Типичные ошибки в решениях задачи 21

1. Одним из распространенных вариантов записей «решения» задачи 21 в 2015 году было отсутствие каких-либо пояснений к ответу.

Пример1.

Рис. 16.1.

Комментарий: На ненулевой балл решение, согласно критериям, могло претендовать, если верный ответ получен хотя бы в одном из пунктов. Проиллюстрированное в примере 1 решение не описывает процесс получения верного ответа ни для одного из пунктов.

 

 

2.Многие участники ЕГЭ 2015 года, приступившие к решению задачи №21, ограничились пунктом а), приведя пример обосновывающий существование необходимого количества натуральных чисел, не содержащих ни одной хорошей тройки.

Пример2.

Рис. 16.2.

Комментарий: С точки зрения формальной логики приведение примера доказывает утверждение с квантором существования. Именно таким утверждением надо считать вопрос пункта а). Однако формальное следование критериям оценивания заданий с развёрнутым ответом 2015 году требует оценки 0 баллов за приведённое в примере 2 решение, поскольку процесс получения верного ответа не описан.

Приведём вариант верного решения пункта а), в котором не используется пример, явно подтверждающий существование требуемой последовательности чисел.

 

Пример3.

Рис. 16.3

Комментарий: В решении описывается способ получения требуемой последовательности чисел. Согласно критериям за пункт а) 1 балл.

Пример 4.

Рис.16.4.

Комментарий: Приведён правильный пример, однако, приведено неверное обоснование. Согласно критериям, 0 баллов.

В предложенных в 2015 году решениях задачи № 21 имелись неединичные ошибки, связанные с понятием натурального числа.

Пример 5:

Рис. 16.5

Комментарий: Решение содержит противоречивые утверждения. Согласно общим методическим рекомендациям разработчиков ЕГЭ, это недопустимо. Оценка 0 баллов.

 

ВЫВОДЫ:

Анализ работ 2015 года позволил констатировать несколько положительных результатов ЕГЭ по математике.

1. Овладение значительной частью выпускников школ, участвовавших на экзамене базового уровня, умениями использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, умениями строить и исследовать простейшие математические модели, умениями выполнять действия с функциями. Достигнут наилучший за последние годы показатель решения задачи на геометрический смысл производной.

2. Демонстрация значительной частью участников экзамена по математике профильного уровня достаточного уровня сформированности умений использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, умениями выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

3. При решении задачи 15 участниками экзамена профильного уровня положительная тенденция состоит в уверенном владении учащимися многими способами отбора корней тригонометрического уравнения из указанного промежутка: с помощью единичной окружности, с помощью графика тригонометрической функции, с помощью числовой прямой, решая двойное линейное неравенство, перебором. Немало учащихся демонстрируют полное владение одним из наиболее рациональных (на их взгляд) способов.

4. Достоинством решений задачи 16 значительной частью участников экзамена профильного уровня было активное использование нестандартных (для школьного курса геометрии) способов решения (в том числе, координатный, координатно-векторный способы). Также можно констатировать увеличение количества работ с оригинальным решением задачи 16.

5. Стабильность доли участников экзамена, приступающих к решению задачи с параметрами (задача 20)

Однако, предметная комиссия по математике, проанализировав результаты, выявила ряд недочетов в математической подготовке выпускников школы, значительная часть из которых отмечались и в прошлые годы:

· низкая мотивация учащихся к достижению максимальных результатов на ЕГЭ по математике;

· доминирование подготовки по алгебре над обучением геометрии;

· низкий уровень математической подготовки, не позволяет учащимся успешно осваивать другие предметы естественно-научного цикла, резко снижает общую способность учиться;

· при оформлении решений задач с развёрнутым ответом участились погрешности: неправильные чертежи, недостаточная доказательность рассуждений, отсутствие аргументации решений;

· недостаточно устойчивые навыки использования основных математических методов, отрабатываемых в школьном курсе математики (в частности, применимые для решения задачи 17 метод интервалов и метод введения новой переменной);

· непонимание значительной частью участников экзамена сути требования «доказать» в задаче, в частности, планиметрической задачи 18.

· поверхностный взгляд на условие задачи (в частности, задачи 19 экзамена профильного уровня), склонность упростить его на свой взгляд, неверная трактовка условия задачи;

· недостаточная подготовленность учащихся к решению нестандартных математических задач, включая задачи типа предложенной на экзамене под номером 21.

 

В этой связи в 2015-2016 учебном году необходимо концентрировать усилия на решении следующих первоочередных задач.

Обеспечить тенденцию повышения качества результатов ЕГЭ с применением комплекса мер, в первую очередь организационно-методического и методического характера, по выявлению потенциальных погрешностей в решении математических задач будущими участниками экзамена 2015 г. и осуществлению соответствующих корректирующих мероприятий.

В связи с наличием определённой доли учащихся, не преодолевших «порогового» значения, необходимо уделять этой группе учащихся большее внимание. С учащимися, имеющими слабую математическую подготовку, стоит сконцентрироваться на формировании их базовых математических компетенций (умении читать и верно понимать условие задачи, решать практико-ориентированные задачи, выполнять арифметические действия, тождественные преобразования и т.д.), определить наиболее успешно решаемые данными учащимися типы задач и доводить, в первую очередь, их решение «до совершенства». Другими словами, для учащихся с разным уровнем подготовки должны быть выстроены принципиально разные стратегии подготовки к экзамену, необходима дифференциация обучения, разработка стратегии обучения и подготовки к выпускному экзамену с учетом уже имеющегося у выпускника уровня образовательной подготовки.

Учителю необходимо планировать обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа, традиционно проводимое учителями в конце 11 класса, с учетом основных содержательных линий курса. Кроме того, в связи с тем, что КИМы ЕГЭ проверяют и усвоение материала курсов математики 5 — 6 классов, алгебры 7 — 9 классов и геометрии 7 — 11 классов, необходимо при подготовке к сдаче ЕГЭ повторить некоторые разделы курса математики, алгебры и геометрии основной и средней школы. Ориентиром в планировании могут послужить:

- Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения единого государственного экзамена по математике.

- Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения единого государственного экзамена по математике.

- Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в текущем году единого государственного экзамена по математике.

- Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена текущего года по математике.