Часть 2. Электростатика и постоянный ток.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

И ПОСТОЯННОГО ТОКА

Электростатика

Закон Кулона:

,

где – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂; r – расстояние между зарядами; - диэлектрическая проницаемость среды; - электрическая постоянная: Ф/м.

Закон сохранения электрического заряда:

,

где – алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n – количество зарядов.

Напряженность электрического поля в данной точке численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд , помещенный в эту точку:

.

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии от этого заряда: .

Поток вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку :

,

где вектор ; - единичный вектор нормали к площадке ; - угол между векторами и .

Согласно принципу суперпозиции (наложения) электрических полей, напряженность результирующего поля, созданного точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

.

Для двух электрических полей с напряженностями и модуль вектора напряженности результирующего поля: ,

где и ; - угол между векторами и .

ТеоремаОстроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме:

,

где - поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность ; - проекция вектора на единичный вектор нормали к площадке ; - алгебраическая сумма электрических зарядов, находящихся в объеме пространства, ограниченного замкнутой поверхностью .

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению модуля заряда , распределенного по нити (цилиндру), к длине нити (цилиндра) :

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого прямой, бесконечно длинной и равномерно заряженной нитью (цилиндром) на расстоянии от ее (его) оси: .

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению модуля заряда , распределенного по поверхности, к площади этой поверхности: .

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью: .

Модуль напряженности электрического поля, создаваемого двумя параллельными, бесконечными, разноименно заряженными плоскостями, имеющими одинаковые поверхностные плотности зарядов:

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности электрического поля между пластинами плоского конденсатора в случае, если расстояние между пластинами намного меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов ( и ), находящихся на расстоянии друг от друга.

Электрический момент диполя:

,

где - вектор, направленный от отрицательного к положительному заряду, и называемый плечом диполя.

Модуль напряженности электрического поля диполя в точке, лежащей на прямой, совпадающей с осью диполя:

,

где - модуль электрического диполя, - расстояние от середины оси диполя до данной точки (при » ).

Модуль напряженности электрического поля диполя в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины:

,

где - расстояние от середины плеча диполя до данной точки (при » ).

Потенциал электрического поля диполя в точке, лежащей на прямой, совпадающей с осью диполя:

,

где - расстояние от середины оси диполя до данной точки (при » ); положительный знак соответствует потенциалу точки, лежащей на стороне заряда ; отрицательный знак – потенциалу точки, лежащей на стороне заряда .

Потенциал электрического поля диполя в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины: .

Механический момент сил, действующих на диполь с электрическим моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью :

,

где - угол между векторами и ; .

Потенциал данной точки электрического поля численно равен работе , совершаемой силами поля, по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в точку, в которой потенциал считается равным нулю:

.

В многих случаях потенциал электрического поля в бесконечности принимается равным нулю. Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом , на расстоянии от этого заряда:

.

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом с общим зарядом на расстоянии от центра этой сферы:

а) внутри сферы ( < ) и на поверхности сферы ( = ) - ;

б) вне сферы ( > ) - .

Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов, в данной точке, в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых отдельными точечными зарядами

.

Совокупность точек, имеющих одинаковые потенциалы, называется эквипотенциальной поверхностью.

Потенциальная энергия электрического заряда , находящегося в некоторой точке электрического поля:

,

где - потенциал этой точки электрического поля.

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении точечного заряда из одной точки поля, имеющей потенциал , в другую, имеющую потенциал :

.

Энергия взаимодействия системы точечных электрических зарядов равна работе, которую могут совершить силы электрического поля при удалении этих зарядов относительно друг друга в бесконечность:

,

где - потенциал точки поля, в которой находится заряд , создаваемый всеми зарядами, кроме i -ым.

Если известен потенциал каждой точки электрического поля, то напряженность этого поля равна отрицательному градиенту потенциала:

,

где ; - частные производные функции по координатам ; - единичные векторы координатных осей .

В случае однородного электрического поля () модуль напряженности этого поля:

,

где и - потенциалы двух точек, находящихся на эквипотенциальных поверхностях, расстояние между которыми равно .

Поляризованностью называется дипольный электрический момент единицы объема диэлектрика:

,

где - векторная сумма электрических дипольных моментов молекул;

- объем диэлектрика.

Если диэлектрик изотропный и внутри его напряженность электрического поля не слишком велика, то:

= æ ,

где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

Поверхностная плотность связанных зарядов, индуцируемых внешним электрическим полем в диэлектрике: .

Диэлектрическая проницаемость среды: æ.

Вектор электрического смещения характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами при наличии диэлектрика, в котором индуцируются связанные заряды:

,

где - напряженность электрического поля внутри диэлектрика.

Вектор электрического смещения связан с поляризованностью :

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

где - поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность ; - проекция вектора на единичный вектор нормали к площадке ; - алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, находящихся в объеме пространства, ограниченного замкнутой поверхностью .

Электроемкость уединенного проводника, имеющего электрический заряд и потенциал : .

Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом , находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью : .

Электроемкость конденсатора: ,

где - модуль электрического заряда, находящегося на каждой обкладки конденсатора; - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора: ,

где - площадь одной обкладки конденсатора; - расстояние между обкладками конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора, заполненного слоями диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями и толщинами :

.

Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы с радиусами и ), пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью :

Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов:

.

Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов:

.

Энергия заряженного конденсатора: ,

где - электроемкость; - электрический заряд конденсатора; - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы

объема): ,

где - модуль вектора напряженности электрического поля;

-модуль вектора электрического смещения.

 

Постоянный ток

Сила тока: ,

где - электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время .

Для постоянного тока, не меняющегося по величине и направлению: .

Модуль плотности электрического тока численно равен электрическому заряду, проходящему через единицу площади поперечного сечения проводника за единицу времени:

,

где - сила тока; - площадь поперечного сечения проводника.

Плотность тока – вектор, перпендикулярный поперечному сечению проводника и направленный в сторону электрического тока.

В проводнике вектор плотности электрического тока находится по формуле:

,

где - концентрация носителей тока; - модуль заряда электрона; - вектор средней скорости упорядоченного движения зарядов.

Электрическое сопротивление однородного проводника: ,

где - удельное электрическое сопротивление; - длина и - площадь поперечного сечения проводника.

Электрическая проводимость проводника: .

Удельная проводимость проводника: .

Закон Ома в дифференциальной форме: ,

где - вектор плотности тока; - вектор напряженности электрического поля в проводнике.

Зависимость удельного сопротивления и сопротивления проводника от температуры:

или ,

где и , и - соответственно, удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах и ; - температурный коэффициент электрического сопротивления. Для чистых металлов K и , где - термодинамическая температура.

Сопротивление цепи при последовательном соединении проводников: .

Сопротивление цепи при параллельном соединении проводников находится по формуле:

Закон Ома для неоднородного участка цепи:

,

где - сила тока; - разность потенциалов, приложенная на концах участка; - электродвижущая сила (Э.Д.С.); - электрическое сопротивление; - напряжение, действующее на неоднородном участке цепи. Если направление сторонних сил совпадает с направлением движения положительных зарядов в участке цепи, то Э.Д.С. берется со знаком плюс. В противном случае - Э.Д.С. берется со знаком минус.

Закон Ома для однородного участка цепи (при 0): .

Закон Ома для замкнутой цепи: ,

где - Э.Д.С., действующая в цепи; - внутреннее сопротивление источника тока; - сопротивление внешнего участка цепи.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре:

.

Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами на неоднородном участке цепи постоянного тока за время : ,

где - сила тока; - напряжение, действующее на неоднородном участке цепи; для однородного участка цепи (при 0) - .

Мощность постоянного тока: .

Количество теплоты , выделяющейся на участке цепи за время , определяется по закону Джоуля-Ленца: .

 

Контрольное задание №3

Вариант 1

1. Расстояние между двумя точечными зарядами q₁ = 1 мкКл и q₂ = –1мкКл равно r = 10 см. Определить силу, действующую на точечный заряд, равный q = 0,1 мкКл и удаленный на r₁ = 6 см от первого и на r₂ = 8 см от второго заряда.

2. Найти напряженность поля, созданного двумя параллельными плоскостями, поверхностные плотности зарядов на которых равны 10^-7 Кл/м и 5×10^-8 Кл/м.

3. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда 10 Кл/м. Определить потенциал поля в точке пересечения диагоналей.

4. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда в 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м²?

5. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 10³ м/с. Напряженность поля в конденсаторе 10 кВ/м, длина конденсатора 5 см. Найти модуль и направление скорости электрона при вылете его из конденсатора.

6. Пластины плоского конденсатора площадью 100 см² каждая находятся на расстоянии 2 мм друг от друга. Пространство между ними заполнено слюдой. Заряд на пластинах равен 3×10^-10 Кл. Найти: а) силу взаимного притяжения пластин; б) плотность энергии электрического поля.

7. Катушка и амперметр соединены последовательно и присоединены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен вольтметр сопротивлением 1кОм. Показания амперметра 0,5 А, вольтметра 100 В. Определить сопротивление катушки. Сколько процентов от точного значения сопротивления катушки составит погрешность, если не учитывать сопротивление вольтметра?

8. Зависимость силы тока от времени выражается формулой I=I₀×e^-at, где =10А; a=100 c^-1; t - время, с; е - основание натуральных логарифмов. Определить заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время от 0 до 0,01 с и от 0,01 до 1 с.

9. Определить максимальную полезную мощность аккумулятора с ЭДС=10 В

и внутренним сопротивлением 1 Ом. Каково при этом сопротивление внешней цепи?

10. В каждом кубическом миллиметре медного проводника, по которому идет ток, выделяется ежесекундно 3 мДж тепла. Определить среднюю скорость направленного движения свободных электронов, если их концентрация 8×10²² м^-3.

11. Нагреватель электрического чайника имеет две секции. При включении одной из них вода в чайнике закипит через 15 мин, при включении другой – через 30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если включить обе секции: а) последовательно; б) параллельно?

12. Батарея состоит из 5-ти последовательно соединенных одинаковых элементов. ЭДС каждого элемента равна e = 1,5 В, внутреннее сопротивление каждого элемента r = 0,2 Ом. Определить полную, полезную мощность и коэффициент полезного действия батареи, если она замкнута на внешнее сопротивление R = 50 Ом.

 

Вариант 2

1. Два шарика радиусом 0,4 см и массой 0,2 г подвешены на нитях длиной 10 см так, что в незаряженном состоянии они соприкасаются. До какого потенциала были заряжены шарики, если они разошлись на угол 60⁰?

2. По тонкому кольцу радиусом 6 см равномерно распределен заряд в 24 нКл. Какова напряженность поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии 18 см от центра кольца? Найти также силу, действующую в этой точке на точечный заряд в 5×10^-10 Кл.

3. Десять шаровых капель ртути радиусом 0,8 мм заряжены до одинакового потенциала 12 В. Все капли сливаются в одну большую. Определить ее потенциал и изменение энергии поля.

4. Электростатическое поле создается положительно заряженной и бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния 1,5 см до 1 см?

5. Площадь пластины плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м², расстояние между ними d₁ = 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния d₂ = 4 см между ними. Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин.

6. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке толщиной 1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами конденсатора 300 В.

7. На концах медного провода длиной 5 м и площадью поперечного сечения 0,4 мм² поддерживается напряжение 1 В. Определить число электронов, проходящих за 1 с через поперечное сечение этого проводника, и напряженность электрического поля.

8. Электродвижущая сила элемента и его внутреннее сопротивление равны соответственно 1,6 В и 0,5 Ом. Каков коэффициент полезного действия элемента, если напряжение на внешнем участке цепи равно 0,4 В?

9. Две группы из трех последовательно соединенных элементов включены параллельно. ЭДС каждого элемента равна 1,2 В, внутреннее сопротивление составляет 0,2 Ом. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление 1,5 Ом. Найти силу тока во внешней цепи.

10. Ток в проводнике сопротивлением 100 Ом меняется по закону , где a=10 А/с². Определить количество теплоты, выделившейся в проводнике.

11. Электродвижущая сила батареи равна e = 80 В, внутреннее сопротивление r = 5 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность P_R = 100 Вт. Определить силу тока в цепи, напряжение, под которым она находится, и ее сопротивление.

12. По медному проводнику длиной l = 2 м и площадью поперечного сечения S = 0,4 мм² идет ток. Мощность, выделяющаяся в проводнике, равна P = 0,35 Вт. Определить число электронов N_e, проходящих за t = 1 с через его поперечное сечение, и напряженность E электрического поля.

 

Вариант 3

1. К бесконечной вертикальной плоскости на нити подвешен заряженный шарик массой m = 5 г и зарядом q = 12 нКл. Нить образует с плоскостью угол a = 45^о. Определить поверхностную плотность заряда s на плоскости.

2. Определить напряженность электрического поля в центре равномерно заряженной полуокружности радиусом 20 см, если заряд ее 10 нКл.

3. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда 10^-8 Кл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, находящихся на расстоянии 5 и 10 см от плоскости.

4. Какой скоростью сближения должны обладать два протона, находящихся друг от друга на расстоянии 5 см, чтобы они могли сблизиться до расстояния 10^-4 см?

5. Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединенными конденсаторами, равна 100 пФ, а заряд 20 нКл. Определить емкость второго конденсатора, а также разности потенциалов на обкладках каждого прибора, если емкость первого из них 200 пФ.

6. Диполь с электрическим моментом 2 нКл×м находится в однородном электрическом поле напряженностью 20 кВ/м. Вектор составляет с направлением силовых линий поля угол a=60⁰. Определить произведенную внешними силами работу при повороте диполя на угол в 30⁰.

7. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 500 В и отключенному от источника напряжения, присоединен параллельно второй конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком (стекло). Определить диэлектрическую проницаемость стекла, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до 70 В.

8. Сила тока в проводнике меняется со временем по уравнению I=А+Вt (А - в амперах; В - в А/с). Какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от 1 до 5 с?

9. По медному проводнику сечением 0,4 мм² идет ток силой 0,2 А. Какова напряженность электрического поля в проводнике?

10. К аккумулятору, внутреннее сопротивление которого 1 Ом, подключили электролампочку. Затем параллельно включили еще такую же лампочку. При этом фактическая электрическая мощность каждой лампочки уменьшилась в 1,44 раза. Во сколько раз снизится фактическая мощность каждой лампочки, если параллельно первым двум включить третью такую же лампочку? Зависимостью сопротивления ламп от накала пренебречь.

11. Электродвижущая сила батареи 60 В, внутреннее сопротивление 4 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность в 125 Вт. Определить силу тока в цепи, напряжение, под которым она находится, и сопротивление.

12. Электрический чайник, содержащий 600 см³ воды при температуре 9⁰С, забыли выключить. Сопротивление нагревателя 16 Ом. Через какое время после включения вода в чайнике выкипит? Напряжение в цепи 120 В, коэффициент полезного действия нагревателя 60%.

 

Вариант 4

1. В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Каждый заряд несет 1,5 нКл, длина стороны шестиугольника – 3 см.

2. С какой силой на единицу площади отталкиваются две одноименно заряженные и бесконечные плоскости? Поверхностная плотность заряда s = 0,3 мКл/м².

3. Шарик массой 40 мг, имеющий положительный заряд в 1 нКл, движется со скоростью 10 см/с. На какое расстояние может приблизиться шарик к положительному точечному заряду, равному 1,33 нКл?

4. Восемь заряженных водяных капель радиусом 1 мм и зарядом 0,1 нКл каждая сливаются в одну большую каплю. Найти ее потенциал.

5. Со скоростью 9×10⁶ м/с электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам. Разность потенциалов между пластинами 100 В, расстояние между ними 1 см. Найти полное, нормальное и тангенциальное ускорения электрона через 10 с после начала его движения в конденсаторе.

6. Площадь пластины плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов в 3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния 4 см между ними. Найти энергию конденсатора до и после этого момента.

7. Обмотка катушки из медной проволоки при температуре 14⁰ С имеет сопротивление 12 Ом. После пропускания тока сопротивление обмотки стало равным 13,2 Ом. До какой температуры нагрелась обмотка? Температурный коэффициент сопротивления меди a=4,5×10^-3 K^-1 .

8. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 90 В. Площадь каждой пластины 60 см², ее заряд равен 1 нКл. На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?

9. Площадь пластины плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов в 3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния 4 см между ними. Найти энергию конденсатора до и после этого момента.

10. Элемент, сопротивление и амперметр которого соединены последовательно, имеет ЭДС в 2 В и внутреннее сопротивление в 0,4 Ом. Амперметр показывает силу тока 1 А. С каким коэффициентом полезного действия работает элемент?

11. Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка мощностью 40 Вт. Какое добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети 220 В? Какой длины нихромовую проволоку диаметром 0,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротивление?

12. Найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема медного провода при плотности тока 300 кА/м²?

 

Вариант 5

1. Точечные заряды по 20 мкКл и –20 мкКл находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на 3 см от первого и на 4 см от второго заряда. Определить также силу, действующую в этой точке на точечный заряд в 1 мкКл.

2. По тонкой нити, изо