Основная формула расчета дисперсии флуктуации

Флуктуации – результат совместного действия огромного числа частиц образующих макросистему. В этом случае, в соответствии с предельной теоремой теории вероятностей, вероятность обнаружить значение величины в бесконечно малом интервале от x до x + dx – элементарная вероятность подчиняется закону Гаусса, причем (2). Без ограничения общности, в теории флуктуаций считают, что < x> =0. Сравнивая (2) с (1), найдем .(3)

Под значением флуктуации параметра х понимают именно значение величины s_х. Физический смысл этого параметра состоит в следующем: величина s_х – это корень квадратный из среднего квадрата отклонения параметра х системы от его среднего значения.

Отклонения параметра х от своего среднего значения в результате флуктуации могут быть сколь угодно большими по величине. В соответствии с формулой (2), чем меньше отклонение, тем чаще они происходят, и наоборот.

Формулу (3) будем считать основной формулой для расчета интенсивности флуктуаций равновесной системы. Напомним, что A (х) – работа, необходимая для того, чтобы вывести систему из положения равновесия и привести ее данное состояние.

Влияние флуктуаций на порог чувствительности приборов

Флуктуации играют важную роль в действии современных высокочувствительных приборов – весов, гальванометров, микровольтметров и т. п. Чувствительность этих приборов столь высока, что они позволяют регистрировать явления того же масштаба, что и флуктуации, вызываемые тепловым движением молекул в самом приборе. Это влечет за собой важное следствие: при однократном измерении физической величины, значение которой меньше, чем флуктуации самого прибора, он регистрирует собственное тепловое движение (фон или шум), а не измеряемую величину. В этом смысле говорят, что тепловое движение определяет порог чувствительности данной конструкции прибора (заметим еще раз – при однократном измерении).

Дальнейшее повышение чувствительности для измерения величин, лежащих ниже фона теплового движения, сопряжено с выполнением многократных измерений (или, что тоже самое, увеличение времени измерения или, в случае измерения периодических сигналов, уменьшением полосы частот, в которой производится измерение).

Действительно, если прибор регистрирует только собственное движение, то среднее отклонение прибора будет равно нулю. Если же на шум накладывается некоторое внешнее воздействие, то прибор будет флуктуировать около некоторого нового положения, и его среднее отклонение будет отлично от нуля. Чем больше число произведенных измерений, т.е. чем больше время наблюдения, тем меньшие значения физической величины (лежащие ниже фона) могут быть зарегистрированы.

Среднее квадратическое значение флуктуации: - это и есть погрешность однократного измерения величины x. При многократном измерении мы измеряем среднее значение величины x. Но среднее значение — тоже случайная величина и погрешность среднего значения — это среднее квадратическое значение среднего значения. Эта погрешность вычисляется по формуле , где N – число измерений. Отсюда следует, что с увеличением числа измерений погрешность измерения среднего значения уменьшается как .

Примеры расчета тепловых флуктуаций механических величин

Скорость свободного тела

Будем рассматривать свободное твердое массой m как подсистему, находящуюся в тепловом контакте с окружающей средой, которую в таком случае называют тепловым резервуаром или термостатом. Окружающую среду практически всегда можно выбрать такой, что тело и резервуар допустимо считать замкнутой системой, имеющей температуру Т.

Любое тело характеризуются импульсом р своего макроскопического движения относительно среды. В состоянии равновесия никакого макроскопического движения нет, т.е. р =0. Движение, однако, может появиться в результате флуктуации. Определим вероятность такой флуктуации. Минимальная работа, необходимая, для того, чтобы сообщить телу импульс р, равна изменению кинетической энергии тела. Поскольку в состоянии равновесия движения нет, то начальное значение кинетической энергии равно нулю. Поэтому работа внешних сил равна просто кинетической энергии тела, которую оно приобретает в результате флуктуации: , где v_x – проекции скорости макроскопического движения. Отсюда и из основной формулы (3), учитывая, что в данном случае физическая величина x это проекция скорости тела v_x, найдем, что флуктуация скорости тела . Причина движения (дрожания) тела – тепловое движение окружающих тело молекул среды и столкновение этих молекул с телом. Это ничто иное, как броуновское движение.