Паралелепіпед, його властивості.

Паралелепіпед, його властивості.

 

Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом.

У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. На малюнку 8 а) зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку 8 б) – прямий паралелепіпед.

 

Мал. 8

 

Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.

Теорема 2. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Доведення. Розглянемо які-небудь дві протилежні грані паралелепіпеда, наприклад А₁А₂А'₂А'₁ і Аза₄А'₄А'з (мал.9). Оскільки всі грані паралелепіпеда — паралелограми, то пряма А₁А₂ паралельна прямій А₃А₄, а пряма А₁А'₁ паралельна прямій А₄А'₄. Звідси випливає, що площини граней, які розглядаються, паралельні.

З того, що грані паралелепіпеда — паралелограми, випливає, що відрізки А₁А₄, А'₁А'₄, А' ₂ А'₃ і А₂А₃ паралельні і рівні. Звідси робимо висновок, що грань А₁А₂А'₂А'₁ суміщається паралельним перенесенням вздовж ребра А₁А₄ із гранню А_зА₄А'₄А'з. Отже, ці грані рівні.

Аналогічно доводимо паралельність і рівність будь-яких двох протилежних граней паралелепіпеда.

Мал. 9 Теорема доведена.

Т е о р е м а 3. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам.

Наслідок з теореми 3. Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

 

 

Мал. 10

 

Прямокутний паралелепіпед.

 

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійні виміри.

Теорема 4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

 

Мал. 11

Задачі

1. Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см. Кожне бічне ребро піраміди рівно 13 см. Обчисліть висоту піраміди.
2. Основа піраміди – прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Всі двогранні кути при основі піраміди рівні 60⁰. Знайдіть висоту піраміди.
3. Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через вершину піраміди та дві дані точки на її основі.
4. Побудуйте переріз трикутної піраміди площиною, яка проходить через сторону основи піраміди та дану точку на протилежному ребрі.
5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди площиною, яка проходить через сторону основи та точку на одному з бічних ребер.
6. Висота правильної чотирикутної піраміди рівна 7 см, а сторона основи 8 см. Знайдіть бічне ребро.

Тема 5. Тіла обертання. Циліндр, осьовий переріз циліндра, площа бічної та повної поверхні циліндра

 

План

1. Тіла обертання. Циліндр.
2. Осьовий переріз циліндра.
3. Площа бічної та повної поверхні циліндра

 

1. Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (мал. 21).

Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають відповідні точки кіл кругів, - твірними циліндра.

 

 

Мал.21 Мал.22

Оскільки паралельне перенесення — це рух, то основи циліндра рівні.

Через те що при паралельному перенесенні площина переходить у паралельну площину (або в себе), та основи циліндра лежать у паралельних площинах.

Оскільки при паралельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих або прямих, що збігаються, на одну й ту саму відстань, то твірні циліндра паралельні і рівні.

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня - з твірних.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ.

Далі будемо розглядати тільки прямий циліндр, називаючи його коротко просто циліндром. Прямий циліндр наочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі (мал. 22).

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

2. Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник (мал. 23). Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — паралельні хорди основ. Зокрема, прямокутником є осьовий переріз. Це — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь (мал. 24).

Теорема 7. Площина, паралельна площини основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи.

Доведення. Нехай — площина, паралельна площини основи циліндра (мал. 25). Паралельне перенесення вздовж напрямку осі циліндра, яке суміщає площину з площиною основи циліндра, суміщає переріз бічної поверхні площиною з колом основи. Теорему доведено.

 

 

 

 

Мал. 23 Мал.24 Мал. 25

Призмою, вписаною у циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра (мал. 26)

Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну (мал.27).

Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра (мал. 28).

 

Мал. 26 Мал. 27 Мал. 28

 

 

3.Площа бічної і повної поверхні циліндра

Впишемо в циліндр правильну n-кутну призму (рис. 29).

Площа бічної поверхні цієї призми S_п = Р_пН, де Р_п — периметр основи призми, а Н - її висота.

Як відомо, при необмеженому збільшенні п периметр Р_п необмежено прямує до довжини С кола основи циліндра. Отже, площа бічної поверхні призми необмежено прямує до СН. Тому величину СН приймають за площу бічної поверхні циліндра.

 

 

Рис. 29

Мал.29

Таким чином, площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою:

S_{бок.п.цил.} = СН = 2 RН,

де R — радіус циліндра, а Н — його висота.

Переріз конуса площинами

Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, є рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса (мал. 32). Зокрема, рівнобедреним трикутником є осьовий переріз конуса. Цей переріз, який проходить через вісь конуса (мал. 33).

Теорема 8. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню — по колу з центром на осі конуса.

Доведення. Нехай — площина, яка паралельна площині основи конуса і перетинає конус (мал. 34).Перетворення гомотетії відносно вершини конуса, яке суміщає площину з площиною основи, суміщає переріз конуса площиною з основою конуса. Отже, переріз конуса площиною є круг, а переріз бічної поверхні — коло з центром на осі конуса. Теорему доведено.

 

 

Мал.32 Мал.33 Мал.34

 

 

Площина, яка паралельна основі конуса і перетинає конус, відтинає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається зрізаним конусом (мал. 35).

 

 

 

 

Мал.35

 

 

ТІЛА ОБЕРТАННЯ

 

1. Радіус основи циліндра 2м, висота 3м. Знайдіть діагональ осьового перерізу.

2. Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q. Знайдіть площу основи циліндра.

3. Висота циліндра 6см, радіус основи 5см. Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4см від неї.

4. Висота циліндра 8дм, радіус основи 5дм. Циліндр перетнуто площиною так, що в перерізі утворився квадрат. Знайдіть відстань від цього перерізу до осі.

5. Висота циліндра 6дм, радіус основи 5дм. Кінці відрізка АВ, який дорівнює 10дм лежать на колах обох основ. Знайдіть найкоротшу відстань від нього до осі.

6. Радіус основи конуса 3м, висота 4м. Знайдіть твірну.

7. Твірна конуса l нахилена до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть висоту.

8. Радіус основи конуса R. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Знайдіть його площу.

9. У рівносторонньому конусі (в осьовому перерізі – правильний трикутник) радіус основи R. Знайдіть площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює α.

10. Висота конуса 20, радіус його основи 25. Знайдіть площу перерізу, проведеного через вершину, якщо відстань від нього до центру основи конуса дорівнює 12.

11. Радіуси основ зрізаного конуса 3м і 6м, висота 4м. Знайдіть твірну.

12. Радіуси основ зрізаного конуса R і r, твірна нахилена до основи під кутом 45^о. Знайдіть висоту.

13. Твірна зрізаного конуса дорівнює 2 a і нахилена до основи під кутом 60^о. Радіус однієї основи вдвічі більше радіуса іншої основи. Знайдіть радіуси.

14. Радіуси основ зрізаного конуса 3дм і 7дм, твірна 5дм. Знайдіть площу осьового перерізу.

15. Куля, радіус якої 41дм, перетнуто площиною на відстані 9дм від центра. Знайдіть площу перерізу.

16. Радіус кулі R. Через кінець радіуса проведена площина під кутом 60^о до нього. Знайдіть площу перерізу.

17. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30см і 40см. На якій відстані від площини трикутника перебуває центр сфери, яка має радіус 65см, яка проходить через усі вершини трикутника.

18. Вершини прямокутника лежать на сфері радіусом 10см. Знайти відстань від центру сфери до площини прямокутника, якщо діагональ прямокутника рівна 16см.

19. На поверхні кулі дано 3 точки. Прямолінійні відрізки між даними точками дорівнюють 7см, 24см, 25см.

1) визначити вид трикутника, який виходить у результаті з'єднання відрізків;

2) знайдіть радіус перерізу кулі площиною даного трикутника;

3) знайдіть відстань від центру кулі до площини даного трикутника, якщо радіус кулі дорівнює 25см;

4) знайдіть довжину окружності перерізу поверхні кулі площиною даного трикутника;

5) знайдіть радіус окружності, вписаного у даний трикутник.

 

78.

Мал.11
5. Об'єм кульового сегмента і сектора

Кульовим сегментом називається частина кулі, що відтинається від нього площиною. Формулу для об'єму кульового сегмента одержують аналогічно формулі об'єму кулі (мал.12):

V = Н ²(R - Н),

де R - радіус кулі, а Н — висота кульового сегмента.

 

Мал.12

 

Кульовим сектором називається тіло, одержане з кульового сегмента і конуса в такий спосіб. Якщо кульовий сегмент менше за півкулю, то кульовий сегмент доповнюють конусом, у якого вершина знаходиться в центрі кулі, а основою є основа сегмента. Якщо ж сегмент більший від півкулі, то згаданий конус із нього вилучається (мал. 13). Об'єм кульового сектору одержуємо додаванням або відніманням об'ємів відповідних сегмента і конуса. Для об'єму кульового сектору маємо таку формулу:

V = R ² Н,

де R - радіус кулі, Н - висота відповідного кульового сегмента.

 

 

Мал.13
ЗАДАЧІ ПО ТЕМІ «ОБ'ЄМИ ТІЛ ОБЕРТАННЯ»

1. Осьовий переріз циліндра – квадрат зі стороною 6см. Обчислить об'єм циліндра.
2. Висота конуса дорівнює 4см, а діаметр основи 6см. Обчислить об'єм конуса.
3. Діаметр кулі 6см. Обчислить об'єм кулі.
4. Визначте об'єм кулі, діаметр якої дорівнює 10см.
5. Осьовий переріз конуса – трикутник з основою 6см і висотою 4см. Визначте об'єм конуса.
6. Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого 4см². Обчислить об'єм циліндра.
7. Прямокутний трикутник з катетами 5см і 12см обертається навколо більшого катета. Знайдіть об'єм тіла обертання.
8. Осьовий переріз циліндра – квадрат з периметром 24см. Знайдіть об'єм циліндра.
9. Твірна конуса 13см, висота 12см. Визначте об'єм конуса.
10. Осьовий переріз циліндра – квадрат, діагональ якого 4 см. Обчислить об'єм циліндра.
11. Радіус кулі зменшили в 2 рази. Як змінився його об'єм?
12. Осьовий переріз циліндра є квадрат, діагональ якого дорівнює 4 см. Обчислить об'єм циліндра.
13. Твірна конуса утворює з площиною основи кут 60^о і дорівнює 6 см. Знайдіть об'єм конуса.
14. Зовнішній діаметр порожньої кулі 18 см, а товщина стінок 3см. Знайдіть об'єм стінок.
15. Внутрішній діаметр порожньої кулі 8см, а зовнішній 10см. Знайдіть об'єм стінок.
16. Осьовий переріз циліндра – прямокутник, діагональ якого дорівнює 4 см і утворює з основою кут 30^о. Обчислить об'єм циліндра.
17. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 72см². Знайдіть об'єм циліндра, якщо радіус основи дорівнює 3см.
18. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 54см². Знайдіть об'єм циліндра, якщо його висота дорівнює 9см.
19. Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник з гіпотенузою 12см. Знайдіть об'єм конуса.
20. У скільки раз збільшиться об'єм кулі, якщо його радіус збільшити в 3 рази?
21. Площа осьового перерізу циліндра 72см², його висота 9см. Визначте об'єм циліндра.
22. Об'єм циліндра 8 см³, висота 2 см. Знайдіть діагональ осьового перерізу.
23. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник з бічною стороною 10см і основою 12см. Знайдіть об'єм конуса.
24. Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник з гіпотенузою 12см. Знайдіть об'єм конуса.
25. Площа великого кругу 36 см². Обчислите об'єм кулі.
26. Довжина екваторіальної лінії 12 см. Обчислите об'єм кулі.
27. Навколо куба описаний циліндр. Визначте об'єм циліндра, якщо ребро куба дорівнює 5см.
28. Знайдіть діаметр кулі, якщо її об'єм дорівнює см³.
29. Визначте об'єм кулі, описаної навколо куба з ребром 4см.
30. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2, 4 і 6см. Визначите об'єм описаної кулі.
31. Через вершину конуса проведена площина під кутом 45^о до площини основи. Ця площина перетинає основу по хорді, відстань до якої від вершини 6см. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина радіуса дорівнює 5 см.
32. Два циліндри мають рівні основи. Об'єм першого циліндра дорівнює 7,5дм³, а його висота – 21 см. Висота другого циліндра дорівнює 7см. Чому дорівнює об'єм другого циліндра.

 

Паралелепіпед, його властивості.

 

Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом.

У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. На малюнку 8 а) зображено похилий паралелепіпед, а на малюнку 8 б) – прямий паралелепіпед.

 

Мал. 8

 

Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.

Теорема 2. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Доведення. Розглянемо які-небудь дві протилежні грані паралелепіпеда, наприклад А₁А₂А'₂А'₁ і Аза₄А'₄А'з (мал.9). Оскільки всі грані паралелепіпеда — паралелограми, то пряма А₁А₂ паралельна прямій А₃А₄, а пряма А₁А'₁ паралельна прямій А₄А'₄. Звідси випливає, що площини граней, які розглядаються, паралельні.

З того, що грані паралелепіпеда — паралелограми, випливає, що відрізки А₁А₄, А'₁А'₄, А' ₂ А'₃ і А₂А₃ паралельні і рівні. Звідси робимо висновок, що грань А₁А₂А'₂А'₁ суміщається паралельним перенесенням вздовж ребра А₁А₄ із гранню А_зА₄А'₄А'з. Отже, ці грані рівні.

Аналогічно доводимо паралельність і рівність будь-яких двох протилежних граней паралелепіпеда.

Мал. 9 Теорема доведена.

Т е о р е м а 3. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам.

Наслідок з теореми 3. Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

 

 

Мал. 10

 

Прямокутний паралелепіпед.

 

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійні виміри.

Теорема 4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

 

Мал. 11