Погрешности теоретических моделей

Проблема достоверности наших представлений об окружающем мире, т.е. проблема соответствия модели объекта и реального объекта, является ключевой проблемой в теории познания. В настоящее время общепринято, что критерием истинности наших знаний является опыт. Модель адекватна объекту, если результаты теоретических исследований (расчёт) совпадают с результатами опыта (измерений) в пределах погрешности последнего.

Погрешности имеют место не только при измерениях, но и при теоретическом моделировании. Для теоретических моделей, в соответствии с природой возникновения, будем различать:

- погрешности, возникающие при разработке физической модели;

- погрешности, возникающие при составлении математической модели;

- погрешности, возникающие при анализе математической модели;

- погрешности, связанные с конечным числом разрядов чисел при вычислениях.

В последнем случае, например, число π в рамках символической записи как отношение длины окружности к диаметру представляет собой точное число, но попытка записать его в численном виде (π=3,14159265…) вызывает погрешность, связанную с конечным числом разрядов.

Перечисленные погрешности возникают всегда. Избежать их невозможно, и их называются методическими. При измерениях методические погрешности проявляют себя как систематические.

Пример: погрешности физической и математической модели маятника, возникающие при измерении периода колебаний маятника в виде тела, подвешенного на нити.

Физическая модель маятника:

- нить – невесома и нерастяжима;

- тело – материальная точка;

- трение отсутствует;

- тело совершает плоское движение;

- гравитационное поле – однородное (т.е. g =const во всех точках пространства, в которых находится тело);

- влияние других тел и полей на движение тела отсутствует.

Очевидно, что реальное тело не может быть материальной точкой, оно имеет объем и форму, в процессе движения или со временем тело деформируется. Кроме того, нить имеет массу, она обладает упругостью и также деформируется. На движение маятника влияет движение точки подвеса, обусловленное действием вибраций, всегда имеющих место. Также на движение маятника влияет сопротивление воздуха, трение в нити и способ ее крепления, внешние магнитное и электрическое поля, неоднородность гравитационного поля Земли и даже влияние гравитационного поля Луны, Солнца и окружающих тел.

Перечисленные факторы, в принципе, могут быть учтены, однако сделать это достаточно трудно. Для этого потребуется привлечь почти все разделы физики. В конечном счете, учет этих факторов значительно усложнит физическую модель маятника и ее анализ. Не учет перечисленных, а также множества других, не упомянутых здесь факторов, существенно упрощает анализ, но приводит к погрешностям исследования.

Математическая модель маятника:

в рамках выбранной простейшей физической модели математическая модель маятника – дифференциальное уравнение движения маятника – имеет следующий вид:

, (1), где L – длина нити; φ – отклонение тела от положения равновесия.

При φ<<1 обычно считают, что sin φ»φ, и тогда уравнение движения записывается: .(2)

Это – линейное дифференциальное уравнение, которое может быть решено точно. Данноерешение имеет вид , где . Отсюда следует, что период колебаний маятника Т ₀=2p/w₀ не зависит от амплитуды φ₀. Однако, это решение нельзя считать точным решением задачи о колебаниях маятника, представленного простейшей физической моделью, поскольку исходное уравнение (1) было другим.

Можно уточнить решение. Если разложить sin φ в ряд и учесть хотя бы первые два члена разложения, т.е. считать, что sinφ»φ+φ³/6, то решение дифференциального уравнения существенно усложнится. Приближенно его можно записать в виде , где . Отсюда следует, что в данном приближении период колебаний маятника Т =2p/w зависит от амплитуды колебаний по параболическому закону.

Таким образом, погрешность математической модели (уравнение (2)), связанная с заменой sin φ на φ, приводит к погрешности результата расчета периода колебаний маятника. Оценка этой погрешности может быть получена из решения задачи во втором приближении.

Проблема построения и анализа математической модели объекта исследования с заданной точностью, а также оценка погрешности расчётов в ряде случаев очень сложна. Требуется высокая математическая культура исследователя, необходим тщательный математический анализ и самой модели, и применяемых методов решения.

Например, не имеет смысла требование решения уравнения (1) с точностью, существенно превышающей точность построения физической модели. В частности, в предыдущем примере нет смысла делать замену sinφ»φ+φ³/6 вместо sinφ»φ, если нить заметно деформируется или сопротивление воздуха велико.

Применение ЭВМ значительно увеличило возможности построения и исследования математических моделей в технике, однако не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и языков программирования позволит решить любую физическую и прикладную задачу. Дело в том, что даже самые изящные и точные методы расчетов не могут исправить ошибки, допущенные при построении физической модели. Действительно, если длина L не постоянна, или если размеры тела сопоставимы с длиной нити, или трение велико и колебания маятника быстро затухают, то даже абсолютно точное решение уравнения (1) не позволит получить точное решение задачи о колебаниях маятника.

Общая характеристика понятия “измерение”
(сведения из метрологии)

В метрологии определение понятия “измерение” даёт ГОСТ 16.263-70.

Измерение – научно обоснованный опыт для получения количественной информации с требуемой или возможной точностью о параметрах объекта измерения.

Измерение включает в себя следующие понятия:

- объект измерения;

- цель измерения;

- условия измерения (совокупность влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и объектов);

- метод измерения, т.е. совокупность приёмов использования принципов и средств измерений (принцип измерения – совокупность физических явлений, положенных в основу измерения);

- методика измерения, т.е. установленная совокупность операций и правил, выполнение которых обеспечивает получение необходимых результатов в соответствии с данным методом.

- средства измерения:

▪ измерительные преобразователи,

▪ меры,

▪ измерительные приборы,

▪ измерительные установки,

▪ измерительные системы,

▪ измерительно-информационные системы;

- результаты измерений;

- погрешность измерений;

- понятия, характеризующие качество измерений:

▪ достоверность (характеризуется доверительной вероятностью, т.е. вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины находится в указанных пределах);

▪ правильность (характеризуется значением систематической погрешности);

▪ сходимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами и в одних и тех же условиях; отражает влияние случайных погрешностей на результат);

▪ воспроизводимость (близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых в разных местах, разными методами и средствами, но приведенных к одним и тем же условиям).

Классификация измерений

Целесообразность классификации измерений обусловлена удобством разработки методов измерений и обработки результатов измерений. Измерения различаются:

По способу нахождения числовых значений физических величин:

- прямые;

- косвенные;

- совместные – косвенные измерения, при которых значение физической величины находят путем измерения физических величин различной физической природы. Пример: при измерении силы используют формулу и измеряют массу тела m и его ускорение a.

- совокупные – косвенные измерения, при которых значение физической величины находят путём нескольких измерений других однородных физических величин. Пример: для измерения объема параллелепипеда используют формулу V = abc и проводят измерения его сторон.

По характеру точности результатов единичных измерений при проведении многократных измерений:

- равноточные – измерения физических величин, выполненные одинаковыми по точности средствами измерений в одинаковых условиях;

- неравноточные.

По виду физических величин, измеряемых при прямых измерениях для получения результата косвенных измерений:

- абсолютные – измерения, основанные на прямых измерениях основных (в системе СИ) величин и на использовании значений физических констант;

- относительные – измерение отношения физической величины к одноименной.

При относительных измерениях широко используется внесистемная безразмерная единица измерения – децибел.

Пример. При сравнении амплитуд U ₁ и U ₂ напряжений их отношение будет выражено в децибеллах, если его записать в виде . Если отношение амплитуд равно 1дБ, то это означает, что отношение амплитуд .

Отношение мощностей W ₁ и W ₂ выражается в децибеллах, если его записать в виде . Если отношение мощностей (квадратов амплитуд) равно 1дБ, то .

В акустике децибелл – это одна из основных единиц, выражающих уровень звукового давления Р: 1дБ – уровень звукового давления, для которого , где Р ₀ – пороговое значение (слышимости), принимаемое равным 2×10^-5 Па (Паскаль).

По характеру зависимости измеряемой физической величины от времени:

- статические – измерения физических величин постоянных во времени;

- динамические – измерения физических величин изменяющихся со временем;

- квазистатические – измерения физических величин изменяющихся со временем, но которые можно считать постоянными за время измерения. Отметим, что существуют более точные критерии квазистатических измерений, которые связаны с реакцией СИ на изменение измеряемой физической величины. Они будут рассмотрены ниже.

По условиям определения точности результатов:

- метрологические – измерения, проводимые с помощью эталонов, образцовых средств, с целью воспроизведения единиц физических величин для передачи их размеров рабочим средствам измерения;

- технические – измерения, проводимые с помощью рабочих средств.