Критерий устойчивости Михайлова .

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из уравнения (4.1) путем подстановки S=jw получают аналитическое выражение вектора D(jw):

(4.2)

Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:

где

 

 

Построение годографа производится по уравнению вектора D(jw) при изменении частою от 0 до ¥.

Для случая устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при w = 0 годограф начинался на вещественной положительной оси и обходил против часовой стрелки n квадран­тов, нигде не обращаясь в нуль.

Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной.

2. Критерий устойчивости Найквиста. (Подробно не только по ЛЧХ)

Критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

Принцип аргумента.

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = _i + ji = |p_i|e^jarg(pi),

где arg(p_i) = arctg(i/a_i) + k,

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_i будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой, то p = j, а характеристический полином принимает вид:

D(j) = a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n).

При этом концы векторов j - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до +, то каждый вектор j - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j) = |D(j)|e^jarg(D(j)),

где |D(j)| = a₀|j - p₁||j - p₂|...|j - p_n|,

arg(D(j)) = arg(j - p₁) + arg(j - p₂) +.. + arg(j - p_n).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при изменении от - до + равен

= (n - m) - m,

или при изменении от 0 до + получаем

= (n - 2m)(/2).

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на, а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2.

5. Разложение в ряд Тейлора функции одной и нескольких переменных.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , Пусть Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

Для разложения в ряд Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням в окрестности точки имеет вид

где — n-ый член ряда.

Пример разложения в ряд Тейлора функции большого числа переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных. Для простоты обозначим переменные x, y и z, разложение проведём в окрестностях точки (0, 0, 0) и возьмём члены порядка не более второго.

Оператор T будет иметь вид

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

Учитывая, что

получим

Например, при ,

5. Устойчивость по Ляпунову

Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области (рис. 16.7, б) можно найти такую область , что при начальных условиях, расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходный процесс) будет таким, что изображаю­щая точка не выйдет из области при любом сколь угодно большом значе­нии времени t.

 

В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпу­нову будет следующей. Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, если при заданных положительных сколь угодно малых числах можно найти такие положительные числа (i = 1,.. п), что при начальных условиях

(i = 1,.. п) (16.22)

решение дифференциальных уравнений возмущенного движения (переход­ного процесса) удовлетворяет неравенствам

(i = 1,.. п)

при любом сколь угодно большом t, начиная с некоторого .

Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (16.22) получается n-мерный парал­лелепипед со сторонами , внутри которого должна лежать начальная точка фазовой траектории М₀ (x₁₀, х₂₀,.. х_п0). На фазовой плоскости () он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе из написан­ных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории не должны выходить из параллелепипеда со сторонами .

 

Качество регулирования

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете опре­деляется величиной ошибки, равной разности между требуемым и дей­ствительным значениями регулируемой величины: . В системах стабилизации при ошибка .

Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако в действительности, вследствие случайности задаю­щего и возмущающего воздействий, такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по некото­рым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы регулирования в этом случае используются так называемые критерии качества.

В настоящее время разработано большое число различных критериев качества систем регулирования. Все их можно разбить на четыре группы.

К первой группе относятся критерии, в той или иной степени исполь­зующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режи­мах. Эту группу назовем критериями точности систем регулирования.

Ко второй группе относятся критерии, определяющие величину запаса устойчивости, т. е. критерии, устанавливающие, насколько далеко от гра­ницы устойчивости находится система регулирования.

Почти всегда опасной для системы является колебательная граница устойчивости. Это определяется тем, что стремление повысить общий коэф­фициент усиления в системе, как правило, приводит к приближению системы именно к колебательной границе устойчивости и затем — к возникновению незатухающих автоколебаний.

Третья группа критериев качества определяет так называемое быстро­действие систем регулирования. Под быстродействием понимается быстрота реагирования системы регулирования на появление задающих и воз­мущающих воздействий. Наиболее просто быстродействие может оцениваться по времени затухания переходного процесса системы.

К четвертой группе критериев качества относятся комплексные крите­рии, дающие оценку некоторых обобщенных свойств, которые могут учиты­вать точность, запас устойчивости и быстродействие. Обычно это делается при помощи рассмотрения некоторых интегральных свойств кривой переход­ного процесса.

При рассмотрении понятий запаса устойчивости и быстродействия можно исходить из двух существующих в настоящее время точек зрения.

Во-первых, можно основываться на характере протекания процессов во времени и использовать для формирования критериев качества переход­ную или весовую функцию, расположение полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы и т. п.

Во-вторых, можно основываться на некоторых частотных свойствах рассматриваемой системы, характеризующих ее поведение в установившемся режиме при действии на входе гармонического сигнала. К ним относятся полоса пропускания, относительная высота резонансного пика и др.

Оба эти подхода имеют в настоящее время большое распространение и используются параллельно. И тот и другой подход требует изучения усло­вий эксплуатации построенных систем автоматического регулирования, так как только на основании такого изучения можно правильно сформулировать количественные оценки, которые могут быть использованы в практике проектирования и расчета новых систем.

Связь между временными и частотными свойствами системы автомати­ческого регулирования имеет сложный характер и может быть определена в общем виде только в простейших случаях, например для систем, описы­ваемых дифференциальным уравнением второго порядка.

Однако отсутствие зависимостей, связывающих в общей форме свойства системы во временном и частотном представлениях, не может служить пре­пятствием для развития и независимого использования критериев качества того или иного направления.

Использование того или иного подхода при формулировании критериев качества определяется в настоящее время удобствами его применения в систе­мах конкретного вида, а также, в известной мере, сложившимися в данной области традициями,

Во-вторых, можно основываться на некоторых частотных свойствах рассматриваемой системы, характеризующих ее поведение в установившемся режиме при действии на входе гармонического сигнала. К ним относятся полоса пропускания, относительная высота резонансного пика и др.

Оба эти подхода имеют в настоящее время большое распространение и используются параллельно. И тот и другой подход требует изучения усло­вий эксплуатации построенных систем автоматического регулирования, так как только на основании такого изучения можно правильно сформулировать количественные оценки, которые могут быть использованы в практике проектирования и расчета новых систем.

Связь между временными и частотными свойствами системы автомати­ческого регулирования имеет сложный характер и может быть определена в общем виде только в простейших случаях, например для систем, описы­ваемых дифференциальным уравнением второго порядка.

Однако отсутствие зависимостей, связывающих в общей форме свойства системы во временном и частотном представлениях, не может служить пре­пятствием для развития и независимого использования критериев качества того или иного направления.

Использование того или иного подхода при формулировании критериев качества определяется в настоящее время удобствами его применения в систе­мах конкретного вида, а также, в известной мере, сложившимися в данной области традициями.

 

3.1(б) Приближенная оценка вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике

Построение кривой переходного процесса является в большинстве слу­чаев весьма трудоемкой операцией. Поэтому целесообразно использовать методы, позволяющие определить вид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать по вещественной частот­ной характеристике Р () замкнутой системы, которая используется для построения переходной функции. При этом предполагается, что переходный процесс у(t) вызван скачком задающего воздействия g(t). Возможна оценка вида переходного процесса при приложении скачка воз­мущения . В этом случае необходимо использовать вещественную часть частотной передаточной функции системы по возмущающему воздействию .

Использование оценки вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике наиболее удобно применять в том случае, когда для исследования автоматической системы используются частотные методы.

Пусть вещественная частотная характеристика замкнутой системы имеет вид, изображенный на рис. 3.1.

Интервал частот , в котором , называется интер­валом положительности. Интервал частот называется интерва­лом существенных частот. Если при и далее при величина становит­ся и остается меньше некоторой заданной доста­точно малой положительной величины , влия­нием остальной части вещественной частотной характеристики (при ) на качество пе­реходного процесса можно пренебречь. Если же при оказывается, что , то при оценке качества переходно­го процесса в первом приближении можно при­нимать во внимание только интервал поло­жительности .

Заметим, что отбрасываемый «хвост» ве­щественной частотной характеристики ( или ) влияет глав­ным образом на начальную часть переходного процесса, которая, следо­вательно, будет оцениваться более грубо. Начало же вещественной частот­ной характеристики определяет главным образом концевую часть переход­ного процесса.

На основании анализа интеграла (7.53) были получены следующие оценки качества переходного процесса.

1. Статическое отклонение регулируемой величины, получаю­щееся в результате единичного скачка внешнего воздействия, равно началь­ному значению вещественной частотной характеристики Р(0). Если речь идет о скачке задающего воздействия, то Р(0) должно равняться либо 1, либо некоторому к₀, если система должна воспроизводить задающее воз­действие в определенном масштабе к₀. Если же вводится скачок возмущаю­щего воздействия f, то значение P_F(0) должно быть как можно меньше, причем в астатической системе возможно P_F (0) = 0.

2. Чтобы величина перерегулирования не превышала 18% от статического отклонения, достаточно иметь положительную невозрастающую непрерывную характеристику .

3. Для монотонности переходного процесса у(t) достаточно, чтобы представляла собой отрицательную, убывающую по модулю непрерывную функцию от , причем .

4. Простейшим признаком немонотонности переходного процесса являет­ся наличие значений (кривая 3 на рис. 8.7, б). Переходный процесс тоже будет немонотонным, когда кривая располагается при каких-нибудь выше ступенчатой кривой (рис. 8.7, в), причем где через обозначены целочисленные значения, взятые с избытком;

например, если , то берется

5. В случае, если вещественная частотная характеристика имеет очертание вида кривой 3 (рис. 8.7, б), которую можно представить как

 

разность двух положительных невозрастающих непрерывных функций, то величина перерегулирования (рис. 8.7, а) будет меньше, чем 1,18 .

6. Для монотонных процессов у(t) время затухания t₁ до значения

у=5% от статического отклонения будет больше, чем . В общем же случае . Вообще при прочих равных условиях переходный процесс тем быстрее затухает, чем больше т. е. чем больше растянута область

 

положительности вещественной частотной характеристики вдоль оси .

7. Если заданную вещественную частотную характеристику можно приближенно заменить трапецией (рис. 8.8, а), то в зависимости от отноше­ния длин оснований и трапеции величина перерегулирования в про­центах и время затухания переходного процесса в относительном виде со могут быть приближенно оценены графиками, показанными на рис. 8.8, б и 8.8, в, причем величина t₁ заключается в интервале .

 

3.2 Частотные показатели и оценки качества

8,9 Частотные критерии качества

Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества осо­бенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.

 

Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости можно определять по удалению амплитуд­но-фазовой характеристики разомкнутой системы (рис. 8.24, а) от точки . Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.

Для общего случая условной устойчивости, изображенного на рис. 8.24,а, запас устойчивости по амплитуде определяется двумя точками а и с, и, соот­ветственно, двумя величинами, выраженными обычно в децибелах:

, .

Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше и . В хорошо демпфированных системах эти величины составляют примерно 6–20 дб, что соответствует 2–10 в линейном масштабе.

В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина так как .

Запасом устойчивости по фазе называется запас по фазе ,

где – аргумент частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий модулю, равному единице (точка b на рис. 8.24, а):

сдвиг по фазе определяется условием

В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет около 30–60°.

В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивости системы регулирования (точки а, b и с на рис. 8.24, а), задают некоторую запретную об­ласть для амплитудно-фазовой ха­рактеристики разомкнутой систе­мы. Эта запретная область окру­жает точку и может быть построена по заданным значениям запаса устойчивости по фазе и запаса устойчивости по модулю (рис. 8.24, б).

Недостатком рассмотренного критерия является то, что для оп­ределения запаса устойчивости не­обходимо задать два числа: и .

В этом отношении более удобно определять запас устойчивости по показателю колебательности. Пока­зателем колебательности называется максимальное значение ординаты M_mах амплитудной характеристики замкнутой системы (см. рис. 8.25) при начальной ординате, равной единице, т. е. относительная высота резонанс­ного пика. Физически эта характеристика представляет собой следующее. Если управляющий сигнал на входе системы регулирования меняется по закону , то регулируемая величина в режиме установивших­ся вынужденных колебаний будет меняться по закону . Отношение амплитуд и определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы:

(8.81)

где – частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности (имеется в виду наибольший максимум)

(8.82)

Как видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяет­ся посредством задания задающего воздействия . В прин­ципе возможно определение показателя колебательности системы посредством задания возмущающего воздействия и отыскания относитель­ной величины резонансного пика.

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к коле­баниям и тем выше резонансный пик. Допустимое значение показателя коле­бательности определяется на основании опыта эксплуатации систем регули­рования. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1–1,5, хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2–2,5.

Для отыскания показателя колебательности системы регулирования нет необходимости строить амплитудную частотную характеристику (рис. 8.25)

или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис. 8.25) некоторую точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку на комплексную плоскость частотной передаточной функции разомкну­той системы. Для этого рассмотрим уравнение

Сделаем подстановки и , тогда

Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получим

		(U + С)^2 + V^2 = R^2, (8.83)
	где

(8.84)

(8.85)

 

Это есть уравнение окружности с радиусом R и с центром, смещенным влево от начала координат на величину С.

Задаваясь различными значениями М от 1 до , можно построить ■семейство таких окружностей (рис. 8.26). На каждой окружности написано

значение ординаты амплитудной частотной характеристики. При М=1 окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. При окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой .

Для значений ординат ампли­тудной характеристики, лежащих в пределах , получает­ся семейство окружностей, распо­ложенных справа от линии М=1, симметрично с первым семейством. При М=0 окружность вырожда­ется в точку, совпадающую с началом координат.

Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.25) доста­точно в тех же координатах, где построены окружности М=const, нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. Точки пересече­ния этой характеристики с окружностями будут определять точки амплитуд­ной характеристики с соответствующими значениями ординат, равными М. Для определения показателя колебательности можно не строить амплитуд­ную характеристику, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты ,

определяемое по наименьшей окружности М=const, которой коснется амплитудно-фазовая характеристика.

Если при проектировании системы ставится условия, чтобы ее показа­тель колебательности был не больше некоторого заданного значения, напри­мер М_max=1,5, то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитудно­фазовая характеристика не заходила внутрь окружности, соответствующей этому значению М (рис. 8.27). Амплитудно-фазовая характеристика может только коснуться этой окружности. В этом случае показатель колебатель­ности будет как раз равен заданному значению М_max.

Таким образом, окружность М_тях является запретной зоной для ампли­тудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта зона охватывает точку и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости.

Величина показателя колебательности может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого отобра­зим запретную эону (рис. 8.27) на логарифмическую сетку. Рассмотрим отдельно

 

 

окружность заданного показателя колебательности (рис. 8.28).

На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор, соеди­няющий эту точку с началом координат. Установим для этого вектора связь между его модулем А и запасом по фазе . Из треугольника ОВО₁ по теореме косинусов находим