Четырехполюсники с интегральными

ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ

 

Интегральный операционный усилитель (ОУ) представляет собой электронный блок с очень большим входным (R _ВХ» 10⁶ Ом) и малым выходным (R _ВЫХ» 0,1 Ом) сопротивлениями, имеющий высокий (m₀ = 10⁴ ¸ 10⁶) коэффициент усиления по напряжению. В последнее время ОУ широко используются для реализации управляемых источников, а также в ЭВМ и устройствах автоматики для выполнения различных математических операций (суммирование, дифференцирование, интегрирование и т.п.). На рис. 4.11, а показано условное обозначение ОУ, а на рис. 4.11, б - его схема

а б

Рис. 4.11

замещения в линейном режиме. Вход, обозначенный знаком ²минус², называют инвертирующим, а знаком ²плюс² - неинвертирующим. Сигнал, поданный на инвертирующий вход, усиливается по величине и меняет свою полярность (фазу). Неинвертирующий вход полярность (фазу) сигнала не изменяет. Сигнал может быть подан одновременно на оба входа, тогда при расчетах учитывается их сумма (разность): . Эту величину называют дифференциальным входным сигналом ОУ.

В линейном режиме ОУ работает, как правило, при наличии отрицательной обратной связи (ОС). Обратной связью называют подачу некоторой части выходного сигнала на входные зажимы, как показано на рис. 4.12, а.

а б

Рис. 4.12

Сопротивление , связывающее входные и выходные зажимы ОУ, называют сопротивлением обратной связи.

За счет отрицательной ОС напряжение усиливаемого сигнала уменьшается на величину сигнала обратной связи. При этом коэффициент усиления снижается и его можно регулировать. Усилитель с отрицательной ОС работает стабильно.

При анализе электронных цепей с ОУ их можно представлять, как показано в 4.5.2, совокупностью простых (канонических) Т- и П- образных четырехполюсников с последующим определением матрицы всей цепи. Однако на практике проще произвести расчет по уравнениям Кирхгофа или по методу узловых потенциалов, заменяя реальный ОУ идеальным.

Идеальному ОУ приписывают следующие свойства:

1. Напряжение между входными зажимами ОУ равно нулю.

2. Входные токи ОУ (обоих входов) равны нулю (R_ВХ ® ¥).

3. Коэффициент усиления ОУ m₀ ® ¥ (R_ВЫХ = 0).

Такая идеализация не изменяет результатов расчета, поскольку реальный ОУ практически удовлетворяет свойствам ИНУН с матрицей

.

Нижеприведенные примеры подтверждают сказанное.

 

ПРИМЕР 4.10. Показать, что коэффициент передачи по напряжению цепи с ОУ по рис. 4.12, а не зависит от коэффициента усиления ОУ с потерями. Параметры Z ₁ и Z ₂, а также R_ВХ и R_ВЫХ, полагать известными.

 

РЕШЕНИЕ. С учетом схемы замещения ОУ (линейный режим) исходная схема преобразуется в схему, представленную на рис. 4.12, б. По методу узловых потенциалов для узлов 0 и 2 имеем:

;

,

где Z _H - сопротивление нагрузки.

Обозначая ,

и решая относительно U ₂, получаем:

.

В реальных усилительных каскадах , поэтому

.

Таким образом, коэффициент передачи цепи по напряжению не зависит ни от m₀, ни от внутренних параметров ОУ и, следовательно, ОУ в расчетах можно принимать идеальным.

ПРИМЕР 4.10. Определить коэффициент передачи по напряжению цепи по рис. 4.13 с идеальным ОУ. Параметры цепи Z ₁ и Z ₂ полагать известными.

Рис. 4.13

РЕШЕНИЕ. Поскольку ОУ - идеальный, напряжение на его входных зажимах принимаем равным нулю. Тогда по второму закону Кирхгофа будем иметь:

.

Решая относительно , находим:

.

ПРИМЕР 4.12. Для четырехполюсника по рис. 4.14 составить матрицу (А), полагая параметры R₁ и R₂ известными, а ОУ - идеальным.

Рис. 4.14

РЕШЕНИЕ. Согласно второму закону Кирхгофа, для входного и выходного контуров имеем:

;

.

Поскольку входное напряжение идеального ОУ в линейном режиме равно нулю, следует положить .

Тогда и .

Таким образом,

.

 

ПРИМЕР 4.13. Определить входное сопротивление цепи по рис. 4.15, полагая сопротивления R₁, R₂ и Z _H известными, а ОУ - идеальным.

Рис. 4.15

РЕШЕНИЕ. На основании второго закона Кирхгофа записываем:

и .

Поскольку ОУ - идеальный, U₀ = 0 и, следовательно,

; .

Учитывая и ,

получаем: ,

и, наконец, .

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Данная цепь представляет собой конвертор отрицательных сопротивлений (КОС), преобразующий параметры подключенных элементов подобно идеальному трансформатору.

 

 

ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ

НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Несинусоидальные или негармонические периодические сигналы - это токи, напряжения или ЭДС, повторяющиеся через равные промежутки времени (период Т) и отличающиеся по форме от постоянных и синусоидальных.

В электроэнергетике несинусоидальность токов и напряжений, как правило, является следствием аварийных режимов или обусловлена влиянием нелинейных устройств. В вычислительной технике, радиотехнике, автоматике и телемеханике специально генерируются несинусоидальные сигналы.

Все физически реализуемые периодические несинусоидальные сигналы удовлетворяют требованиям Дирихле и могут быть представлены тригонометрическим рядом Фурье:

, (5.1)

где А₀ - гармоника нулевого порядка или постоянная составляющая, равная

, (5.2)

w, А_1m, y₁ - основная частота, амплитуда основной (или первой)

гармоники и ее начальная фаза соответственно;

А_2m, A_3m,..., А_km, y₂ , y₃,..., y_k - амплитуды 2, 3,..., k гармоник,

названных высшими, и их начальные фазы.

Иногда тригонометрический ряд записывают в форме:

,

(5.3)

и . (5.4)

Существующее программное обеспечение ЭВМ позволяет быстро произвести гармонический анализ любого периодического сигнала на основе уравнений (5.1) ¸ (5.4).

 

Ряд Фурье может быть представлен графически в виде дискретных спектров амплитуд и начальных фаз, как показано на рис. 5.1, а и б, соответственно.

 

а б

Рис. 5.1

Действующим или средним квадратичным значением функции называют величину

. (5.5)

 

Для синусоиды .

Среднее значение за период или постоянную составляющую определяют:

. (5.6)

Для синусоиды и всех симметричных относительно оси абсцисс сигналов эта величина равна нулю. Поэтому для кривых, симметричных относительно оси абсцисс, определяют среднее по модулю:

. (5.7)

Для синусоидальных величин .

 

Для оценки несинусоидальности используют коэффициенты:

а) формы кривой (для синусоиды К_Ф = 1.11); (5.8)

б) амплитуды (для синусоиды = ); (5.9)

в) искажения К_И = F₁ / F (для синусоиды К_И = 1, F₁ - действующее значение первой гармоники); (5.10)

г) гармоник К_Г = (для синусоиды К_Г = 0). (5.11)

 

ПРИМЕР 5.1. Напряжение строчной развертки монитора с амплитудой 48 В, показанное на рис. 5.2, а, аппроксимировано гармоническим рядом: .

Требуется построить дискретный спектр амплитуд, определить действующее U и среднее значения, а также коэффициенты формы , искажения и гармоник .

 

РЕШЕНИЕ. 1. Дискретный спектр амплитуд представляет собой совокупность зависимостей амплитуд гармонических составляющих от частоты, изображенных на плоскости.

а б

Рис. 5.2

Для заданной функции имеем четыре линии, изображающие в масштабе постоянную составляющую и амплитуды трех гармоник, расположенные в точках оси абсцисс, кратных частотам этих гармоник, как показано на рис. 5.2, б.

2. На основании (5.5), действующее значение напряжения:

В.

Среднее значение напряжения за период: В.

3. По формулам (5.8), (5.10), (5.11) находим:

; ;

.

 

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ С

НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ

 

Расчет линейной цепи с несинусоидальными источниками основывается на принципе наложения, согласно которому он проводится для каждой из гармонических составляющих в отдельности в следующей последовательности:

1. Заданные несинусоидальные токи, напряжения, ЭДС представляют тригонометрическим рядом (можно использовать имеющиеся, например, в [1] таблицы).

2. Рассчитывают цепь последовательно от действия нулевой, первой и других гармоник, проверяя правильность расчета для каждой из гармоник, подсчетом баланса мощностей, при этом:

, .

3. Записывают результат в виде суммы мгновенных значений всех составляющих (в виде ряда).

4. При необходимости определяют действующее (F), среднее (F_СР), или среднее по модулю () значения несинусоидальных величин, коэффициенты, характеризующие их форму, а также энергетические показатели цепи: активную - Р, реактивную - Q, полную - S мощности и мощность искажения Т (см. 5.4).

 

ПРИМЕР 5.2. Для цепи по рис. 5.3 с входным напряжением В и параметрами R = 3 Ом, L = 20 мГн, C = 5 мФ, w = 100 рад/с определить:

1. Мгновенные значения выходного напряжения u₂(t);

2. Комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению для первой гармоники ;

3. Входное сопротивление цепи для второй гармоники .

Рис. 5.3

 

РЕШЕНИЕ: 1. На основании принципа наложения, выходное напряжение u₂(t) определяется в виде ряда (5.1):

,

где - амплитуды гармонических составляющих;

y_k - их начальные фазы.

Для нулевой гармоники (постоянной составляющей) имеем:

, , поэтому .

 

 

Для первой (основной) гармоники:

Ом; Ом.

Действующее значение напряжения на выходных зажимах (на индуктивности) в комплексной форме:

 

Закон изменения во времени напряжения первой гармоники:

 

Для второй гармоники:

; Ом, .

Действующее значение второй гармоники выходного напряжения в комплексной форме:

 

Закон изменения напряжения второй гармоники:

В.

2. Комплексный коэффициент передачи по напряжению для первой гармоники:

.

3. Входное сопротивление цепи для второй гармоники:

Ом.

 

 

ОСОБЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

 

При измерении несинусоидальных сигналов приборами различных измерительных систем следует принимать во внимание:

1. Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем показывают действующие значения измеряемых величин;

2. Магнитоэлектрические приборы реагируют на средние значения - постоянные составляющие;

3. Выпрямительные приборы с магнитоэлектрическим механизмом реагируют на средние по модулю значения, а градуируются на действующие, т.е. показывают ;

4. Электронные амплитудные вольтметры реагируют на максимальные значения, а градуируются на действующие, т.е. показывают . При существенных отличиях и измеряемого сигнала от 1,11 и погрешность измерений выпрямительными и электронными приборами велика.

 

ПРИМЕР 5.3. Определить показания амперметра выпрямительной системы (А), вольтметров магнитоэлектрической (V_R), электромагнитной (V_L) и электронной (V_C) систем, измеряющих напряжения на элементах R = 1 Ом, L = 1 Гн, C = 0,5 Ф в цепи по рис. 5.4, а. В цепи действует источник тока периодической треугольной формы, показанной на рис. 5.4, б.

а б

Рис. 5.4

 

 

РЕШЕНИЕ. Амперметры выпрямительной системы, выполненные по двухполупериодной схеме, реагируют на средние по модулю значения измеряемых величин, но градуируются на действующие. Поэтому среднее по модулю значение кривой J(t) следует умножить на 1,1 - коэффициент формы синусоиды.

Для заданной кривой тока среднее по модулю значение:

А

и амперметр, следовательно, покажет I = 1×1,11 = 1,11 А.

Вольтметры магнитоэлектрической системы регистрируют средние значения за период, т. е. постоянную составляющую. В нашем случае напряжение = R × J(t) имеет среднее значение за период, равное нулю (см. кривую J(t) на рис. 5.4, б). Вольтметр , таким образом, покажет нуль.

Вольтметры электромагнитной системы регистрируют среднеквадратичные (действующие) значения. В данном случае нужно определить действующее значение напряжения = L × di / dt, представляющего собой прямоугольные знакопеременные импульсы, показанные на рис. 5.5, а. Согласно (5.5):

Подставляя численные значения, находим: = 2 B.

 

Вольтметры электронных систем реагируют на амплитудные значения, но градуируются в действующих, поэтому сначала следует найти максимальное значение напряжения на емкости, а затем поделить его на - коэффициент амплитуды синусоиды. Напряжение на емкости определяется:

,

где ток емкости (ток источника) изменяется по закону:

а б

Рис. 5.5

 

Подставляя в формулу для u_C(t), находим:

 

Закон изменения напряжения на емкости показан на рис. 5.5, б. Максимальное значение напряжения достигается при t = 2с (можно найти из условия du_C/dt = 0) и составляет величину:

= 8 × 2 - 2 × 2² - 4 = 4 B.

Электронный вольтметр будет показывать: В.

 

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

 

Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как среднее значение мгновенной мощности за период основной гармоники:

.

Подставляя u и i, согласно (5.1), в форме ряда, после интегрирования получаем:

, Вт.

(5.12)

Здесь , - действующие значения напряжения и тока

k - гармоники;

- разность начальных фаз напряжения и тока

k - гармоники.

Аналогично можно записать для реактивной мощности:

, (5.13)

где , вар.

Полная мощность: , ВА. (5.14)

Мощность искажения: , вар. (5.15)

Для резистивной цепи Т = 0.

 

ПРИМЕР 5.4. Определить активную (Р) и полную (S) мощности, а также мощность искажения в электрической цепи по рис. 5.6 с известными параметрами R = 3 Ом; L = 1 мГн; С = 0,5 мФ; w = 1000 рад/с при действии источника ЭДС

e(t) = 20 + 42,3 × sin(wt) + 30 × sin(2wt + 45⁰) В.

Рис. 5.6

 

РЕШЕНИЕ. Для определения мощностей Р, S и Т необходимо знать действующие значения гармонических составляющих входного тока и напряжения, а также их начальные фазы:

;

,

где - реактивная мощность.

В данной цепи последовательно с источником ЭДС включен емкостный элемент, поэтому ток нулевой гармоники I₀ = 0.

Ток первой (основной) гармоники в комплексной форме:

,

где .

Подставляя численные значения = wL = 1000 × 10^-3 = 1 Ом, Ом,

находим: = 3 - j 2 + j 1 × (- j 2) / (j 1 - j 2) = 3 - j 2 + j 2 = 3 Ом

и = 30/3 = 10 А.

Для второй гармоники: = 2 Ом, = 1 Ом,

Ом и, следовательно,

А.

Активная мощность цепи:

Реактивная мощность:

вар.

Полная мощность:

ВА.

Мощность искажения:

вар.

 

ПРИМЕР 5.5. Определить показания приборов электромагнитной системы в цепи по рис. 5.7, а, подключенной к источнику напряжения В. Параметры индуктивно связанных катушек: R = 30 Ом; L = 0,4 Гн; коэффициент связи k_СВ = 0,5. Измерительные приборы считать идеальными.

а б

Рис. 5.7

 

РЕШЕНИЕ. От воздействия на цепь постоянной составляющей входного напряжения имеем:

А,

при этом напряжение во вторичной цепи отсутствует: .

Для основной гармоники расчет произведем, развязав индуктивные связи, как показано на рис. 5.7, б. Здесь М - взаимная индуктивность, равная: Гн.

Действующее значение тока первой гармоники в комплексной форме:

А.

Напряжение на выходном вольтметре (V₂) определяется только напряжением ветви с взаимной индуктивностью:

В.

Таким образом, найденные токи и напряжения:

А;

В.

Электромагнитные приборы реагируют на действующие значения, поэтому их показания:

В;

А;

В;