Понятие функциональной полноты ФАЛ

Было отмечено, что техническая (физическая) задача синтеза произвольного устройства сводится к математической задаче построения произвольной ФАЛ.

Естественно возникает вопрос, какое количество связок необходимо, чтобы построить произвольную ФАЛ. Ответ на этот вопрос не однозначен. Мы видим, что, например, с помощью только функции f₀ (константа 0), f₁₅ (константа 1) произвольную ФАЛ построить нельзя. Нельзя ее построить и с помощью только инвертора. Существуют и другие базисы: , , 1, |. Есть также одноэлементные базисы: f₈ – стрелка Пирса, f₁₄ – штрих Шеффера, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Технически синтез устройства означает, что нужно иметь некоторый набор элементов, ФАЛ которых образуют базис, чтобы можно было построить реальное устройство.

Однако, как было отмечено, задача синтеза ФАЛ – идеальная модель. В действительности, для построения реальных устройств пользуются несколько более расширенным набором элементов - усиления и коррекции сигналов.

Минимизация ФАЛ и ограничения при ее рассмотрении

Покажем на примере, что СДНФ не является экономной формой записи:

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂ =Х₁ Х₁ Х₂

на основании полного склеивания по Х₂ мы видим, что запись стала короче, т.к. содержит меньшее число связок и букв. Физически это означает, что устройство, которое реализует эквивалентную, но более простую функцию, будет иметь в своем составе меньшее количество оборудования, а следовательно, будет работать надежнее.

Итак, задача синтеза устройства должна быть дополнена задачей уменьшения оборудования в нем. С математической точки зрения это задача построения минимальной ФАЛ.

Под минимальной ФАЛ понимается такая форма, в которой содержится меньшее количество букв и членов, чем в ее исходной форме.

Речь идет именно о буквах, а не о переменных, так в функции:

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂ имеется 6 букв и только 2 переменных.

Видно, что если какое-либо элементарное произведение входит в функцию, то при добавлении к нему новых сомножителей, полученное произведение так же будет входить в функцию.

Пример: если Х₁Х₂ входит в функцию от любого числа аргументов (>2), то в нее войдет, например, произведение Х₁Х₂Х₃.

Это можно показать так:

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ (Х₁Х₂)= Х₁Х₂ (Х₃ Х₃) (Х₁Х₂)= Х₁ Х₂ Х₃ Х₁ Х₂ Х₃ (Х₁Х₂)=Х₁ Х₂ Х₃ (Х₁ Х₂ Х₃)

Дадим ряд определений:

1. Произведение одной или нескольких неповторяющихся переменных, взятых с отрицанием или без него, называют элементарным.

Например, Х₁ Х₂ Х₃ – элементарное произведение, т.к. в него входят различные буквы Х₁ Х₂ Х₃.

1. Дизъюнкция элементарных произведений – ДНФ.
2. ДНФ является минимальной, если в ней минимальное число букв и членов.
3. Конституентой единицы функции называют функцию, принимающую значение единицы только на одном наборе аргументов.

Обычно конституенты единицы выражают через произведение всех переменных, от которых зависит функция. СДНФ – дизъюнкция конституент единицы.

1. Ранг произведения – число букв, входящих в него.
2. Собственной частью называется произведение, полученное путем отбрасывания одной или нескольких переменных.

Например, Х₁ Х₂ Х₃ Х₄, где Х₁, Х₁ Х₂, Х₁ Х₂ Х₃ – некоторые собственные части.

1. Если функция равна нулю на наборах аргументов, на которых обращается в нуль функция F, то говорят, что является импликантой функции F (т.е. нулей у импликанты не меньше, чем у функции).
2. Простой импликантой называется произведение, которое само входит в выражение функции, но никакая его собственная часть в выражение функции не входит.

Например, Х₁ Х₁ Х₂ Х₃ Х₁Х₃=f: здесь Х₁- простая импликанта, а Х₁ Х₂ Х₃ и Х₁ Х₃ - не простые.

Понятие покрытия

Определение. Если на каком-либо наборе f принимает значение а₁, а – значение а₂, то говорят, что f своим значением а₁ покрывает значение а₂ функции .

При минимизации ФАЛ стремятся получить форму, в которой будет меньше букв, чем в исходной. По отношению к ДНФ эта форма называется сокращенной (Сок. ДНФ).

Смысл построения Сок. ДНФ заключается в том, что в нее входят такие элементарные произведения, которые своими единицами покрывают не одну единицу исходной функции, а несколько.

Так, каждое элементарное произведение, входящее в СДНФ, покрывает только одну единицу функции.

Например:

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂

1 1 1

Эти единицы функции могут быть накрыты более короткими произведениями: Х₁ накрывает две единицы: Х₁Х₂ и Х₁Х₂ и Х₂, которое накрывает также две единицы: Х₁Х₂ и Х₁Х₂, т.е.

f(Х₁, Х₂)= Х₁ Х₂

ТЕОРЕМА (без док-ва):

Любая ФАЛ может быть представлена единственным образом в Сок. ДНФ, т.е. записана в виде дизъюнкции простых импликант.

Сокращенная форма не означает, что это форма является минимальной. Однако для практической реализации эта форма более удобна, чем совершенная.

Рассмотрим метод получения Сок. ДНФ, предложенный Квайном. Этот метод, и, в частности, теорема Квайна в явном и неявном виде входит практически во все методы минимизации.

Исходная форма функции – совершенная ДНФ.

ТЕОРЕМА Квайна:

Если в СДНФ в начале произвести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ.

Покажем, что, применяя операцию неполного склеивания, получим все простые импликанты функции. Введем операцию развертывания, которая обратна операции склеивания: это есть умножение каждого произведения на выражение вида (Х X)=1.

Пусть Х₁Х₂ – простая импликанта некоторой f(Х₁, Х₂, Х₃) трех переменных. Тогда:

Х₁Х₂ (Х₃ Х₃)=Х₁ Х₂ Х₃ Х₁ Х₂ Х₃

получатся после многократного применения этой операции дизъюнкции конституент единицы исходной функции, т.е. ее СДНФ.

В эту форму, вообще говоря, могут входить несколько одинаковых членов, т.к. разные простые импликанты могут дать одинаковые конституенты единицы. Поэтому, отбросив в ДНФ лишние члены, получим ее СДНФ.

По отношению к СДНФ применяется операция неполного склеивания, т.к. одно и то же произведение, вообще говоря, может склеиваться с несколькими другими, давая различные импликанты, то чтобы не лишиться возможности провести все операции склеивания, приходится каждое произведение, которое участвовало в операции склеивания, оставить для других операций.

Пример:

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂ = Х₁Х₂ Х₁ или Х₁Х₂ Х₂

Таким образом после выполнения операции неполного склеивания получится не только дизъюнкция простых импликант, но и часть конституент единицы.

Если теперь провести все операции поглощения, то в полученной форме функции f останутся только простые импликанты. Покажем это. Пусть в результате операций склеивания получится член x, не являющийся простой импликантой.

Тогда x=y*z, где z – простая импликанта, которая так же должна входить в f, т.к. в нее входит x. Но z будет поглощать х, поэтому х не может входить в f. Это и доказывает теорему Квайна.

Замечание: Заметим, что теорема Квайна применяется по отношению к функции СДНФ.

Порядок получения Сок. ДНФ может быть следующим:

1. Провести все операции неполного склеивания конституент единицы исходной СДНФ. Получатся произведения (n-1) ранга; оставшиеся несклеенные конституенты единицы не могут участвовать в дальнейших склеиваниях.
2. Провести покрытие всех полученных произведений и конституент единицы. Часть некоторых конституент единицы будет устранена.
3. Продолжить, пока возможны операции 1) и 2).

Пример 1:

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂

Если применим операцию полного склеивания, то получим:

или

f(Х₁, Х₂)= Х₁ Х₁Х₂

или

f(Х₁, Х₂)= Х₁Х₂ Х₂

т.е. у нас нет возможности далее провести операцию.

Применим теперь операцию неполного склеивания:

f(Х₁, Х₂)= Х₁ Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₂ = Х₁ Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₁Х₂

Простые импликанты: Х₁, Х₂

Конституенты единицы: Х₁Х₂, Х₁Х₂, Х₁Х₂

Теперь можем провести операции поглощения:

Х₁ поглощает: Х₁, Х₁Х₂, Х₁Х₂

Х₂ поглощает: Х₂, Х₁Х₂, Х₁ Х₂

Т.е. сокращенная ДНФ

f(Х₁, Х₂)= Х₁ Х₂ в данном случае она – минимальная форма.

Пример 2:

Пусть задана:

f(Х₁, Х₂, Х₃)= Х₁Х₃ Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₃

f(Х₁, Х₂, Х₃)= Х₁Х₃ Х₁Х₂ Х₁Х₂ Х₃

Получим СДНФ:

f= Х₁Х₃ (Х₂ Х₂) Х₁Х₂ (Х₃ Х₃) Х₁Х₂ Х₃ = Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ = Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃

Теперь, имея СДНФ, можно получить сокращенную ДНФ:

f(X₁,X₂,X₃)=X₁X₂X₃ X₂X₃ X₁X₃

Пример 3:

f(Х₁, Х₂, Х₃)=Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ Х₁Х₂ Х₃ = Х₁Х₃ Х₂Х₃ Х₁Х₂ Х₁Х₃

Склеиваются два произведения, содержащие число переменных с отрицанием, отличающихся на единицу и расположенных соответствующим образом.

Обычно произведение, содержащее 'n' букв, называется минтермом 'n'-ранга.