Деление в дополнительном (обратном) кодах со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка

[X]_дк,ок; [Y]_дк,ок

Деление в ОК не применяется, так как "0" в ОК имеет двойное изображение. В первом такте вместо sign _i-1 берётся sign X, а вместо 2 _i-1 берётся [X]_дк,ок

Пример:

[X]_дк = 1.0111 [Y]_дк = 1.0011 Т.к. sign X = sign Y,то

₊1.0111 | 1.0011

0.1101 = -[Y]_дк

______

0.0100 = ₀ = [X]_дк + [-[Y]_дк ]_дк, sign ₀ sign Y, то z₀ = 0

2 ₀ = ₊0.1000

Т.к. sign ₀ sign Y, то

1.0011 = [Y]_дк

______

1.1011 = ₁ = 2 ₀ + [Y]_дк, т.к. sign ₁ = sign Y, то z₁ = 1

2 ₁ = ₊1.0110

Т.к. sign ₁ = sign Y, то

0.1101 = +[-[Y]_дк ]_дк

______

0.0011 = ₂ = 2 ₁ + [-[Y]_дк ]_дк, т.к. sign ₂ sign Y, то z₂ =0

2 ₂ = ₊0.0110

Т.к. sign ₂ sign Y, то

1.0011 = [Y]_дк

______

1.1001 = ₃ = 2 ₃ + [Y]_дк, т.к. sign ₃ = sign y, то z₃ = 1

2 ₃ = ₊1.0010

Т.к. sign ₃ = signY, то

0.1101 = +[-[Y]_дк ]_дк

______

1.1111 = ₄ = 2 ₃ + [-[Y]_дк ]_дк, т.к. sign ₄ = sign Y, то z₄ = 1

Ответ: [Z]_дк = 0.1011

Это справедливо при 1 [Z]_дк = [X]_дк / [Y]_дк ]| < 1.

Если необходимо определить частное |[Z]_дк = [X]_дк / [Y]_дк | | < 2, то поступают так:

[X]_дк*2^-1 / [Y]_дк = z₀z₁z₂...z_n, z₀ – знак, z₁ – целая часть числа.

Арифметические операции над числами, представленными с плавающей запятой В основе арифметических операций над числами с плавающей запятой лежат принципы, на которых базируются операции над числами с фиксированной запятой. При этом есть и некоторые особенности. Будем условно считать, что порядки заданы в обратном коде, а мантиссы – в прямом. Умножение: X = 2^mx * sign X.x1x2...xnY = 2^my * sign Y.y1y2...ynZ = X*Y = 2^mx+my * sign Z.z1z2...zn Порядок выполнения операции следующий: 1. Знак произведения находится так же, как и при умножении чисел с фиксированной запятой: Порядок произведения находится алгебраическим суммированием порядков мно­жимого и множителя. 3. Мантисса находится по правилам умножения чисел с фиксированной запятой. При этом возможны следующие случаи: o Мантисса произведения – ненормализованное число, так как o ½ |Mx| < 1,o ½ |My| < 1, то o ¼ |Mx*My| < 1, при ¼ |Mx*My| < ½ o имеем ненормализованное число. Поэтому необходима нормализация влево максимум только на один разряд. С этой целью нужно сдвинуть мантиссу влево на один разряд. Это соответствует умножению числа на 2^1. Для того чтобы число не увеличилось в два раза, нужно из порядка вычесть единицу. o При умножении двух чисел в силу ограниченности разрядной сетки можно получить число, которое не может быть в ней представлено. Это соответствует получению машинной бесконечности. В данном случае вырабатывается специальный признак, по которому дальнейшие вычисления прекращаются. o При умножении двух чисел можно получить минимальное число, которое также не может быть представлено в разрядной сетке. Это соответствует случаю, когда получаемое число должно быть интерпретировано как нуль. Деление В основном аналогично умножению: X = 2^mx * sign X.x1x2...xnY = 2^my * sign Y.y1y2...ynZ = X/Y = 2^mx–my * sign Z.z1z2...zn Порядок выполнения операции следующий: Находится по известным правилам знак частного. Порядок частного находится как разность порядков делимого и делителя. 3. Цифры частного находятся так: вначале находится целая часть мантиссы, то есть |Mx| - |My| = 0 Если 0 0, то z0 = 1, если 0 < 0, то z0 = 0. Дробная часть мантиссы находится так же, как при операциях над числами с фиксированной запятой. Такой порядок действий вытекает из того, что: ½ |Mx| < 1,½ |My| < 1,2^-1 < |Mx / My| < 2 То есть, возможно получение ненормализованной мантиссы. Для нормализации мантиссу необходимо сдвинуть вправо на один разряд и, чтобы не уменьшать при этом результат в два раза, нужно прибавить к порядку одну единицу. При делении, так же, как и при умножении, возможно получение кода машинного нуля и кода бесконечности.

 

Сложение и вычитание

Обе операции выполняются по сходным алгоритмам.

X = 2^mx * sign X.x₁x₂...x_nY = 2^my * sign Y.y₁y₂...y_nZ = X ± Y = 2^max(mx,my).sign Z.z₁z₂...z_n

Операция выполняется следующим образом:

1. Находится разность порядков: m_x – m_y = Δ
2. Производится выравнивание порядков, при этом если разность порядков положительна, то в качестве порядка результата берётся m_x, а мантисса M_y сдвигается вправо на |m_x– m_y| разрядов; еcли разрядность порядков отрицательна, то денормализуется мантисса M_x.
3. Производится алгебраическое суммирование мантисс слагаемых.
4. Выполняется нормализация влево или вправо на соответствующее число разрядов с необходимым исправлением порядка.

Пример:

порядок мантисса[m_x]_пк = 0.11 [M_x]_пк = 0.1010[m_y]_пк = 0.10 [M_y]_пк = 0.1110Находим разность порядков: ₊00.11 = [m_x]_мок 11.01 = [-m_y]_мок 1| 00.00 |_ _ 1 00.01 = [Δ]_мок - разность порядковТак как m x > m_y, то: ₊00.1010 = [M_x]_мок 00.0111 = [M_y]_мок * 2^-1[Z]мок = 01.0001 – переполнение 2^-1 * [Z]_мок = 00.1000 – нормализация max(m_x,m_y) = [m_x]_мок = ₊00.11 [1]_мок = 00.01 [m_x]_мок = 01.00 – переполнение порядкаZ = ∞

При выполнении операции сложения возможны следующие специфические случаи, называемые блокировками:

а) При определении разности порядков может оказаться, что необходимо мантиссу одного из чисел сдвигать на величину, большую, чем число разрядов в разрядной сетке. В этом случае, естественно, такое число может быть воспринято как нуль, а операция дальнейшего сложения может блокироваться, то есть не выполняться.

В качестве результата берётся максимальное число.

Пример:

[m_x]_ок = 0.101 [M_x]_ок = 0.10111101[m_y]_ок = 1.001 [M_y]_ок = 0.10000001

Разность порядков:

₊00.101 = [m_x]_мок 00.110 = [-m_y]_мок

[Δ]_мок = 01.011 – то есть это число 11 ₁₀, а в разрядной сетке мантиссы только 8 разрядов.

Поэтому операция блокируется, а результатом является число:

[m_x] = 0.101 [M_x] = 0.10111101

Аналогичный случай может быть, когда разность порядков – отрицательна (отрицательное переполнение). В этом случае операция также блокируется, а результатом будет число с максимальным порядком.

Пример:

[m_x]_ок = 1.010 [M_x]_ок = 1.10101011[m_y]_ок = 0.110 [M_y]_ок = 1.11111111

Разность порядков:

₊ 11.010 = [m_x]_мок 11.001 = [-m_y]_мок _______₊1| 10.011 1 _______ 10.100 = [Δ]_мок

То есть разность порядков меньше (-8).

Операция блокируется, а результатом будет число:

[m_y]_ок = 0.110 [M_y]_ок = 1.11111111