Решение дифференциального уравнения

Общим решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма, состоящая из общего решения однородного уравнения у_с и частного решения неоднородного уравнения у_b, т.е.

. (21)

 

Общее решение однородного уравнения порядка n ищут в виде:

, (22)

 

где p ₁, p ₂ … p_n — корни соответствующего ему характеристического уравнения.

 

Частное решение неоднородного уравнения в общем случае ищется с учетом вида правой части. При исследовании звеньев САР частное решение неоднородного уравнения обычно ищу для случая, когда приложенное скачкообразное внешнее воздействие (см. рис. 21) сохраняется постоянным во времени, т.е.

. (23)

 

Постоянные интегрирования С ₁, С ₂ … С_n определяют из начальных условий, которые можно принять нулевыми т.е. при t = 0,

и т. д. (24)

 

Применим изложенную методику к решению уравнения объекта (13).

Соответствующее уравнению (20)характеристическое уравнение будет иметь один корень .

Тогда

. (25)

 

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

 

подставляя значения и в уравнение (13), получим:

и, следовательно,

.

 

Исходя из нулевых начальных условий, т.е. при t = 0 y = 0, получим или .

В окончательном виде решение уравнения (13) или его переходная функция будет:

. (26)

 

Графически переходной процесс, соответствующий переходной функции (26), будет иметь вид экспоненты, изображенной на рис. 22.

 

Рис. 22. График переходного процесса

 

Коэффициент усиления k показывает зависимость выходной координаты от входной при различных установившихся режимах.

Постоянная времени Т ₀характеризует скорость изменения регулируемой величины в переходном процессе. Для экспоненциальной функции такого вида Т ₀будет являться проекцией касательной, проведенной в любой точке экспоненты на линию установившегося значения .

Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго. В практических инженерных расчетах принимают, что переходный процесс закончится, когда регулируемая величина достигнет значения:

. (27)

 

Подставляя это значение в выражение (26), можем определить продолжительность переходного процесса в зависимости от величины п:

. (28)

 

В практических расчетах принимают п = (0,99÷0,95). Для этих значений продолжительность переходного процесса соответственно будет: = 4,6 Т ₀ и = 3 Т ₀.

 

Автоматические регуляторы

Автоматический регулятор формирует закон регулирования и обеспечивает заданные динамические свойства САР. Автоматические регуляторы разделяются на регуляторы прямого и непрямого действия. В регуляторах непрямого действия перемещение регулирующего органа осуществляется за счет энергии постороннего источника, в зависимости от вида которой различают электрические, пневматические, гидравлические и комбинированные регуляторы.

В общем случае регулятор можно отнести к колебательному звену, динамика которого описывается уравнением 2-го порядка [см. уравнение (50)]. Однако в связи с тем, что постоянные времени Т ₁и Т ₂ в уравнении (50) обычно во много раз меньше постоянной времени объекта Т ₀, в практических расчетах ими часто пренебрегают и считают регулятор идеальным звеном [см. уравнение (29)].

В зависимости от характеристики действия регуляторы делятся:

на статические или пропорциональные (П-регуляторы), в которых регулирующее воздействие пропорционально отклонению регулируемой величины; уравнение динамики идеального статического регулятора имеет вид:

; (29)

 

на астатические или интегральные (И-регуляторы), у которых регулирующее воздействие пропорционально интегралу отклонения регулируемой величины; уравнение динамики идеального астатического регулятора имеет вид:

; (30)

 

на изодромные или пропорционально-интегральные (ПИ-регуляторы), у которых регулирующее воздействие пропорционально отклонению и интегралу отклонения регулируемой величины; уравнение динамики идеального изодромного регулятора имеет вид:

; (31)

 

на регуляторы с воздействием по производной (или ПД-регуляторы), у которых регулирующее воздействие пропорционально отклонению и производной отклонения регулируемой величины. Применяются также регуляторы, у которых регулирующее воздействие пропорционально отклонению, производной и интегралу отклонения регулируемой величины — изодромные с воздействием по производной (ПИД-регуляторы); уравнение динамики ПИД-регулятора имеет вид:

. (32)