Метод незатухающих колебаний

Этот метод позволяет определить настройки регулятора, обеспечивающие определенный запас устойчивости АСР и удовлетворительное качество переходных процессов. Определение настроек регулятора производиться в два этапа:

определяется критическая частота и критическая настройка Кр^кр пропорционального регулятора, при которой в замкнутой АСР возникают затухающие колебания у(t);

определение по Кр^кр настроек регуляторов по приближенным формулам.

Определение критической частоты и настройки Кр^кр

Если разомкнутая система устойчивая и ее АФХ проходит через точку , то замкнутая АСР будет находиться на границе устойчивости.

Условие нахождения АСР на границе устойчивости:

тогда получим:

это условие выполняется, если:

 

Амплитудно-фазовая характеристика пропорционального регулятора имеет вид:

или в показательной форме:

 

для расчета настройки Кр^кр и частоты получим два уравнения:

 

Из второго уравнения находим значение , затем из первого Кр^кр по формуле:

 

Определение настроек регуляторов

 

По критическим значениям Кр^кр и определяем настройки регуляторов

 

Пропорциональный (П) регулятор:

Пропорционально-дифференциальный (ПД) регулятор:

или

где, - период незатухающих колебаний АСР

 

Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор:

;

;

где, Т_пр – время предварения Т_пр=С₂ /К_р

 

Вычисление настройки регуляторов, обеспечивают степень затухания процесса регулирования более чем 0,75.

 

На производстве достаточно часто находят настройки П,ПИ,ПИД – регуляторов по приближенным формулам, зависящем от некоторых характерных параметров динамики объекта:

- времени запаздывания ;

- постоянной времени Т₀;

- коэффициента усиления К₀.

 

Пропорциональный (П) регулятор:

 

Пропорционально дифференциальный (ПД) регулятор:

;

 

 

Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор:

; ;

 

Найденные настройки обеспечивают устойчивый переходной процесс со степенью затухания

Пример:

Определить критическую частоту и настройки . (Рис.1.1.).

Поскольку АФХ П-регулятора имеет вид , то для расчета настройки и частоты получим два уравнения:

Из второго уравнения находиться значение

Решая последнее уравнение, находим =0,0449, затем из первого по формуле:

Определяем настройки регуляторов. Расчет настроек регуляторов по и осуществляется по приближенным формулам:

П-регулятор

Расчет настроек по амплитудно-фазовой характеристики объекта

 

При использовании метода определения настройки регуля­тора по АФХ объекта необходимо обеспечить выполнение установлен­ных требований к расположению характеристики на комплексной плос­кости, обусловленных заданными значениями показателя колебатель­ности М, запасов устойчивости по модулю С и фазе р, времени регули­рования tр. При отсутствии наперед заданных значений какого-либо из показателей качества следует принимать М = 1,3—1,5, что обес­печит хорошее качество переходных процессов в замкнутой системе регулирования.

Настройка П-регулятора.

Построить АФХ разомкнутой системы с регулятором при k₁== 1, совпадающую с АФХ объекта, и провести луч под углом (1/М) к отрицательной полуоси (Рис.1.6.)

Вычертить окружность радиуса r с центром на вещественной отри­цательной полуоси, касающуюся АФХ объекта и луча.

Рассчитать максимальное значение коэффициента усиления П-регулятора по формуле:

(1)

Настройка И-регулятора.

Построить АФХ разомкнутой системы для некоторого фиксирован­ного значения, постоянной времени Т₁ интегрального регулятора и k₁ = 1 в выражении для его коэффициента усиления k_а == k₁/T₁, что сведется к повороту по часовой стрелке на 90° векторов АФХ объекта, уменьшенных в T₁ раз (Рис.1.7.)

Провести луч под углом и определить радиус r ок­ружности, касающейся луча и построенной АФХ разомкнутой системы.

Рассчитать оптимальное предельное значение коэффициента уси­ления интегрального регулятора:

(2)

 

 

 

Рис.1.6. Рис.1.7.

 

Рис.1.8.

 

 

 

Настройка ПИ-регу­лятора.

Построить АФХ разомк­нутой системы для нескольких фиксированных значений Т_и по выражению

при k_p=1, что сведется к повороту на 90° в отрицательном направлении изменен­ного в Т_И раз вектора АФХ объекта и геометрическому суммированию его с исходным, как показано на (Рис1.8.).

Провести луч под углом (1/М) и определить радиусы окружностей, касающихся этого луча и АФХ с фиксированными значениями Т_И.

Определить значения коэффициентов усиления регулятора для каждого Т_И, так же, как и для П-регулятора, т. е. по формуле (1).

Построить кривую границы области устойчивости (при заданном М) в плоскости параметров настройки ПИ-регулятора k_p и Т_И (Рис.1.8.). Проведя касательную к этой кривой, можно выявить точку макси­мального отношения k_p/T_И, являющегося оптимумом настройки.

 

Настройка ПИД-регулятора.

Характеристики для различных зна­чений Т_И, при единичном значении k_p строится для фиксированного оптимального отношения времени предварения к времени изодрома Т_п/Т_и 0,5. Выражение для АФХ системы представится в таком виде:

При этом построение све­дется к повороту на 90° в отрицательном направ­лении измененных в (1/Т_И -0,5 Т_И ) раз векторов АФХ объекта и геометрическому сум­мированию

 

их с исходны­ми векторами (Рис.1.9).

Провести луч под углом (1/М) и определить радиусы окружностей, касающихся этого луча и АФХ с фиксированными значениями Т_И.

Определить значения коэффициентов усиления регулятора для каждого Т_И, так же, как и для П-регулятора, т. е. по формуле (1).

Построить кривую границы области устойчивости (при заданном М) в плоскости параметров настройки ПИ-регулятора kp и Т_И (Рис.1.8.). Проведя касательную к этой кривой, можно выявить точку макси­мального отношения k_p/T_И, являющегося оптимумом настройки.

 

 

Рис.1.9.

 

 

Пример: Математически определяем объект регулирования, получается модель объекта, Рис.1.6. которая описывается апериодическим звеном первого порядка с передаточной функцией первого порядка:

р заменим на

числитель и знаменатель умножаем на знаменатель сопряженный:

Выделяем действительную и мнимую часть, строим АФХ

и

Подставляя значения от 0 до строим АФХ разомкнутой системы с К₁=1 для фиксированных значений Т_u (в нашем случае Т_u=1,1). Для этого вектор АФХ замкнутой системы изменяем в Т_u раз, поворачиваем на 90⁰ в отрицательном направлении

(, где Х – длина вектора замкнутой АФХ) и геометрически суммируем его с исходным.

Проводим луч под углом

отрицательной полуоси.

Вычерчиваем окружность радиуса r с центра на вещественной отрицательной полуоси, касающуюся АФХ разомкнутой системы и луча.

 

 

	Тu=1,1
		Х
0,1	506,03	-57,05	55,24878
0,2	48,88	-115,36	95,82775
0,3	478,68	-170,39	117,2624
0,4	447,54	-218,13	127,4889
0,5	408,90	-256,01	132,4419
0,6	366,53	-283,22	134,9411
0,8	282,98	-309,15	136,928
	212,27	-308,49	137,4422
2,1	43,89	-207,15	136,7909
2,5	25,42	-178,19	136,5044
	12,35	-150,50	136,2153
	0,71	-113,63	135,8047
	-3,56	-90,77	135,5327
	-5,97	-49,79	135,0029
	-3,25	-17,58	134,5377
	-1,14	-5,44	134,3482
	-0,47	-2,17	134,2957
	-0,10	-0,43	134,2674

 

Рассчитываем максимальное значение коэффициента усиления ПИ-регулятора по формуле:

 

 

рис.1.10.