Дане тіло має об'єм v, якщо існують прості тіла, що містять його, і прості тіла, що містяться в ньому, з об'ємами, що як завгодно мало відрізняються від V.

Застосуємо це визначення до знаходження об'єму циліндра з радіусом основи R і висотою Н.

Мал.7

У процесі виведення формули для площі круга ми побудували такі два n -кутники (один, який містить круг, а інший міститься у крузі), що їх площі при необмеженім збільшенні n необмежено наближалися до площі круга. Побудуємо такі многокутники для круга в основі циліндра. Нехай Р — многокутник, що містить круг, а Р' — многокутник, який міститься у крузі. (мал. 7).

Побудуємо дві прямі призми з основами Р и Р' і висотою Н, яка дорівнює висоті циліндра. Перша призма містить циліндр, а друга призма міститься в циліндрі. Оскільки при необмеженому збільшенні n площі основ призм необмежено наближаються до площі основи циліндра S, то їх об'єми необмежено наближаються до SН. Згідно з визначенням об'єм циліндра

V = SН= R²Н.

Отже, об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту.

 

2. Побудуємо два многокутники в площині основи конуса: многокутник Р, що містить основу конуса, і багатокутник Р', що міститься в основі конуса (мал.8). Побудуємо дві піраміди з основи Р и Р' і з вершинами у вершині конуса. Перша піраміда містить конус, а друга міститься в конусі.

Як відомо, існують такі многокутники Р и Р', площі яких при необмеженому збільшенні числа їх сторін n необмежено наближаються до площі кругу в основі конуса. Для таких многокутників об'єми побудованих пірамід необмежено наближаються до SH, де S - площа основи конуса, а H — його висота. Згідно з визначенням звідси випливає, що об'єм конуса

V = SH = R²Н.

Мал. 8

Отже, об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту.

 

 

Об'єм зрізаного конуса дорівнює: V = h()

 

 

Мал. 9

 

1. Загальна формула для об'ємів тіл обертання

 

Тілом обертання в найпростішому випадку називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними до деякої прямої (осі обертання), перетинається по кругах з центрами на цій прямій. Круговий циліндр, конус, куля — приклади тіл обертання. Знайдемо формулу для обчислення об'єму тіла обертання.

Проведемо площину через вісь тіла і введемо в цій площині декартові координати х, y, прийнявши вісь тіла за вісь х (мал. 10). Площина ху перетинає поверхню тіла по лінії, для якої вісь х є віссю симетрії. Нехай у = f(х) — рівняння тієї частини лінії, яка перебуває над віссю х.

Проведемо через точку (х, 0) площину, перпендикулярну до осі х, і позначимо через V(х) об'єм частини тіла, що лежить ліворуч від цієї площини. Тоді V(х) є функцією від х. Різниця V(х+h) - V(х) становить об'єм шару тіла товщиною h між двома площинами, перпендикулярними до осі х, які проходять через точки з абсцисами х і х+h. Нехай М — найбільше, а m — найменше значення функції f(х) на відрізку [х, х+h ]. Тоді розглянутий шар тіла містить циліндр з радіусом m, висотою h і вміщується у циліндрі з радіусом М и тією ж висотою h. Тому

m²h≤ V(х+h) - V(х) ≤ М²h

Мал.10

При наближенні висоти h до нуля ліва і права частини останньої нерівності прямують до однієї і тієї самої величині f ² (х). Середня ж частина цієї нерівності при наближенні h до нуля прямує до похідної V′(х) функції V(х). Отже,

V′(х) = f ² (х).

За відомою формулою аналізу

V(b) - V(a) = , a < b.

Ця формула і виражає об'єм частини тіла, що знаходиться між паралельними площинами х = a і х = b.

 

1. Об'єм кулі

Застосуємо виведену формулу для об'єму тіл обертання до обчислення об'єму кулі.

Введемо декартові координати, прийнявши центр кулі за початок координат (мал. 11). Площина ху перетинає поверхню кулі радіуса R по колу, яке, як відомо, задається рівнянням

х² + у² = R².

Півколо, розташоване над віссю х, задається рівнянням

у = f(х) = + , - R < х ≤ R.

Тому об'єм кулі знаходимо за формулою

V = R³.

78.

Мал.11
5. Об'єм кульового сегмента і сектора

Кульовим сегментом називається частина кулі, що відтинається від нього площиною. Формулу для об'єму кульового сегмента одержують аналогічно формулі об'єму кулі (мал.12):

V = Н ²(R - Н),

де R - радіус кулі, а Н — висота кульового сегмента.

 

Мал.12

 

Кульовим сектором називається тіло, одержане з кульового сегмента і конуса в такий спосіб. Якщо кульовий сегмент менше за півкулю, то кульовий сегмент доповнюють конусом, у якого вершина знаходиться в центрі кулі, а основою є основа сегмента. Якщо ж сегмент більший від півкулі, то згаданий конус із нього вилучається (мал. 13). Об'єм кульового сектору одержуємо додаванням або відніманням об'ємів відповідних сегмента і конуса. Для об'єму кульового сектору маємо таку формулу:

V = R ² Н,

де R - радіус кулі, Н - висота відповідного кульового сегмента.

 

 

Мал.13
ЗАДАЧІ ПО ТЕМІ «ОБ'ЄМИ ТІЛ ОБЕРТАННЯ»

1. Осьовий переріз циліндра – квадрат зі стороною 6см. Обчислить об'єм циліндра.
2. Висота конуса дорівнює 4см, а діаметр основи 6см. Обчислить об'єм конуса.
3. Діаметр кулі 6см. Обчислить об'єм кулі.
4. Визначте об'єм кулі, діаметр якої дорівнює 10см.
5. Осьовий переріз конуса – трикутник з основою 6см і висотою 4см. Визначте об'єм конуса.
6. Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого 4см². Обчислить об'єм циліндра.
7. Прямокутний трикутник з катетами 5см і 12см обертається навколо більшого катета. Знайдіть об'єм тіла обертання.
8. Осьовий переріз циліндра – квадрат з периметром 24см. Знайдіть об'єм циліндра.
9. Твірна конуса 13см, висота 12см. Визначте об'єм конуса.
10. Осьовий переріз циліндра – квадрат, діагональ якого 4 см. Обчислить об'єм циліндра.
11. Радіус кулі зменшили в 2 рази. Як змінився його об'єм?
12. Осьовий переріз циліндра є квадрат, діагональ якого дорівнює 4 см. Обчислить об'єм циліндра.
13. Твірна конуса утворює з площиною основи кут 60^о і дорівнює 6 см. Знайдіть об'єм конуса.
14. Зовнішній діаметр порожньої кулі 18 см, а товщина стінок 3см. Знайдіть об'єм стінок.
15. Внутрішній діаметр порожньої кулі 8см, а зовнішній 10см. Знайдіть об'єм стінок.
16. Осьовий переріз циліндра – прямокутник, діагональ якого дорівнює 4 см і утворює з основою кут 30^о. Обчислить об'єм циліндра.
17. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 72см². Знайдіть об'єм циліндра, якщо радіус основи дорівнює 3см.
18. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 54см². Знайдіть об'єм циліндра, якщо його висота дорівнює 9см.
19. Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник з гіпотенузою 12см. Знайдіть об'єм конуса.
20. У скільки раз збільшиться об'єм кулі, якщо його радіус збільшити в 3 рази?
21. Площа осьового перерізу циліндра 72см², його висота 9см. Визначте об'єм циліндра.
22. Об'єм циліндра 8 см³, висота 2 см. Знайдіть діагональ осьового перерізу.
23. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник з бічною стороною 10см і основою 12см. Знайдіть об'єм конуса.
24. Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник з гіпотенузою 12см. Знайдіть об'єм конуса.
25. Площа великого кругу 36 см². Обчислите об'єм кулі.
26. Довжина екваторіальної лінії 12 см. Обчислите об'єм кулі.
27. Навколо куба описаний циліндр. Визначте об'єм циліндра, якщо ребро куба дорівнює 5см.
28. Знайдіть діаметр кулі, якщо її об'єм дорівнює см³.
29. Визначте об'єм кулі, описаної навколо куба з ребром 4см.
30. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2, 4 і 6см. Визначите об'єм описаної кулі.
31. Через вершину конуса проведена площина під кутом 45^о до площини основи. Ця площина перетинає основу по хорді, відстань до якої від вершини 6см. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина радіуса дорівнює 5 см.
32. Два циліндри мають рівні основи. Об'єм першого циліндра дорівнює 7,5дм³, а його висота – 21 см. Висота другого циліндра дорівнює 7см. Чому дорівнює об'єм другого циліндра.