Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, гравитационный потенциал.

Потенциальная энергия взаимодействия численно равна работе сил взаимодействия по перемещению взаимодействующего тела из данного положения в бесконечность:

(220)

Энергетической характеристикой поля является гравитационный потенциал, равный потенциальной энергии единичной пробной массы, помещённой в данную точку поля:

(221)

Связь напряжённости и потенциала поля.

На расстояниях и от источника поля напряжённости поля равны:

и

В этих же точках определим потенциалы:

и

Изменение потенциала на еденицу длинны:

Если точки расположены бесконечно близко друг к другу, связь напряжённости и потенциала принимает вид:

(222)

Зависимость веса тела от высоты.

Для небольших высот (малы по сравнению с радиусом Земли) вес тела:

(223)

Где - вес тела на поверхности Земли.

Гравитационное взаимодействие между телами конечных размеров.

Взаимодействие между материальной точкой и тонким кольцом.

 

Материальная точка массы находится на расстоянии от тонкого кольца массы (рис.52). Выделим два элемента кольца массы , расположенные на концах расположенные под углом из его центра. По закону всемирного тяготения сила взаимодействия между точкой и каждым из элементов равна: (224)

Равнодействующая сила взаимодействия с двумя выделенными элементами направлена к центру кольца и равна: (225)

Полную силу взаимодействия можно получить, интегрируя (225):

(226)

Рис.52

 

12.5.2. Взаимодействие точки с тонким сферическим слоем.

 

Пусть точечная пробная масса находится на расстоянии от центра слоя радиуса и массы (рис.53).

Рис.53

Выделим в слое тонкое кольцо, радиус которого виден из центра слоя под углом , а поперечный размер (ширина кольца) – под уuлом . По (226) сила взаимодействия между точкой и выделенным кольцом равна:

(227)

где:

масса кольца.

Таким образом:

(228)

Перейдем в 226 к одной переменной:

откуда:

(229)

Сила взаимодействия со всем слоем, если точка находится за его пределами равна:

(230)

Если же точка находится внутри слоя, сила взаимодействия равна:

(231)

Взаимодействие между точечной массой и однородным шаром.

 

Точка массы находится на расстоянии от центра однородного шара радиуса и массы за его пределами. Силу взаимодействия можно определить, пользуясь предыдущими результатами. Для этого выделим в шаре сферический слой радиуса и толщины с центром в центре шара. Масса выделенного слоя равна:

По (231) сила взаимодействия точки с выделенным слоем равна:

Интегрируя, получаем силу взаимодействия точки с шаром:

(232)

Если же точка находится внутри шара, надо учитывать взаимодействие только со слоями шара, с внутренними по отношению к точке:

(233)

где: - суммарная масса внутренних слоев шара, равная:

Отсюда сила взаимодействия равна:

(234)

Работа и энергия.

Работа силы, работа суммы сил.

Работой силы называют величину, равную произведение силы на перемещение точки приложения силы:

(235)

Как видно, если сила и перемещение взаимно перпендикулярны, работа силы равна нулю. Например, центростремительная сила не производит работы, ее роль сводится лишь к искривлению траектории.

Работа суммы сил равна сумме работ, производимых отдельными силами системы. Например:

(236)

Частные случаи вычисления работы.

Работа силы тяжести.

Рис.54

Пусть тело под действием силы тяжести скользит по наклонной поверхности произвольной формы (рис.54.) работа нормальной реакции по (235) равна нулю, поэтому при отсутствии трения работу совершает только сила тяжести. На элементарном перемещении работа силы равна:

(237)

Следовательно, на конечном перемещении работа сил тяжести не зависит от формы траектории и равна:

где: перемещение тела по вертикали.

Работа упругих сил.

 

На гладкой горизонтальной плоскости находится тело, скрепленное пружиной жесткости с вертикальной стенкой (рис.55).

Рис.55

Если под действие внешней силы пружина растягивается на , возникает сила упругости пружины, равная в пределах упругих деформаций . Элементарная работа упругих сил по перемещению тела из этого положения на равна:

Работа же силы на конечном перемещении:

(238)

где – растяжение (удлинение) пружины.