Площа повної та бічної поверхонь конуса

Впишемо в конус правильну n-кутну піраміду (мал. 36). Площа її бічної поверхні

Sn = P_n l_n,

де Р_п — периметр основи піраміди, а l_n - апофема.

При необмеженому збільшенні п периметр основи Р_п необмежено прямує до довжини С кола основи конуса, а апофема l_n — до довжини l твірної. Відповідно бічна поверхня піраміди необмежено прямує до С . У зв'язку з цим величину С приймають з а площу бічної поверхні конуса.

Мал. 36

 

Отже, площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою:

S _{бічн. п.} = Сl = Rl,

де R — радіус основи конуса, а l - довжина твірної.

Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою:

S _{п. п.} = S _{бічн. п.} + S _осн. = R( l + R),

де S _осн. = R².

 

 

ЗАДАЧІ

1. З точок А і В, які лежать на гранях двогранного кута, опущені перпендикуляри АА₁ і ВВ₁ на ребро кута. Знайдіть відрізок АВ, якщо АА₁ = а, ВВ₁ = b, А₁В₁ = с і двогранний кут дорівнює .

2. Доведіть, що переріз призми, паралельний основам, дорівнює основам.

3. Побудуйте перетин чотирикутної призми площиною, що проходить через сторону підстави й одну з вершин іншої підстави.

4. Побудуйте переріз чотирикутної призми площиною, що проходить через три точки на бічних ребрах призми.

5. У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10см, 17см і 21см, а висота призми 18см. Знайдіть площу перерізу, проведеного через бічне ребро й меншу висоту основи.

6. Бічне ребро похилої призми рівно 15см. і нахилене до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть висоту призми.

7. У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 37см, 13см і 40см. Знайдіть відстань між більшою бічною гранню і протилежним бічним ребром призми.

8. У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см², а висота 14см. Знайдіть діагональ призми.

9. У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Бічна поверхня дорівнює12м². Знайдіть висоту.

10. Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює 32м², а повна поверхня 40м². Знайдіть висоту.

11. Відстань між паралельними прямими, що містять бічні ребра похилої трикутної призми, дорівнюють 2см, 3см, і 4см, а бічні ребра 5см. Знайдіть бічну поверхню призми.

12. За стороною основи а і бічному ребру b знайдіть повну поверхню правильної призми: 1) трикутної; 2) чотирикутної; 3) шестикутної.

13. У паралелепіпеді три грані мають площі 1м², 2м², і 3м². Чому дорівнює повна поверхня паралелепіпеда?

14. У прямому паралелепіпеді сторони основи 6м і 8м утворюють кут 30^о, бічне ребро дорівнює 5м. Знайдіть повну поверхню цього паралелепіпеда.

15. У прямому паралелепіпеді сторони основи 3см і 8см, кут між ними 60°. Бічна поверхня дорівнює 220 см². Знайдіть повну поверхню.

16. У прямому паралелепіпеді сторони основи 3см і 5см, а одна з діагоналей основи 4см. Знайдіть більшу діагональ паралелепіпеда, знаючи, що менша діагональ утворює із площиною основи кут 60°.

17. Знайдіть діагоналі прямого паралелепіпеда, у якого кожне ребро дорівнює а, а один з кутів основи дорівнює 60^о.

18. Бічне ребро прямого паралелепіпеда дорівнює 5м, сторони основи 6м і 8м, а одна з діагоналей основи 12м. Знайдіть діагоналі паралелепіпеда.

19. У прямому паралелепіпеді бічне ребро 1м, сторони основи 23 дм і 11дм, а діагоналі основи відносяться як 2:3. Знайдіть площі діагональних перерізів.

20. Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда за трьома його вимірами:

1) 1,2,2; 2)2,3,6; 3) 6,6,7.

21. У прямокутному паралелепіпеді сторони основи 7дм і 24дм, а висота паралелепіпеда 8дм. Знайдіть площу діагонального перерізу.

22. Знайдіть поверхню прямокутного паралелепіпеда за трьома його вимірами: 10см, 22см, 16см.

23. Основа піраміди - рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 12см, а бічна сторона 10см. Бічні грані утворюють із основою рівні двогранні кути, що містять по 45°. Знайдіть висоту піраміди.

24. Основа піраміди — прямокутник зі сторонами 6см і 8см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13см. Обчисліть висоту піраміди.

25. Основа піраміди – прямокутний трикутник з катетами 6см і 8см. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60°. Знайдіть висоту піраміди.

26. Основа піраміди – паралелограм, у якого сторони 3см і 7см, а одна з діагоналей 6см; висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей, вона дорівнює 4см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

27. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник зі сторонами 40см, 25см і 25см. Її висота проходить через вершину кута, протилежного стороні 40см, і дорівнює 8см. Знайдіть бічну поверхню піраміди.

28. Основа піраміди – квадрат, її висота проходить через одну з вершин основи. Знайдіть бічну поверхню піраміди, якщо сторона основи дорівнює 20 дм, а висота 21дм.

29. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди і дві дані точки на її основі.

30. Побудуйте переріз трикутної піраміди площиною, що проходить через сторону основи піраміди і дану точку на протилежному ребрі.

31. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди площиною, що проходить через сторону основи й точку на одному з бічних ребер.

32. У чотирикутній зрізаній піраміді сторони однієї основи дорівнюють 6, 7, 8, 9см, а менша сторона іншої основи дорівнює 5см. Знайдіть інші сторони цієї основи.

33. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 7см, а сторона основи 8см. Знайдіть бічне ребро.

34. Знайдіть повну поверхню правильної шестикутної піраміди, якщо її бічне ребро а, а радіус кола, вписаного в основу, r.

35. У правильній чотирикутній піраміді бічна поверхня дорівнює 14,7м², а повна поверхня 1м². знайдіть сторону основи і висоту піраміди.

36. Знайдіть сторону основи і апофему правильної трикутної піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює 10см, а бічна поверхня рівна 144см².

37. У правильній чотирикутній піраміді знайдіть сторону основи, якщо бічне ребро дорівнює 5см, а повна поверхня 16 см².

38. Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює 7см. Сторони основ дорівнюють 10см і 2см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

39. Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди 4дм і 1дм. Бічне ребро 2дм. Знайдіть висоту піраміди.

40. У правильній чотирикутній зрізаній піраміді висота дорівнює 2см, а сторони основи 3см і 5см. Знайдіть діагональ цієї піраміди.

41. Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди 2см і 6см. Бічна грань утворює з більшою основою кут 60^о. Знайдіть висоту.

42. Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює 4см. Сторони основ дорівнюють 2см і 8см. Знайдіть площі діагональних перерізів.

ТІЛА ОБЕРТАННЯ

 

1. Радіус основи циліндра 2м, висота 3м. Знайдіть діагональ осьового перерізу.

2. Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q. Знайдіть площу основи циліндра.

3. Висота циліндра 6см, радіус основи 5см. Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4см від неї.

4. Висота циліндра 8дм, радіус основи 5дм. Циліндр перетнуто площиною так, що в перерізі утворився квадрат. Знайдіть відстань від цього перерізу до осі.

5. Висота циліндра 6дм, радіус основи 5дм. Кінці відрізка АВ, який дорівнює 10дм лежать на колах обох основ. Знайдіть найкоротшу відстань від нього до осі.

6. Радіус основи конуса 3м, висота 4м. Знайдіть твірну.

7. Твірна конуса l нахилена до площини основи під кутом 30^о. Знайдіть висоту.

8. Радіус основи конуса R. Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Знайдіть його площу.

9. У рівносторонньому конусі (в осьовому перерізі – правильний трикутник) радіус основи R. Знайдіть площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює α.

10. Висота конуса 20, радіус його основи 25. Знайдіть площу перерізу, проведеного через вершину, якщо відстань від нього до центру основи конуса дорівнює 12.

11. Радіуси основ зрізаного конуса 3м і 6м, висота 4м. Знайдіть твірну.

12. Радіуси основ зрізаного конуса R і r, твірна нахилена до основи під кутом 45^о. Знайдіть висоту.

13. Твірна зрізаного конуса дорівнює 2 a і нахилена до основи під кутом 60^о. Радіус однієї основи вдвічі більше радіуса іншої основи. Знайдіть радіуси.

14. Радіуси основ зрізаного конуса 3дм і 7дм, твірна 5дм. Знайдіть площу осьового перерізу.

15. Куля, радіус якої 41дм, перетнуто площиною на відстані 9дм від центра. Знайдіть площу перерізу.

16. Радіус кулі R. Через кінець радіуса проведена площина під кутом 60^о до нього. Знайдіть площу перерізу.

17. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 30см і 40см. На якій відстані від площини трикутника перебуває центр сфери, яка має радіус 65см, яка проходить через усі вершини трикутника.

18. Вершини прямокутника лежать на сфері радіусом 10см. Знайти відстань від центру сфери до площини прямокутника, якщо діагональ прямокутника рівна 16см.

19. На поверхні кулі дано 3 точки. Прямолінійні відрізки між даними точками дорівнюють 7см, 24см, 25см.

1) визначити вид трикутника, який виходить у результаті з'єднання відрізків;

2) знайдіть радіус перерізу кулі площиною даного трикутника;

3) знайдіть відстань від центру кулі до площини даного трикутника, якщо радіус кулі дорівнює 25см;

4) знайдіть довжину окружності перерізу поверхні кулі площиною даного трикутника;

5) знайдіть радіус окружності, вписаного у даний трикутник.