Основные формулы и законы электромагнетизма

Электромагнетизм

Вектор магнитной индукции: ,

где Гн/м – магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды; - вектор напряженности магнитного поля.

Магнитный момент рамки с током: ,

где - сила тока; - площадь рамки; - единичный вектор нормали к поверхности рамки; направление вектора связано с направлением тока, текущего по рамки, правилом правого винта.

Механический момент сил, действующих на рамку с током в магнитном поле:

,

модуль которого , где и ; - угол между векторами и .

Работа, совершаемая силами магнитного поля при вращении рамки с током:

,

где и - углы между векторами и , соответственно, в начальном и конечном положениях вектора .

Потенциальная энергия рамки с током в магнитном поле: ,

где - угол между векторами и .

Закон Био-Савара-Лапласа:

,

где - вектор магнитной индукции поля, созданного элементом проводника с током , в точке, положение которой определяется радиус-вектором , проведенным от указанного элемента проводника; направление вектора совпадает с направлением тока, текущего по проводнику; - модуль радиус-вектора.

Модуль вектора :

,

где - модуль элемента проводника; - угол между векторами и .

Согласно принципу суперпозиции, вектор магнитной индукции результирующего поля в данной точке равен векторной сумме магнитных индукций , созданных полей: .

При наложении двух магнитных полей модуль вектора магнитной индукции результирующего поля в данной точке:

,

где и - модули векторов магнитных индукций полей, созданных в данной точке; - угол между векторами и .

Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током , в данной точке:

,

где - расстояние от данной точки до проводника с током.

Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током :

,

где - расстояние от данной точки до прямой, проведенной вдоль проводника с током; и - углы между указанной прямой, направление которой определяется направлением тока, и радиус-векторами, проведенными из концов отрезка проводника в данную точку.

Модуль вектора магнитной индукции в центре кругового проводника с током :

,

где - радиус проводника.

Циркуляция вектора по замкнутому контуру : ,

где - вектор элемента контура, направление которого совпадает выбранным направлением обхода контура; - проекция вектора на касательную к контуру, направленную вдоль обхода контура; - угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме:

,

где - число проводников с токами, охватываемых контуром . Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта. Ток противоположного направления является отрицательным.

Модуль вектора магнитной индукции внутри соленоида с током : ,

где - количество витков; - длина соленоида.

Модуль вектора магнитной индукции внутри тороида с током : ,

где - количество витков; - радиус средней окружности тороида.

По закону Ампера сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле индукции :

,

где направление вектора определяется направлением тока, текущего по проводнику.

Модуль силы Ампера: ,

где - угол между векторами и .

Модуль силы взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами и , расположенных на расстоянии друг от друга, приходящейся на отрезок проводника длиной :

.

Сила Лоренца , действующая на электрический заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле индукции : .

Модуль силы Лоренца: ,

где - угол между векторами и .

Если заряженная частица массой движется со скоростью , перпендикулярной вектору индукции , то радиус окружности, вдоль которой движется эта частица:

.

Поток вектора магнитной индукции через площадку (магнитный поток):

,

где ; - площадь площадки; - единичный вектор нормали к площадке ; - проекция вектора на единичный вектор нормали; - угол между векторами и .

В однородном поле ( поток вектора магнитной индукции через плоскую площадку :

,

где ; - площадь площадки; - единичный вектор нормали к площадке ; - угол между векторами и .

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность :

.

Теорема Гаусса для магнитного поля индукции : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Полный магнитный поток (потокосцепление), сцепленный со всеми витками соленоида:

,

где - модуль вектора магнитной индукции; - количество витков;

- сила тока, текущего в соленоиде; - длина соленоида.

Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению проводника с током в магнитном поле:

,

где – магнитный поток, пересеченный проводником.

Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле:

,

где - изменение магнитного потока, пронизывающего контур; и – магнитные потоки через контур, соответственно, в начальном и конечном его положениях.

По закону Фарадея электродвижущая сила (Э.Д.С.) электромагнитной индукции, возникающая в проводящем контуре или соленоиде:

,

где - магнитный поток, пронизывающий контур или соленоид; - магнитный поток через один виток соленоида; - количество витков соленоида.

Разность потенциалов на концах прямого проводника длиной , движущегося со скоростью в однородном магнитном поле индукции , равна модулю Э.Д.С. электромагнитной индукции, возникающей в этом проводнике:

,

где – магнитный поток, пересеченный проводником за время ; - угол между векторами и .

Э.Д.С. электромагнитной индукции, возникающая в рамке, содержащей витков площадью , при вращении рамки с угловой скоростью относительно оси, проходящей через плоскость этой рамки, в однородном магнитном поле индукции :

,

где - магнитный поток, пронизывающий один виток рамки.

Магнитный поток , сцепленный с замкнутым контуром или соленоидом, по которому течет ток :

,

где - индуктивность контура.

Электродвижущая сила (Э.Д.С.) самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре (соленоиде) при изменении силы тока в нем: .

Мгновенное значение силы тока в цепи, содержащей источник тока с Э.Д.С. , активное сопротивление и индуктивность :

а) после замыкания цепи: ;

б) после размыкания цепи: ,

где - сила установившегося тока при времени .

Амплитуды переменных Э.Д.С. и ,соответственно, в первичной и вторичной обмотках трансформатора связаны соотношениями: ,

где , и , - амплитуды переменных токов и количества витков, соответственно, в первичной и вторичной обмотках трансформатора.

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре (соленоиде) индуктивностью :

.

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида:

.

Период собственных колебаний напряжения и тока в контуре, содержащем катушку с индуктивностью , конденсатор с электроемкостью и малое активное сопротивление:

.

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси :

,

,

где - проекция вектора напряженности электрического поля на ось , - проекция вектора напряженности магнитного поля на ось , и - амплитуды, соответственно, электрического и магнитного полей.

Скорость электромагнитной волны в среде, имеющей диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость :

,

где - скорость электромагнитной волны (света) в вакууме;

- абсолютный показатель преломления среды.

Из уравнений Максвелла следует, что в электромагнитной волне:

,

где и - мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей:

,

где и - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей.

Поскольку объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны, то объемная плотность энергии электромагнитной волны:

.

 

Контрольное задание №4

Вариант 1

1. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток силой 10 А. Длина стороны треугольника 30 см. Определить магнитную индукцию в точке пересечения высот. Для сравнения определить индукцию магнитного поля в центре кругового провода, вписанного в этот треугольник.

2. По двум параллельным и бесконечно длинным проводам, расположенным на расстоянии 8 см друг от друга, идут в одном направлении токи силой

I₁ = I₂ = 40 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии 6 см, а от другого – на расстоянии 10 см.

3. Виток, по которому идет ток силой 20 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,016 Тл. Диаметр витка равен 10 см. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы повернуть виток на угол /2 относительно оси, совпадающей с диаметром.

4. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл расположен прямолинейный участок проводника с силой тока 5 А. Участок находится под углом 30^o к вектору магнитной индукции. Определить силу, с которой поле действует на каждый сантиметр этого участка проводника.

5. В однородное магнитное поле с напряженностью 8×10³ А/м внесен медный проводник. Плотность тока в проводнике 3 А/мм². С каким ускорением будет двигаться проводник, если направление тока перпендикулярно направлению магнитного поля?

6. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному проводнику на расстоянии 4 мм от него. Какая сила будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток силой 5 А?

7. В магнитном поле с индукцией 1,2 Тл по круговой орбите радиусом 50 см движется a- частица. Определить скорость и разность потенциалов, которую должна пройти a- частица, чтобы приобрести такую скорость. Заряд a- частицы 3,2×10^-19 Кл, масса ее 6,64×10^-27 кг.

8. Определить относительную магнитную проницаемость железного сердечника катушки при токе силой 4 А. Индуктивность катушки 0,4 Гн, площадь поперечного сечения 10 см², число витков 1000 (воспользоваться графиком В= f(Н), см. прил. 2).

9. Проволочная рамка площадью 50 см² расположена перпендикулярно магнитному полю, индукция которого изменяется по закону В = (А + Вt²), где А=1 Тл; В=1 Тл/с². Определить ЭДС, индуцируемую в контуре в момент t = 0,5 с.

10. По соленоиду идет ток силой 1,5 А. Магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 2×10^-6 Вб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет 800 витков.

11. Соленоид длиной 50 см и площадью сечения 2 см² имеет индуктивность 2×10⁷ Гн. При какой силе тока плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 10^-3 Дж/м³?

12. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура, охватывающего токи силой 2 А, 4 А, 6 А, идущие в одном направлении.

Вариант 2

1. По двум параллельным и бесконечно длинным проводам, расположенным на расстоянии 4 см друг от друга, идут в противоположных направлениях токи силой I₁= I₂ = 40 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии 3 см, а от другого – на расстоянии 5 см.

2. Напряженность магнитного поля в центре витка радиусом 2 см равна 40 А/м. Определить напряженность и индукцию поля на оси витка в точке, расположенной на расстоянии 6 см от его центра. Какова напряженность в центре витка, если ему придать форму квадрата, не изменяя силу тока?

3. Рамка площадью 6 см², содержащая 400 витков проволоки, находится в магнитном поле с напряженностью 1,6×10⁵ А/м. По рамке идет ток силой 10^-7 А. Определить магнитный момент рамки и вращающий момент, действующий на нее со стороны поля, если плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60^o.

4. Плоский контур с силой тока 10 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Площадь контура 100 см². Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол 60^o. Определить совершенную при этом работу.

5. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. По проводу длиной 70 см, помещенному перпендикулярно направлению магнитного поля, идет ток силой 70 А. Найти величину силы, действующей на проводник.

6. Определить энергию и её плотность в железном сердечнике объемом 400 см³, если индукция равна 1,2 Тл (воспользоваться графиком В = f (H), см. прил. 2).

7. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3×10³ В, электрон влетает в однородное магнитное поле нормально линиям индукции. Индукция магнитного поля 0,01 Тл, радиус траектории 2 см. Определить удельный заряд электрона.

8. Определить при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с Е=10кВ/м и В=0,2Тл, не отклоняются

9. Катушка радиусом 5 см, имеющая 100 витков, находится в магнитном поле. Определить среднее значение ЭДС индукции в ней, если индукция магнитного поля увеличится в течение 0,5 с от 0 до 1,5 Тл.

10. Электродвижущая сила самоиндукции, возникшая в цепи с индуктивностью 0,4 Гн, изменяется с течением времени по закону =(А+Вt), где А=20 В; В=8 В/с. Определить, по какому закону изменяется сила тока в цепи.

11. Вычислить энергию магнитного поля соленоида, по обмотке которого идет ток силой 2 А. Обмотка выполнена в один слой из проволоки диаметром 0,4 мм; витки плотно прилегают друг к другу; объем соленоида 1500 см³; сердечник немагнитный.

12. Найти циркуляцию вектора индукции вдоль контура, если I1=50 А; I2=60 А; I3 =10 А; I4 = 100 А.

 

Вариант 3

1. По двум длинным параллельным проводникам, расстояние между которыми 6 см, идут токи силой 12 А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние 6 см, если токи идут в одном направлении.

2. Проволочный виток радиусом 20 см расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлена небольшая магнитная стрелка, которая может вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол отклонится стрелка, если по витку пустить ток силой 12 А? Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять равной 2×10^-5 Тл.

3. На проволочный виток радиусом 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует механический момент 6,2×10^-7 Н×м. Сила тока в витке 2 А. Найти магнитную индукцию поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

4. Прямой провод длиной 40 см, по которому идет ток силой 100 А, движется в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. Какую работу совершат силы, действующие на проводник со стороны поля, при его перемещении на расстояние 40 см, если направление перемещения перпендикулярно линиям индукции и проводу?

5. В однородное магнитное поле с напряженностью 8×10³ А/м внесен медный проводник. Плотность тока в проводнике 3 А/мм². С каким ускорением будет двигаться проводник, если направление тока перпендикулярно направлению магнитного поля?

6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=10 МТл по винтовой линии, радиус которой 1,5 см, а шаг 10 см. Определить период обращения электрона и его скорость.

7. Магнитная индукция однородного магнитного поля равна 0,5 Тл. Найти магнитный поток через площадку в 25 см², расположенную под углом 30^o к линиям магнитного поля. Определить напряженность поля.

8. Какое сечение должен иметь соленоид длиной 30 см с железным сердечником, чтобы при силе тока 0,3 А энергия магнитного поля в нем была равна 0,4 Дж, если в обмотке соленоида – 3500 витков (воспользоваться графиком В=f (Н), см. прил. 2)?

9. На длинный картонный каркас диаметром 5 см уложена однослойная обмотка из проволоки диаметром 0,2 мм. Определить магнитный поток, создаваемый таким соленоидом при силе тока 0,5 А.

10. Соленоид сечением 10 см² содержит 10³ витков. При силе тока 5 А магнитная индукция поля внутри соленоида равна 0,05 Тл. Определить индуктивность соленоида.

11. Соленоид содержит 800 витков. Площадь сечения сердечника 10 см². По обмотке идет ток, создающий поле с индукцией 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если сила тока уменьшится до нуля за время 0,8 мс.

12. Соленоид длиной 50 см и площадью поперечного сечения 2 см² имеет индуктивность 0,2 мкГн. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида будет равна 1 мДж/м³?

 

Вариант 4

1. По двум длинным параллельным проводам в одинаковом направлении идут токи силой 10 А и 15 А. Расстояние между проводами 10 см. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на расстояние 8 см, а от второго – на 6 см.

2. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 8 см равна 30 А/м. Определить напряженность поля на оси витка в точке, расположенной на расстоянии 6 см от центра витка.

3. Прямой проводник длиной 20 см, по которому идет ток силой 10 А, помещен в магнитное поле под углом 30^o к его направлению. Индукция магнитного поля равна 5 Тл. Найти напряженность поля и силу, действующую на проводник.

4. Прямой провод длиной 40 см, по которому идет ток силой 100 А, движется в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. Какую работу совершат силы, действующие на провод со стороны поля, при перемещении его на расстояние 40 см, если направление перемещения перпендикулярно линиям индукции и проводу?

5. Виток площадью 25 см² установился в однородном магнитном поле напряженностью 3000 А/м. По витку идет ток силой 10 А. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть виток на 90^o вокруг оси, совпадающей с одним из диаметров?

6. Электрон движется в магнитном поле с индукцией 4 мТл по окружности радиусом 0,8 см. Какова кинетическая энергия электрона?

7. Определить энергию и её плотность в железном сердечнике объемом 400 см³, если индукция равна 1,2 Тл (воспользоваться графиком В = f (H), см. прил. 2).

8. Магнитный поток сквозь сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида 50 см. Найти магнитный момент соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу.

9. На картонный каркас длиной 0,8 м и диаметром 4 см намотан в один слой провод диаметром 0,25 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность получившегося соленоида.

10. Катушка радиусом 4 см, имеющая 100 витков, находится в магнитном поле. Определить среднее значение ЭДС индукции в ней, если индукция магнитного поля увеличивается в течение 0,4 с от 0 до 1,2 Тл.

11. Рамка, содержащая 200 витков, может вращаться относительно оси, лежащей в её плоскости. Площадь рамки 5 см². Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля, величина которого равна 0,05 Тл. Определить максимальную ЭДС, которая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой 40 с^-1.

12. Индуктивность катушки 0,1 мГн. При какой силе тока энергия магнитного поля равна 10^-4 Дж.

 

Вариант 5

1. По двум параллельным проводам в противоположных направлениях идут токи силой I₁=I₂=10 А. Расстояние между проводами 30 см. Определить магнитную индукцию в точке, удаленной от первого и второго проводов соответственно на расстояния 15 см и 20 см.

2. Проволочный виток радиусом 20 см расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлена небольшая магнитная стрелка, которая может вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол отклонится стрелка, если по витку пустить ток силой 12 А? Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять равной 2×10^-5 Тл.

3. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. По проводу длиной 70 см, помещенному перпендикулярно направлению магнитного поля, идет ток силой 70 А. Найти величину силы, действующей на проводник.

4. Плоский контур с током силой 5 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл. Площадь контура 200 см². Поддерживая ток неизменным, контур повернули относительно оси, лежащей в его плоскости, на угол 40^o. Определить совершенную при этом работу.

5. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью 100 см². Поддерживая в контуре постоянную силу тока 50 А, его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Определить индукцию магнитного поля, если при перемещении контура была совершена работа 0,4 Дж.

6. Заряженная частица с кинетической энергией 2 кэВ движется в однородном поле по окружности радиусом 4 мм. Определить силу Лоренца, действующую на частицу со стороны поля.

7. Обмотка соленоида содержит 2 слоя прилегающих друг к другу витков провода диаметром 0,2 мм. Определить напряженность магнитного поля на оси соленоида, если по проводу идет ток силой 0,5 А.

8. Соленоид содержит 500 витков. При силе тока 2 А магнитный поток в соленоиде равен 4×10^-3 Вб. Определить индуктивность соленоида.

9. Определить индуктивность соленоида с железным сердечником и энергию магнитного поля в нем при силе тока 0,6 А, если площадь сечения соленоида 10 см², число витков 10³, а его длина 20 см, (воспользоваться графиком В=f(Н), см. прил. 2).

10. По катушке индуктивностью 8 мкГн идет ток силой 6 А. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре, если сила тока изменится за 5 мс до нуля.

11. Квадратная рамка с длиной стороны 80 см вращается в однородном магнитном поле с частотой 8 об/с. Ось вращения рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Магнитное поле изменяется по закону В= Тл. Определить максимальное значение ЭДС.

12. По соленоиду радиусом 20 см, содержащему 500 витков, идет ток силой 1 А. Определить объемную плотность энергии магнитного поля в центре соленоида.

Вариант 6

1. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По ним идут токи силой 100 А и 50 А. Расстояние между проводниками 20 см. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей в середине общего перпендикуляра к проводникам.

2. Проволочный виток радиусом 20 см расположен в плоскости магнитного меридиана; горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли равна 5,92 А/м. В центре витка установлен компас. Какой силы ток идет по витку, если магнитная стрелка компаса отклонена на угол 9^o от плоскости магнитного меридиана?

3. Рамка площадью 6 см², содержащая 400 витков проволоки, находится в магнитном поле с напряженностью 1,6×10⁵ А/м. По рамке идет ток силой 10^-7 А. Определить магнитный момент рамки и вращающий момент, действующий на нее со стороны поля, если плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60°.

4. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику идет ток силой 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно магнитному полю. Найти работу при перемещении проводника за время 10 с.

5. В средней части соленоида, содержащего 8 витков на каждый сантиметр, помещен круговой виток диаметром 4 см. Плоскость витка расположена под углом 60^o к оси соленоида. Определить магнитный поток, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида идет ток силой 1 А.

6. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влетел в однородное магнитное поле напряженностью 2,4×10⁵ А/м и начал двигаться по окружности. Определить радиус окружности.

7. Индуктивность соленоида с немагнитным сердечником равна 0,16 мГн. Длина соленоида 1 м, площадь сечения 1 см². Сколько витков на каждый сантиметр длины содержит обмотка соленоида?

8. Определить относительную магнитную проницаемость железного сердечника катушки при токе силой 4 А. Индуктивность катушки 0,4 Гн, площадь поперечного сечения 10 см², число витков 1000 (воспользоваться графиком В= f(Н), см. прил. 2).

9. Скорость самолета с реактивным двигателем 950 км/ч. Найти ЭДС индукции, возникающую на концах крыльев такого самолета, если вертикальная составляющая напряженности земного магнитного поля 39,8 А/м; размах крыльев 12,5 м.

10. Электродвижущая сила самоиндукции, возникшая в цепи с индуктивностью 0,4 Гн, изменяется с течением времени по закону =(А+Вt), где А=20 В; В=8 В/с. Определить, по какому закону изменяется сила тока в цепи.

11. Обмотка соленоида содержит 20 витков на каждый сантиметр длины. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля будет равна 0,1 Дж/м³ ? Сердечник выполнен из немагнитного материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.