Основной закон динамики. Уравнение моментов для тела движущего по окружности

Пусть точка движется по окружности радиуса с центром в т. О под действием силы F, составляющей угол a с каса­тельной а окружности (рис. 26).

(рис 26)

 

 

Второй закон динамики в проекциях на касательное направление имеет вид:

 

 

Учитывая, что и умно­жив обе части (61) на R получим:

 

 

из рисунка видно, что Rcosa=h (плечо силы относительно центра окружности). Учитывая также направление векторов углового ускорения и момента силы относительно центра окружности, получим:

Сравним полученное выражение с основным законом динамики Ньютона в частной формулировке

 

 

Заметим, что в (63) и (64) физический смысл аналогичен, только речь идет о разных типах движения. Поэтому одинаков и физический смысл величин m и mR². Следовательно, величина mR² определяет инертные свойства тела при вращатель­ном движении. Эта величина I=mR² называется моментом инер­ции тела (точки). С учетом сказанного основной закон динамики для вращательного движения записывают в виде:

 

Уравнение моментов относительно произвольного центра.

Основной закон динамики в общей формулировке можно записать в виде:

 

При вращательном движении вокруг центра О роль импульса играет момент импульса относительно центра:

где r – радиус-вектор вращающейся материальной точки.

Основной закон динамики вращательного движения (уравнение моментов) относительно произвольного центра будем находить в виде, аналогичном (66).

 

Учитывая (67), получим:

Отметим, что:

 

Тогда:

 

Очевидно, что первый член в правой части равенства равен нулю, а второй - моменту силы относительно выбранного центра. Следовательно:

Уравнение моментов относительно координатных осей.

Совершенно аналогично можно получить уравнения моментов относительно координатных осей:

Следовательно:

 

Подобным же образом получаем:

4.16. движение тел в поле центральных сил.

 

Центральными называют силы, линии действия которых проходят в своё время через один и тот же центр. Примером таких сил могут служить силы гравитационного взаимодействия между планетами Солнечной системы.

 

 

Основные особенности движения тел в поле центральных сил рассмотрим на примере движения планеты вокруг Солнца. Планета Р (рис.27) движется вокруг Солнца, центр масс которого находится в точке с. Радиус-вектор планеты, а сила, действующая на неё со стороны Солнца -. Движение планеты вокруг Солнца описывается уравнением моментов:

 

Т.к.., следовательно:

 

Постоянство вектора означает постоянство как его модуля, так и направления в пространстве. Из

условия постоянства направления следует, что орбита планеты плоская, т.е. она движется всё время в одной и той же плоскости.

Из условия постоянства модуля вектора следует, что:

Считая массу планеты постоянной, можно далее записать:

Из рисунка видно, что h*dS равно удвоенной площади, ометаемой радиус-вектором планеты за промежуток времени dt. Обозначив эту площадь dσ, получим:

т.е. площадь, ометаемая радиус-вектором планеты в единицу времени (секториальная скорость) постоянна.

 

Основные законы динамики систем материальных точек.

Система материальных точек.

 

Системой материальных точек (механической системой) называют совокупность взаимодействующих между собой точек, в которой положение и движение каждой из них зависит от положения и движения остальных точек системы (например, Солнечная планетная система).

Система точек характеризуется совокупностью сил, приложенных ко всем точкам смстемы как со стороны других точек системы (внутренние силы), так и со стороны тел, не входящих в состав данной системы (внешние силы). Характеристикой системы является её масса, равная сумме масс точек, входящих в состав системы. Кроме того, система характеризуется положением её центра масс, которое можно задавать векторным и координатным способами:

где: ― масса k-й точки системы, ― её радиус-вектор, ― её координаты, - радиус-вектор центра масс системы, ― его координаты.