Математическое ожидание какого-либо события равно абсолютной величине этого события, умноженного на вероятность его наступления.

Пример. Имеется два варианта вложения капитала. При вложении капитала в мероприятие А получение прибыли в сумме 25 млн. руб. имеет вероятность 0,6, а в мероприятие Б получение прибыли в сумме 30 млн. руб. имеет вероятность 0,4. Определить ожидаемое получение прибыли от вложения капитала (математическое ожидание получения определенной прибыли).

Решение:

Математическое ожидание прибыли составит:

по предприятию А – 25 х 0,6 = 15 (млн. руб.);

по предприятию Б – 30 х 0,4 = 12 (млн. руб.).

 

Вероятность наступления события м.б. определена:

а) объективным методом;

б) субъективным методом.

 

Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходит данное событие. Например, если при вложении капитала в какое-то мероприятие прибыль в сумме 25 млн. руб. была получена в 120 случаях из 200, то вероятность получения такой прибыли составляет: 120/200 = 0,6.

Субъективный метод определения вероятности базируется на различных личностных предположениях: суждениях, личном опыте, оценках экспертов и т.д.

 

Средняя величина (Х) представляет собой обобщенную количественную характеристику ожидаемого результата.

Различают:

а) средняя арифметическая (простая и взвешенная);

б) средняя гармоническая (простая, взвешенная);

в) средняя геометрическая;

г) средняя квадратическая и средняя кубическая;

д) структурные средние (мода, медиана).

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных.

 

Среднее ожидаемое того или иного события – это средневзвешенная для всех возможных результатов.

Пример. Если известно, что при вложении капитала в мероприятие А из 120 случаев прибыль в 25 млн. руб. была получена в 48 случаях (вероятность 0,4), прибыль в 20 млн. руб. в 36 случаях (вероятность 0,3), а прибыль в 30 млн. руб. в 36 случаях (вероятность 0,3).

Для мероприятия Б из 150 случаев прибыль в сумме 40 млн. руб. была получена 30 случаях (вероятность 0,3), прибыль в сумме 30 млн. руб. в 50 случаях (вероятность 0,5), прибыль в сумме 15 млн. руб. в 20 случаях (вероятность 0,2).

Найти ожидаемые значения прибыли.

 

Решение:

Среднее ожидаемое значение прибыли составило:

- для мероприятия А: 25 х 0,4 + 20 х 0,3 + 30 х 0,3 = 25 (млн. руб.);

- для мероприятия Б: 40 х 0,3 + 30 х 0,5 + 15 х 0,2 = 30 (млн. руб.).

Вывод (вариант): при вложении капитала в мероприятие А величина получаемой прибыли колеблется от 20 до 30 млн. руб. и средняя величина составляет 25 млн. руб.; при вложении капитала в мероприятие Б величина получаемой прибыли колеблется от 15 до 40 млн. руб. и средняя величина прибыли составляет 30 млн. руб. Исходя из среднего размера прибыли, более выгодным является вложение капитала в мероприятие Б. Но это некорректный вывод, т.к. средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принимать решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Для окончательного принятия решения необходимо измерить колеблемость показателей, т.е. степень отклонения ожидаемого значения от средней величины.

Для этого на практике применяют три близко связанных показателя:

1. Дисперсия;

2. Среднее квадратическое отклонение;

3. Коэффициент вариации.

_

 

Дисперсия – это средневзвешенное из квадратов отклонений ожидаемых результатов от средних ожидаемых результатов.

2 п _

σ = Σ(Х - Х) х п (простая дисперсия) или умножить на f (взвешенная

i =1 дисперсия).

где σ –дисперсия;

Х – ожидаемое значение для каждого случая наблюдения;

Х – среднее ожидаемое значение;

п – число случаев наблюдения (для несгруппированных данных);

f - частота вариационного ряда (частота повторения одинаковых признаков) (для сгруппированных данных).

 

Она характеризует меру изменчивости возможного результата, м.б. применена для характеристики качества статистических оценок. Различают:

а) общую дисперсию;

б) межгрупповую дисперсию;

в) внутригрупповую (частную) дисперсию.

 

Среднеквадратическое отклонение (σ) равно корню квадратному из дисперсии. Это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Среднеквадратическое отклонение именованная величина и указывается в тех же единицах в каких измеряется варьирующий признак. Среднее квадратическое отклонение и дисперсия являются мериами абсолютной колеблемости.

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической и показывает степень отклонения полученных значений.

σ

У = ---_----,

Х

Коэффициент вариации - относительная величина. Поэтому с его помощью можно сравнить колеблемость признаков, выраженных в различных единицах измерения. Она может изменяться от 0 до 100%.

Чем больше коэффициент вариации, тем сильнее колеблемость и тем выше степень риска.

Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации (вариант):

Таблица

Характеристика риска по значениям коэффициента вариации

№ п/п	Коэффициент вариации	Характеристика риска
	0,1	Слабый
	От 0,1 до 0,25	Умеренный
	Свыше 0,25	Высокий
	До 0,25	Приемлемый
	От 0,25 до 0,5	Допустимый
	От 0,5 до 0,75	Критический
	Свыше 0,75	Катастрофический

 

Из таблицы видно что:

а) до 10% - слабая колеблемость;

б) 10 – 25% - умеренная колеблемость;

в) свыше 25% - высокая колеблемость.

 

Пример. Рассчитать критерии колеблемости вложения капитала по исходным данным изложенным в табл.1.

Таблица 1

Данные о вложении капитала предприятием в проекты А и Б

Номер события	Полученная прибыль, млн. руб.. Х	Число случаев наблюдения, п	__ (Х – Х)	__ 2 (Х –Х)	__ 2 (Х –Х) х п
Мероприятие А Итого Мероприятие Б Итого	__ 30 Х = 25   15__ Х = 30		- - 5 + 5 -   + 10 - - 15 -	- -   - -	-   -

 

Решение.

Дисперсия составит при вложении капитала:

2 Σ (Х – Х) х п 1800

- в мероприятие А: σ = ----------------- = -------------- = 15;

Σ п 120

- в мероприятие Б: σ = 7500/100 = 75.

 

Среднеквадратическое отклонение составит при вложении капитала:

- в мероприятие А: σ = γ σ = +,- З, 87 млн. руб.;

- в мероприятие Б: σ = +,- 8,66 млн. руб.

 

Коэффициент вариации:

- для мероприятия А: V = 3,87\ 25 = +,- 15,5%;

- для мероприятия Б: V = 8,66\ 30 = 28,9%.

 

Вывод: показатели колеблемости прибыли для варианта А меньше, значит наиболее выгодным является вложение в мероприятие А, несмотря на то что для него средняя прибыль меньше.

На эти статистические показатели базируется экономико - статистический метод оценки рисков (модель Марковица). Он зачастую применяется наряду с контент анализом.

Контент-анализ является наиболее простым методом оценки рисков с учетом вероятности изменения его воздействия (четвёртый подход).

Сущность метода заключается в определении вероятности возникновения риска и ущерба связанного с этим риском, и других показателей.

При применении контент-анализа определяют:

1. Общее количество договоров заключенных предприятием (N);

2. Количество договоров по которым было нарушение оплаты или неоплата (n);

3. Вероятность возникновения риска (n/N x 100%);

4. Размер задолженности.

Величина вероятности возникновения риска может принимать значения в интервале от 0 до 1 (от 0 до 100%). При оценке риска может использоваться эмпирическая шкала вероятностей риска (таблица).

 

Таблица 1

Эмпирическая шкала уровня риска

№	Вероятность нежелательного исхода (величина риска)	Наименование градаций риска
	О.0 – 0,1	минимальный
	0,1-0,3	малый
	0,3-0,4	средний
	0,4-0,6	Высокий
	0,6-0,8	Максимальный
	0,8 -1,0	Критический

 

Контент-анализ удобен и доступен в основном для проведения оценки «финального» риска. В системе риск-менеджмента для получения более обоснованного результата оценки риска желательно оценить также и «стартовый» риск, для этого годятся экономико-статистические методы оценки.

Данный подход к оценке риском был реализован в модели Марковица и основывается на законе нормального распределения

Закон нормального распределения применим в случае, когда исход событий представляет собой результат совместного воздействия большого количества независимых факторов, и ни один из факторов не оказывает преобладающего влияния.

В действительности нормальное распределение экономических явлений в чистом виде встречается редко, но часто фактические распределения близки к нормальному.

График функции нормального распределения описывается, так называемой, нормальной кривой (кривой Гаусса).

Опираясь на закон нормального распределения рассчитывают теоретический коэффициент риска. Он только в самом общем плане отражает экономическую сущность риска, имеет ряд недостатков и применим только при оценке риска крупных программ и проектов (подробнее В.М. Гранатуров, с.40 -48).

Модель Марковица ориентирована в основном на формирование портфеля ценных бумаг, оценку риска инвестиций, а также других видов рисков.

Пример.

Оценить риск неоплаты или несвоевременной оплаты услуг фирмы, оказывающей консалтинговые услуги с помощью контент-анализ и экономико -статистического метода.

В результате контент-анализа проведенного на основе соответствующей таблицы данных стало известно:

1. Количество договоров - N =101.

2. Количество договоров, по которым было нарушение оплаты или неоплата: п= 16.

3. Вероятность возникновения риска (п/N х 100%) - 16:101 х 100% = 15,74%.

4. Сумма задолженности = 4 783 007,8 руб.

 

Экономико-статистический метод (модель Марковица)

1. Среднее ожидаемое значение (математическое ожидание):

Хм = (20 х 0,0594) + (25 х 0,0495) + (40 х 0,0297) + (30 х 0,0198) + (100 х 0,8416) = 88,3675%.

2. Дисперсия:

Д = (20 – 88,3675) х 0,0594 + (25 – 88,3675) х 0,0495 + (40 – 88,3675) х 0,0297 + (30 – 88,3675 х 0,0198 + (100 – 88,3675) х 0,8416 = 727,222443.

3. Среднеквадратическое отклонение:

d= Ö727,222443 = 26,967062

4. Коэффициент вариации = 26,967062/88,3675 = 0,3052.

Вывод (вариант):

Общая вероятность повышения воздействия риска составляет около 16%, что соответствует малой вероятности; ущерб от воздействия риска

– 4 783 007,8 руб. Средневзвешенная величина процента оплаты услуг составляет около 88%.

Значение коэффициента вариации, характеризующего воздействие риска неоплаты услуг, равно 0, 3052 (или 30,52%), что соответствует достаточно высокому, но допустимому уровню воздействия риска.

Экономико-статистический метод достаточно объективен и информативен, поэтому на основе предложенного Марковицем, были разработаны также другие методы оценки рисков, например Value at Risk, Risk Metrics. Они применяются в основном в финансах, банковской и инвестиционной сферах, в страховании.

 

 

На практике используют различные критерии оценки и показатели уровня риска в зависимости от сложности решаемых задач и сферы предпринимательской деятельности.

В страховом бизнесе в качестве количественной оценки риска используют вероятность наступления рискового события.

В инвестиционно-финансовой сфере в качестве критерия количественной оценки риска проектов вложения капитала широко используют показатели:

а) среднее ожидаемое значение (Х) возможного результата (отдачи) (доходы, прибыль, дивиденды и т.п.);

б) среднее квадратическое отклонение (σ), как меру изменчивости (колеблемости) возможного результата.

 

При отсутствии необходимых статистических данных количественная оценка как отдельных рисков, так и риска проекта в целом осуществляется методом экспертных оценок (пятый подход).

Методы экспертных оценок:

а) открытое обсуждение поставленных вопросов с последующим открытым или закрытым голосованием (традиционный метод не всегда обеспечивающий достоверность оценок из-за влияния психологических факторов – мнений авторитетных и напористых экспертов);;

б) свободное высказывание без обсуждения и голосования (метод мозговой атаки);

б) закрытое обсуждение с последующим закрытым голосованием или заполнением анкет экспертного опроса (метод Дельфи и др.)