y-s;

WRITELN (' ', i+1, ' ', s, ' ', eps);

a0:= a1;

i:= i+1;

UNTIL abs (eps) < e;

END.

Результаты работы программы

Введите X = 0.5

Введите е = 0.0000001

SIN (x) = 4.7942553860E-01

 

N S E

 

1 5.0000000000E-01 -2.0574461396E-02

2 4.7916666667E-01 2.5887193760E-04

3 4.7942708333E-0.1 -1.5447290025E -06

4 4.7942553323E-0.1 5.3701114666E- 09

 

4. Пример вычисления синуса в системе Excel

 

	пример вычисления SIN(X) в Exсel
	текущий член суммы	сумма	точное знач.	погрешность	x * x
	"-x^2/((2*i)(2*i+1)) * A[i-1]	S[i]= S[i-1] + A[i]	Sin(x)	Sin(x) - S(i)	x^2
	Формулы, занесенные в соответствующие столбцы второй строки (строка 1)
	"=-($F$11)*B11/(2 *A12*(2*A12+1))"	"=C11+ B12"		"=$D$11 - C12"
	0,5	0,5	0,479425539	-0,020574461	0,25
	-0,020833333	0,479166667		2,58872E-04
	2,60417E-04	0,479427083		-1,54473E-06
	-1,55010E-06	0,479425533		5,37008E-09
	5,38229E-09	0,479425539		-1,22129E-11
	-1,22325E-11	0,479425539		1,95954E-14
	1,96033E-14	0,479425539
	-2,33373E-17	0,479425539

5. Решение задачи в системе Mathcad с использованием палитры программирования

5.1 Разработка программы в MathCAD

Чтобы раскрыть палитру программирования, следует выполнить действия, показанные на рисунке 1.1

Рис. 1.1 Обращение к палитре программирования

 

Оператор Add Line обозначает в MathCAD программный модуль - вертикальную черту, справа от которой последовательно записываются операторы.

Оператор ç означает присваивание: F ç 2+B

Otherwise – это оператор аналогичный Else в Pascal. С остальными операторами вы знакомы.

Создадим новый лист в MathCAD. Напишем оператор ORIGIN:= 1 – для того, чтобы MathCAD начинал нумерацию в массивах с 1, а не с нуля (по умолчанию нумерация начинается с нуля). Затем вводим исходные данные

Рис 3.

Напишем имя функции, оператор присваивания и вставим программный модуль, несколько раз нажав кнопку Add Line на панели программирования. Затем начинаем набирать программу. Пример программы приведен на рис. 1.2

 

Рис 1.2 Пример программы для вычисления функции y = Sin(x)

Большая часть программы в комментариях не нуждается. Поясним только некоторые операторы.

Оператор while содержит сложное условие выхода из цикла. Помимо проверки достижения заданной точности ограничено также число итераций (в приведенном примере число итераций не должно превышать пяти, хотя в общем случае оно должно быть много больше). Это ограничение позволяет избежать «зацикливания» программы, если она не верна, и процесс приближения функции степенным рядом не сходится.

Текущие значения суммы и членов ряда запоминаются в одномерных массивах SS и B. Это необходимо для отладки программы. Кроме того, значения текущей суммы и членов степенного ряда позволяют наглядно представить процесс приближения функции.

Программа возвращает переменную, расположенную в последней строке программы. Если необходимо в результате работы программы получить значения нескольких переменных, то их следует поместить в скобки, т. е. вывести вектор. Вектор задается с помощью палитры Math (изображение матрицы). При этом число строк должно равняться числу возвращаемых переменных. Матрица содержит один столбец.

На рис.1.3 приведен пример вывода на экран результатов работы программы. В верхней части рисунка показан полный вектор возвращаемых переменных. Третья и четвертые строки сами являются векторами, на что указывает их изображение (фигурные скобки с указанием размерности выводимых матриц – 2,1, т. е. вектор, содержащий две строки). В данном примере число итераций равнялось двум. Ниже показан способ отображения этих векторов.

Рис. 1.3 Вывод на экран дисплея результатов работы программы

 

Контрольные вопросы

1.Назовите причины возникновения погрешностей.

2.Может ли относительная погрешность превышать абсолютную погрешность?

3.В каком случае относительная погрешность меньше абсолютной погрешности?

4.В каких единицах выражаются абсолютная и относительная погрешности?

 

Раздел 2