Динамика тел переменной массы.

 

Телом переменной массы называют тело, масса которого с течением времени изменяется (M=M(t)) за счёт отделения от него или прибавления к нему дополнительной массы. Тело, от которого отделяется масса или к которому прибавляется масса, называется основным телом. Основной закон динамики тела переменной массы получим на примере ракеты.

 

6.1. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.

 

Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью, а равнодействующая внешних приложенных к нему сил

равнялась. Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью.

 

 

Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью.

Применим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы точек:

 

Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

Обозначив (скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим основной закон динамики для тела с убывающей массой:

 

От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной, имеющей размерность силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость, а

 

направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.

 

6.2. Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.

 

Предположим, что в момент времени t система состояла из основного тела массы М, двигавшегося со скоростью и малой массы dM, двигавшейся со скоростью. К моменту времени t+dt малая масса попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое движется со скоростью. Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна, основной закон динамики записывается для системы в виде:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:

или

где: ― относительная скорость добавляющейся массы.

Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.

 

6.3. Первое соотношение Циолковского.

 

Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.

.Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде:

 

 

или:

Интегрируя, получим:

Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка, когда,а. Тогда:

Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:

Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v, зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса и массы топлива, содержащегося в нём:. В конце активного участка топливо полностью сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.

Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:

Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.

 

6.4. Второе соотношение Циолковского.

 

Второе соотношение Циолковского определяет максимально возможный к.п.д. ракетного двигателя. По-прежнему считаем, что ракета движется вне силовых полей, а относительная скорость продуктов сгорания топлива постоянна. Кроме того, полагаем, что потерями на нагрев корпуса ракеты и на излучение можно пренебречь. При таких предположениях работа двигателя определяется изменением кинетической энергии системы «ракета ― отделившиеся продукты сгорания топлива». При этом полезная работа определяется изменением кинетической энергии только корпуса ракеты, а вся затраченная работа ― изменением кинетической энергии всей системы.

Положим, что в момент времени t масса ракеты была М, а скорость её n. В момент времени t+dt система состояла из одного тела массой M+dM, двигавшегося со скоростью

n+dn, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью.

Полная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим:

 

 

Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:

 

С учётом этого:

 

 

Используя соотношение Циолковского и полагая в нём, что скорость ракеты в начале активного участка траектории равна нулю, последнее соотношение приведём к одной переменной:

Интегрируя это равенство в пределах изменения массы ракеты (от до), получим значение полной работы, совершённой двигателем:

 

Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

 

 

Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:

 

Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям», согласно которому:

 

Полезная работа на всём активном участке траектории равна:

Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:

 

Тогда:

 

Согласно (109):

Подставив это значение в (110) получим:

 

По определению коэффициент полезного действия ракетного двигателя равен:

Учитывая, что и, запишем окончательный вид второго соотношения Циолковского:

 

6.5. Линейный режим работы ракетного двигателя.

 

При линейном режиме работы ракетного двигателя масса ракеты уменьшается со временем по линейному закону:

где α определяет скорость сгорания топлива. При таком режиме массовый расход равен:

т.е. со временем массовый расход не изменяется. Уравнение Мещерского при отсутствии внешних сил имеет вид:

 

Очевидно, что реактивная сила со временем не изменяется. В то же время ускорение ракеты возрастает по закону:

 

 

Таким образом, при линейном режиме реактивная сила постоянна, а ускорение ракеты и, соответственно, силы инерции, действующие на тела в корпусе ракеты со временем возрастают.