Многомерные случайные величины

На одном и том же пространстве элементарных исходов можно рассматривать не одну, а несколько случайных величин. Например, подбрасывают три игральных кубика. Можно рассматривать одну случайную величину ξ – сумма выпавших очков или три случайных величины:

ξ₁ – число выпавших очков на 1-ом кубике,

ξ₂ – число выпавших очков на 2-ом кубике,

ξ₃ – число выпавших очков на 3-ем кубике.

В экономике, как правило, на показатель действует несколько факторов, например, качество продукции зависит от многих факторов.

Пусть ξ₁, ξ₂, …, ξ_n –система случайных величин, определенных на множестве .

Функция распределения системы случайных величин определяется формулой

F(x₁, x₂, …, x_n) = P(ξ₁ <x₁, ξ₂ <x₂,..., ξ_n <x_n), (20)

где x₁, x₂, …, x_n ()

При этом F(x₁, x₂, …, x_n) – неубывающая функция каждого аргумента.

Для дискретной системы случайной величины закон распределения определяется заданием вектора x₁, x₂, …,x_n и вектора вероятностей

,

таких, что .

Функция распределения выражается в виде кратной суммы

F(x₁, x₂, …, x_n) = , (21)

где суммирование производится по всем возможным значениям каждой из случайных величин, для которых .

Система ξ₁, ξ₂, …, ξ_n называется непрерывной,если существует

f(x₁, x₂, …, x_n) 0 такая, что для любых x₁, x₂, …, x_nфункцию распределения

F(x) можно представить в виде n-мерного интеграла

F(x) = . (22)

Функция f ( ) называется плотностью распределения вероятностей системы случайных величин,

f() = (23)

в точках непрерывности.

случайные величины ξ₁, ξ₂, …, ξ_n называются независимыми, если для любых

x₁, x₂, …, x_nнезависимы события .

Для не зависимых ξ₁, ξ₂, …, ξ_n функция распределения равна произведению

функций распределения каждой случайной величины

F(x₁, x₂, …, x_n) = . (24)

Также справедливы равенства:

для дискретных случайных величин Р =

= ,

для непрерывных случайных величин f() = .

Основными числовыми характеристиками n случайных величин являются математические ожидания

М() = (25)

и дисперсии

D() = = . (26)

Лекция 11.

Условным законом распределения одной случайной величины,входящей в систему, называется закон, найденный при условии, что другая случайная величина, входящая в эту же систему, приняла определенное значение. Условный закон распределения задается как функцией распределения, так и плотностью распределения. Если рассматривается распределение случайной величины ξ_i при условии, что другая случайная величина ξ_j приняла определенное значение, то условная функция распределения обозначается

F(x/y), а плотность – f(x/ y).

Важными характеристиками являются условные математические ожидания и условные дисперсии. Пусть случайная величина ξ_i принимаетзначения

a = (), а случайная величина ξ_j - b = ().

Условным математическим ожиданием дискретнойслучайной величины ξ_i при ξ_j = bназывают сумму произведений возможных значений ξ _i на их условные вероятности_. Тогда условное математическое ожидание вычисляется по формуле:

M(ξ_i / ξ_j=b) = . (27)

Для непрерывных случайных величин

M(ξ_i / ξ_j=b) = . (28)

Особая роль в изучении системы случайных величин принадлежит корреляционному моменту (ковариации). Ковариацией случайных величин ξ _i и ξ_j называется число

= cov(ξ_iξ_j) = M((ξ _i-M(ξ _i))(ξ _j-M(ξ_j)))=M(ξ_iξ_j)-M(ξ_i)M(ξ_j), i,j=1,2,…n.

Для независимых случайных величин ковариация равна нулю т.к. в этом случае M(ξ_iξ_j) = M(ξ_i)M(ξ_j).

Очевидно, что = = D(), cov(ξ_iξ _j) = cov(ξ ξ )

Все парные ковариации составляют симметричную относительно главной диагонали ковариационную матрицу размерностью (n n).

=

Определитель ковариационной матрицы является обобщенной дисперсией системы случайных величин..

Рассмотрим систему только двух случайных величин, пусть ξ₁, ξ₂. Пусть случайная величина ξ₁ принимает значения из множества X, ξ₂ – из множества Y, (X,Y) -действительные числа. Мерой линейной зависимости двух случайных величин ξ₁, ξ₂ является коэффициент корреляции

,

Свойства коэффициента корреляции:

1. |ρ| .

2. |ρ|=1 тогда и только тогда, когда между случайными величинами существует

линейная функциональная взаимосвязь

y = аx + b, (29)

где ,

причем, если ρ= 1, то a > 0, если ρ= -1, то a < 0 (Рис. 15)

 

 

Рис. 15.

Для независимых случайных величин ρ = 0, но обратное утверждение неверно, т.к. между случайными величинами может быть другой тип взаимосвязи (нелинейной).Чем ближе значение ρ к нулю, тем слабее линейная взаимосвязь, чем ближе по модулю к единице, тем -сильнее. Если ρ = 0, то говорят, что случайные величины некоррелированы. Можно показать, что если нормально распределенные случайные величины некоррелированы, то они и независимы.

Пусть –1<ρ<1 и ρ≠0. Если нанести точки (X,Y) на координатную плоскость XoY, то можно заметить, что эти точки группируются вокруг некоторой прямой y = ax + b. Вычислим коэффициенты a,b этой прямой из условия, что дисперсия отклонений точек (X,Y) от точек на прямой была минимальна.

 

 

.

.

.

.

.

 

Рис. 16.

Уравнение, относительно которого дисперсия минимальна, называется уравнением регрессии. Рассматривая дисперсию как функцию от двух переменных a и b воспользуемся необходимым условием экстремума

Решая эту систему относительно a и b, получим

, , уравнение регрессии - у = (Рис.16),

при этом дисперсия , и она является минимальной.

Таким образом, уравнение регрессии у = , дает наилучшее линейное представление ξ₂ по ξ₁.

Количественной характеристикой нелинейной взаимосвязи случайных величин ξ₁, ξ₂ является корреляционное отношение. Коэффициент корреляционного отношения ξ₂ по ξ₁ вычисляется по формуле:

, (30)

где - условная дисперсия, характеризующая рассеяние ξ₂ около условного математического ожидания .

Свойства корреляционного отношения:

1. .

2. η=0 соответствует некоррелированным случайным величинам.

3. η=1,тогда и только тогда, когда имеет место функциональная зависимость между ξ₁ и ξ₂. В случае линейной зависимости ξ₂ от ξ₁ корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции.

Корреляционное отношение несимметрично относительно ξ₁ и ξ₂, поэтому наряду с рассматривается , определяемое аналогичным образом. Между и нет какой-либо простой зависимости.

Теперь рассмотрим совокупность n-случайных величин .Можно вычислить коэффициенты корреляции ρ_ij между каждой парой случайных величин. Они составят корреляционную матрицу

ρ_ij=ρ_ji, i≠j т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали.

Взаимосвязь какой-либо случайной величины ξ_i со всеми остальными случайными величинами характеризуется множественным коэффициентом корреляции

(31)

|R| - определитель матрицы R,

R_jj – алгебраическое дополнение, соответствующее элементу корреляционной матрицы ρ_jj,

.

Лекция 12.

Предельные теоремы.