Тема 7. Тіла обертання. Куля і сфера. Перетин кулі площиною. Дотична до сфери. Рішення задач на обчислення елементів круглих тіл.

План:

1. Тіла обертання. Куля і сфера
2. Перетин кулі площиною. Дотична до сфери
3. Рішення задач на обчислення елементів круглих тіл

 

1. Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань радіусом кулі.

Межа кулі називається кульовою поверхнею, або сферою. Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, які перебувають від центру на відстані, що дорівнює радіусу. Будь-який відрізок, що з'єднує центр кулі із точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром.

Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Мал.37

Куля, так само як і циліндр і конус, є тілом обертання. Віна утворюється обертанням півкруга навколо його діаметра як осі. (мал. 37)

2. Теорема 9. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга - основою перпендикуляра, опущеного із центру кулі на січну площину.

Доведення. Нехай — січна площина і О - центр кулі (мал. 38). Опустимо перпендикуляр з центра кулі на площину і позначимо через О' основу цього перпендикуляра.

Нехай X - довільна точка кулі, що належить площини . За теоремою Піфагора, ОХ² = ОО'² + О'Х². Тому що ОХ не більше радіуса Rкулі, то О'Х √R-ОО'², тобто довільна точка перерізу кулі площиною знаходиться від точки О' на відстані, не більшому √R-ОО'², а тому належить кругу з

Мал. 38 центром О' і радіусом √R-ОО'².

Навпаки: будь-яка точка X цього круга належить кулі, А це значить, що переріз кулі площиною є круг з центром у точці О'. Теорема доведена.

 

Площина, що проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом (мал. 39), а переріз сфери — великим колом.

 

 

Мал. 39 Мал.40

Теорема 10. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі — її центром симетрії.

Доведення. Нехай α — діаметральна площина і X довільна точка кулі (мал. 40). Побудуємо точку X' симетричну точці X відносно площини . Площина перпендикулярна до відрізка XX' і ділить його навпіл (у точці А). З рівності прямокутних трикутників ОАХ і ОАХ' випливає, що ОХ' = ОХ. Тому що ОХ R, те й ОХ' R,, тобто точка, симетрична точці X, належить кулі. Перше твердження теореми доведено.

Нехай тепер X" — точка, симетрична точці X відносно центра кулі. Тоді ОХ" = ОХ R, тобто точка X" належить кулі. Теорема доведена повністю.

 

Площина, що проходить через точку А кульової поверхні і перпендикулярна до радіусу, проведеному в точку А, називається дотичною площиною. Точка А називається точкою дотику (мал. 41).

Теорема 10. Дотична площина має з кулею одну спільну точку - точку дотику.

Доведення. Нехай - площина, дотична до кулі, і А — точка дотику (мал. 42). Оберемо довільну точку Х площини , відмінну від А. Оскільки ОА - перпендикуляр, а ОХ - похила, то – ОХ>ОА=R. Отже, точка X не належить кулі. Теорема доведена.

 

Мал. 41 Рис. 42

Мал.42

Пряма, що належить дотичній до кулі площині і проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці. Оскільки дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку, то дотична пряма також має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.

 

Теорема 11. Лінія перетину двох сфер є коло. (мал. 43,44)

Мал.43 Мал.44

 

 

Многогранник називається вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі. Многогранник називається описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються поверхні кулі.(мал.45)

 

Мал. 45

Тема 8. Об'єм тіла, властивості об'єму. Об'єм паралелепіпеда, призми (прямій і похилої).Рішення задач на обчислення об'єму й площі поверхні призми і паралелепіпеда.

План:

1. Поняття об’єму для тіл у просторі
2. Формули для обчислення об’ємів паралелепіпеда і призми

 

1. Так само як для фігур на площині вводиться поняття площі, для тіл у просторі вводиться поняття об'єму. Спочатку розглянемо тільки прості тіла. Тіло називається простим, якщо його можна розбити на скінченну кількість трикутних пірамід.

Для простих тіл об'єм — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

1. Рівні тіла мають рівні об'єми.

2. Якщо тіло розбито на частини, що є простими тілами, то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів його частин.

3. Об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

Якщо куб, про який мова ідеться в означенні, має ребро 1 см, то об'єм буде у кубічних сантиметрах; якщо ребро рівне 1м, то — у кубічних метрах; якщо ребро куба рівно1 км, то об'єм — у кубічних кілометрах і т.д.

Прикладом простого тіла є будь-який опуклий многогранник. Його можна розбити на кінцеве число трикутних пірамід у такий спосіб. Оберемо яку-небудь вершину S многогранника. Розіб'ємо на трикутники всі грані многогранника, що не містять вершину S. Тоді трикутні піраміди, для яких основами є ці трикутники, а спільною вершиною — точка S, дають розбиття многогранника на трикутні піраміди. На малюнку 1 показана така розбивка для довільної піраміди.

Рис.1

 

Мал. 1

Мал.3

Мал.2

2. Об'єм прямокутного паралелепіпеда з лінійними розмірами a, b, c обчислюється за формулою V = abc.