Особенности методики изучения аксиом стереометрии и простейших выводов из них.

Дыферэнцыяцыя пры навучанні матэматыцы. Пазакласная работа па матэматыцы.

Дифференциация обучения – это организация учебного процесса, при которой учитываются индивидуально-типологические особенности личности (способности общие и специальные, уровень развития, интересы, психофизиологические свойства нервной системы и т.д.), характеризуется созданием групп учащихся, в которых содержание образования, методы обучения, организационные формы различаются.

Выделяются два типа дифференциации обучения: дифференциация внешняя и внутренняя (внутриклассная).

Внутренняя дифференциация учитывает индивидуально-типологические особенности детей в процессе обучения их в стабильной группе (классе), созданной по случайным признакам. Разделение на группы может быть явным или неявным, состав групп меняется в зависимости от поставленной учебной задачи.

Внешняя дифференциация – это разделение учащихся по определенным признакам (способностям, интересам и т.д.) на стабильные группы, в которых и содержание образования, и методы обучения, и организационные формы различаются.

Виды дифференциации определяются, исходя из тех признаков (оснований), который лежат в основе разделения учащихся на группы. Традиционные виды дифференциации – это дифференциация по общим и специальным способностям, по интересам, проектируемой профессии.

В дифференциации по типу внутриклассной выделяются следующие виды: дифференциация по способностям (формы: задания различного уровня сложности, дозирование помощи учителя), уровневая дифференциация; дифференциация по интересам, проектируемой профессии. Внутренняя дифференциация по индивидуально-физиологическим особенностям учеников существует обычно в форме индивидуального подхода к ним, когда учитываются их психофизиологические особенности (преобладающий тип памяти, особенности мыслительных операций, темперамент и т.д.)

Внеклассная работа по математике формирует и развивает способности и личность ребёнка. Управлять этим процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, но формировать у него потребность в постоянном саморазвитии и самореализации, так как каждый человек воспитывает себя прежде всего сам, здесь добытое лично - добыто на всю жизнь.

Основные цели проведения внеклассной работе по математике следующие:

1. Определить степень заинтересованности учеников и учителей во внеклассной работе по математике.

2. Определить степень совпадения интересов педагога и учеников.

3. Определить место внеклассной работы по математике средних и старших классов в школьной жизни.

4. Определить направленность этой внеклассной работы.

 

Существуют следующие формы внеклассной работы:

1. Математический кружок.

2. Факультатив.

3. Олимпиады конкурсы, викторины.

4. Математические олимпиады.

5. Математические дискуссии.

6. Неделя математики, математический вечер, КВН и т.д.

7. Школьная и классная математическая печать.

8. Изготовление математических моделей.

9. Математические экскурсии.

 

Задачи в школьном курсе математики

Задача – это словесная модель заданной ситуации. (по Фридману)

Учебная задача – это цель, кот. ставится перед уч-ся в форме проблемной ситуации.

Задача – понятие неопределяемое, и в самом широком смысле означает то, что требует исполнения решения. В каждой задаче имеется условие – то, что дано, и требование – то, что надо найти, доказать, обосновать. Решить задачу – это значит выполнить ее требования.

Роль задач: 1) задачи как предмет, 2) задачи как средство.

Функции задач: 1)задачи с дидактическими функциями(задачи, используемые перед творческим материалом для облегчения его введения, задачи на применение изучаемой теории), 2)задачи с познавательными функциями(содержат новую информацию для учащихся, задачи на движение, задачи на совместную работу, задачи на %, более сложные задачи на закрепление и усвоение материала), 3)задачи с развивающими функциями (олимпиадные задачи).

Этапа решения задач (схема Пойя):

1.Необходимо показать условие задачи, понять (понимание постановки задачи),

2)поиск решения (составление плана решения),

3)Реализация плана (осуществление плана решения),

4)взгляд назад (изучение полученного решения).

Классификация задач:

По характеру требования: - задачи на доказательство; - задачи на построение; - задачи на вычисление.

По функциональному назначению (К.И. Нешков, А.Д. Семушин): - задачи с дидактическими функциями; - задачи с познавательными функциями; - задачи с развивающими функциями.

По величине проблемности (У. Рейтман, Ю.М. Колягин): - стандартные (известны все компоненты задачи); - обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); - поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); - проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи). При условии, какие компонентах задачи (А - условие, В - заключение, К - решение, С - базис решения задачи)

По числу объектов в условии задачи и связей между ними: простые; сложные.

По компонентам учебной деятельности: организационно-действенные; стимулирующие; контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.

Задачи: алгебраические, арифметические, геометрические (на построение, на док-во, на вычисление).

Роль алгоритмов и эвристик. Существуют алгоритмы (специальные методы) решения многих математических задач определённых типов. Точное выполнение алгоритма приведёт к решению любой задачи определённого класса.

Задачи, принадлежащие классам, имеющим алгоритм решения, называются типовыми.

Схема решения задачи на вычисление: 1)построить чертёж. 2)обозначить одну из искомых величин через х, 3) выразить через х неизвестные величины, 4)составить и решить уравнение, 5)проверить ответ и записать его.

Эвристика – это методы и способы, связанные с улучшением эффективности системы (человека или машины). Суть метода – учитель ставит маленькие проблемные ситуации по этой задаче, ученик их самостоятельно решает.

Методика формирования у школьников математический понятий

Матем понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.

Объем – множество объектов, к которым применимо данное понятие. Между содержанием и объемом понятий существует обратная зависимость: если увеличить содержание понятий, то уменьшится его объем, и наоборот.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Зависимость между содержанием и объемом понятия

Понятие	Объем	Содержание
Треугольник	Множество всевозможных треугольников	Наличие трех точек, не лежащих на одной прямой и наличие трех отрезков, соедин. их
Уравнение	Множество всевозможных уравнений	Наличие одной или нескольких переменных в равенстве

Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства. Требования: 1.признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации; 2.понятия, получаемые в классификации – взаимно независимые.

Виды классификаций:

· дихотомическая (трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;

· иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;

· последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.

Способы образования математических понятий:

1)через абстракцию отождествления (возникновение натуральных чисел),

2)через абстракцию идеализации (не только выделение общих свойств, но и наделение их идеальными свойствами, пример, понятие производной)

3)через абстракцию потенциальной бесконечности (плоскость, прямая),

4)через абстракцию актуальной бесконечности (отрезок в отрезке).

Виды понятий: определяемые (явные, неявные). и неопределяемые. (точка, прямая).

Виды теорем:

1) Из А следует Б. (a=>b) - прямое утверждение. (теорема пифагора)

2) Из Б следует А. (b=>a) - обратное утверждение. (1 и 2 наз взаимнообратными)

3) Из не А следует не Б. () противоположное утверждение. (1 и 3-взаимнопротивоположные)

4) Из не Б следует не А. ()- обратное противопол. Или противопол. Обратному.

4)эквивалентные утверждения

Пары предлож. 1и 4, 2и 3-одноврем истинны или ложны. Иногда все 4 м.б. истинны, т.е. явл. теор.(теор Пифагора)

Методы введения теоремы

- конкретноиндуктивный (теор. в готовом виде не сообщ-ся, должна быть проведена работа для подвед. Учащ-ся к теор. об обнаруж. Соотв. Закономерностей.

- абстрактно дедуктивный: сначала учитель формулирует теорр, потом проводится работа по уточнению смысла данной теор., её усл. И заключ., построение чертежа и т. д.

Виды формулировок теорем: категорическая и условная (импликативная).

Примеры. 1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб" имеет структуру АV В =>C, где А - "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В - "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С - "этот параллелограмм - ромб".

Позже в следующем классе при рассмотрении рациональных дробей тождество определяется как равенство верное при всех допустимых значений входящих в него переменных (таким образом понятие тождество в школьном курсе дается в развитии).

 

 

11. Цели обучения математики в общеобразовательной школе

С 1 сентября 2008 года переход на 11-ти летнее общее среднее образование.

Цели обучения математики в школе:

- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования, для самообразования; - интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для полноценной жизни в обществе; - формирование представлений об идеях и методах математики как форме описания и методе познания действительности; - формирование представления о математике как части общественной культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Цели обучения математики отражают общедидактические цели и учитывают специфику учебного предмета. Они подразделяются на:

-образовательные (основным документом, в котором фиксируются цели обучения, является программа по математике, в которой указывается общая хар-ка целей (объяснительная записка) и конкретное их представление, которое формулируется в виде математической подготовки учащихся. Другой раздел программы – содержание обучения – содержит образовательные цели в более конкретной форме. Образовательные цели являются главными и должны разграничивать основной и второстепенный материал и помочь учителю рационально распределить учебное время).

-воспитательные (тесно связаны с содержанием обучения. Это цели по формированию мировоззрения, сознательного отношения к учёбе, развитию познавательной активности.)

-развивающие (это такие цели как развитие у учащихся навыков применения анализа, синтеза, индукции, дедукции, сравнений, аналогии и т.д.)

Примеры:

Общеобразовательные цели: овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете математики, о математических приемах и методах познания, применяемых в математике.

Воспитательные цели: воспитание активности, самостоятельности, ответственности; воспитание нравственности, культуры общения; воспитание эстетической культуры, воспитание графической культуры школьников.

Развивающие цели: формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической составляющих мышления, алгоритмического мышления; развитие пространственного воображения.

Концепция учебного предмета математика — система взглядов, понятий, представлений о математике, являющаяся "образным ключом" к пониманию конкретной проблемы, определяющая методы и способы ее решения.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ – нормативный правовой документ, устанавливающий совокупность норм и требований к структуре, содержанию общего среднего образования, объему учебной нагрузки и уровню подготовки учащихся по ступеням обучения и уровням образования. Образовательный стандарт общего среднего образования определяет обязательный минимум содержания образования базового, повышенного и углубленного уровня изучения учебных предметов, максимальный объём учебной нагрузки учащихся, устанавливает требования к уровню подготовки учащихся и выпускников.

 

12. Паняцці ўраўнення і няроўнасці ў школьным курсе матэматыкі. Методыка навучання школьнікаў рашэнню алгебраічных ураўненняў, няроўнасцей і іх сістэм

Одна из функциональных линий, изучаемых в школе, это изучение уравнений, неравенств и их систем.

С элементарными уравнениями первичное знакомство в нач школе, когда нужно найти, например, неизвестное слагаемое по сумме известных или найти неизвестные элементы в операциях умножения (деления).

5-6 кл – продолжается реш простейших уравнений.

7 кл – ур-ния с одной переменной (линейные 3ч, реш задач с помощью ур-ний 3ч)

8 кл – квадратные ур-ния 28ч: частные случаи, выделение полного квадрата, формула корней, использование квадратных ур-ний при решении задач, уравнения, содерж переменную в знаменателе (под знаком модуля), метод замены.

9 кл – в теме ф-ция рассматриваются нули ф-ции(2ч) и промежутки знакопостонства, с-мы ур-ний с двумя переменными (22ч).

10кл – в теме тригоном ф-ции: решен простейших тригоном ур-ний, тригоном ур-ния

11кл – показательные ур-ния(3-5ч), логарифмические ур-ния(4-6ч), иррац ур-ния и нер-ва(5-8ч).

Неравенства

В нач школе изуч простейшие числовые нер-ва с одной переменной.

5-6 кл – аналогично.

7кл – ничего

8 кл – числовые нер-ва и их св-ва, линейные нер-ва, нер-ва с модулем, содерж квадратные корни

9 кл – квадратные нер-ва(19-22ч), метод интервалов, рац нер-ва.

Определения

1. Ур-нием с одной переменной наз равенство, содержащее эту переменную. При этом переменная в уравнении часто называется неизвестным. Значение переменной- корнем или решением уравнения.

2. Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением.

Эти определения не обладают достаточной степенью строгости. Более строгое определение понятия уравнения даётся в математической логике: предикат вида P(x)=Q(x), где x принадлежит Х, называется уравнением. Х – область определения уравнения.

«уравнение вида ax=b, где х – переменная, a, b – числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Число а называется коэффициентом при переменной, число b – свободным членом».

Даётся алгоритм, как поступать при решении дробных уравнений:

1.найти общий знаменатель. 2.заменить данное выражение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. 3.решается полученное целое уравнение. 4.сделать проверку, т.е. отбросить те значения х, которые обращают знаменатель в ноль

опр-ние. Определяют числовое неравенство следующим образом. «Говорят, что число а больше числа b, если разность а-b число положительное, и записывают a>b, где значок > значит «больше»(аналогично для меньше). Выражение a>b наз. Неравенством. Свойства числовых неравенств: 1*)a>b =>b<a, 2*)a>b, b>c =>a>c, 3*)a>b, для любого с a+c>b+c, 4) следствие a+b>c => a>c-b, 5)a>b, c>d => a+c>b+d,

Неравенство вида ax+b>0, где a,b – числа, x – переменная, называется линейным.

Неравенство вида ax²+bx+c>0, где a,b,c – числа, a<>0, x – переменная, называется квадратным.

Функция вида f(x)=p(x), где p(x) – многочлен, наз. Рациональной (f(x)=p(x)/q(x), где p(x) и q(x) многочлены – дробно-рац.) Дробно-рац ф-ция определена, если q(x) не обращается в нуль. Соотв-но, p(x)>0, p(x)/q(x)>0 – рац. и дробно-рац неравенства.

Решаются методом интервалов, который основывается на данном этапе на идеи перемены знака бинома х-а при переходе через точку а.

 

Основные формы мышления

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.

Понятие - это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений.

Суждение. В суждениях отражаются связи и отношения между предметами и явлениями окружающего мира и их свойствами и признаками. Суждение - это форма мышления, содержащая утверждение и отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств.

Умозаключение - такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Типичный пример умозаключения - доказательство геометрических теорем.

Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений - индуктивными и дедуктивными.

Индукция - это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений.

Дедукция - это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

Основные виды мышления.

Различают три вида мышления: 1) наглядно-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое (теоретическое).

Самой ранней ступенью в развитии мышления ребенка является наглядно-действенное мышление. Оно характеризуется тем, что задача, подлежащая решению, дается наглядно и решается руками, т.е. с практическим действием. Эта форма «мышления руками» не исчезает с развитием более высоких форм логического мышления. С развитием речи и накоплением опыта ребенок приходит к наглядно-образному мышлению. Ребенок мыслит образами, а слово, которым он владеет, помогает ему делать обобщения. Ребенок, придя в школу, в основном мыслит, опираясь на конкретные образы. Но полное и глубокое изучение программного материала способствует развитию словесно-логического мышления.

Логическое мышление является высшей ступенью умственного развития ребенка, проходит длительный путь развития. Оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений. В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так при доказательстве теорем, решении задач доминирует, конечно теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядного действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические их преобразования и т.п.).

 

15. Формы арганізацыі навучання матэматыцы. Урок. Асноўныя патрабаванні да ўрока. Кантроль і ацэнка ведаў навучэнцаў

Урок – это форма организации обучения с группой учащихся одного возраста, постоянного состава, занятие по твёрдому расписанию и с единой для всех программой обучения.

Урок – это целостный, логически завершённый, ограниченный определёнными рамками времени учебно-воспитательный процесс, которому присущи следующие элементы: цели, содержание, средства, методы, формы организации.

Типы уроков

1. Урок по ознакомлению с новым материалом (по формированию понятия).
2.Урок по закреплению изученного материала.
3.Урок проверки знаний, умений и навыков.
4.Урок по систематизации и обобщению изученного материала.

5.Урок контроля и коррекции знаний и умений учащихся.

6. Комбинированный урок.

В современной дидактике выделяют основные виды анализа урока (Е.С. Ильинская), определяющие время его проведения: предваряющий ( в процессе такого анализа разрабатывается план или конспект конкретного урока ), текущий ( осуществляется учителем во время его непосредственного проведения, которое часто сопровождается возникновением различных непредвиденных ситуаций ), ретроспективный ( предполагает обсуждение результатов реализации запланированного образа урока, отраженного в виде его конспекта ).

Примерная схема методического анализа урока

1. Общие сведения об уроке. 2. Тип и структура урока. 3. Содержание урока ( Соответствие материала урока программным требованиям. Целесообразность и характер проверки домашнего задания. Характер постановки целей урока перед учащимися, их мотивирование. Научность, последовательность и доступность изложения материала. Использование наглядности. Результативность урока.) 4. Методическая сторона урока. (Средства обучения, используемые на уроке) 5.. Деятельность и поведение учащихся на уроке. 6. Результаты урока. 7. Выводы и предложения.

Схема самоанализа урока

1)Каково место данного урока в теме, разделе, курсе? Как он связан с предыдущими, на что в них опирается? Укажите тип урока и объясните почему. 2) Какие особенности учащихся были учтены при подготовке к уроку? 3)Какие задачи ставились и решались на уроке: а)общеобразовательные; б) воспитательные; в)развивающие? 4)Почему была выбрана именно такая структура урока? Логическая связь между различными этапами урока. 5) Достаточно ли четко мной было выделено главное и второстепенное? 6)Почему были выбраны именно данные методы, приемы, средства обучения и формы организации познавательной деятельности учащихся? 7)Как осуществлялся дифференцированный подход к учащимся на уроке? 8)Как осуществлялось управление учебной деятельностью школьников (стимулирование, контроль, оценка, работа над ошибками) и почему? 9)Как использовался на уроке учебный кабинет? 10)Как обеспечивалось на уроке рациональное использование времени и предупреждение нагрузки учащихся? 10)Какие выводы из результатов данного урока мне необходимо сделать на будущее?

Контроль – это выявление и сравнение (на определённом этапе обучения) результата учебной деятельности с требованиями, которые задаются к этому результату программой.

ВИДЫ КОНТРОЛЯ

Текущий контроль (различные формы устного опроса, проверка домашнего задания, проверка тетрадей, проверка с помощью перфокарт, проверка с помощью компьютера, текущие тесты на компьютере).

Тематический контроль (тематическая к/р, тематический смотр знаний).

Периодический контроль (итоговая к/р, экзамены, зачёты).

Формы контроля: фронтальн, груп, индивид, комбинированный, самоконтроль.

Оценка знаний учащихся: личностная, нормативная, сопоставительная.

Организация контроля.

Методы контроля – способы, с помощью которых определяется результативность учебно-познавательной деятельности учителя и учащихся.

Методы: устные (устная к/р, индивидуальный опрос, фронтальный опрос), письменные (к/р с полной записью, проверочная работа, к/р обобщающего характера), тесты (перфокарты, работа с выборочными ответами).

Основная цель контроля и оценки знаний учащихся по математике – определение качества усвоения учащимися учебного материала, уровня овладения ими знаниями, умениями и навыками, предусмотренными учебной программой.

Составные компоненты контроля: проверка знаний, оценивание, выставление отметки.

Учителю контроль знаний позволяет определить уровень усвоения учебного материала по математике и в случае необходимости провести их коррекцию, ученику – привести в систему усвоенный за определённое время учебный материал.

Функции контроля:

Контролирующая и диагностическая, образовательная, стимулирующая (развивающая), воспитательная, прогностическая.

Требования к контролю:

Контроль должен быть мотивированным, систематическим и регулярным, разнообразным по формам, включающим всех учащихся в работу, всесторонним и объективным на основе дифференцированного подхода к учащимся, базироваться на единстве требований учителя, осуществляющего контроль за учебной работой учащихся.

Уровни учебных достижений учащихся	Уровни усвоения учебного материала	Балл
Низкий (рецептивный)	Уровень характеризует низкую степень усвоения учебного теоретического материала – узнавание.	1–2
Удовлетворительный (рецептивно-репродуктивный)	Неосознанное воспроизв-е теоретич. материала и демонстрация простейших умений при выполнении практических заданий. Уч-ся отвечает только на вопросы репродуктивного плана.	3–4
Средний (репродуктивно-продуктивный)	Воспроизведение на уровне понимания. Оценивает правильность рассуждений, выделяет главное, делает выводы. Объясняет решения практических заданий на основе теоретических знаний.	5–6
Достаточный (продуктивный)	Применение знаний в знакомой ситуации. Применяет теоретические знания для решения практических заданий.	7–8
Высокий (продуктивный, творческий)	Применение знаний и умений в незнакомой ситуации. Выполняет исследовательские работы, создает новые алгоритмы решения задач.	9–10

 

16. Методыка навучання школьнікаў рашэнню трансцэндэнтных ураўненняў, няроўнасцей і іх сістэм

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции

В старших классах (10 кл, 8ч) уч-мся дается понятие о триг-ом ур-и, его корнях, изучаются простейшие ур-я и рассм приемы решения более сложных ур-й. При выводе формул для решения простейших триг уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a возможны след методические подходы.

Методы решения тригономерич ур-й:

1) уравнения, сводящиеся к квадратным, 2)Однородные уравнения(Первой степени, Второй степени), 3.Уравнения, решаемые с использованием ОДЗ (или АнтиОДЗ),4.Уравнения общего вида: уравнения, решаемые с использованием универсальной подстановки, уравнения, решаемые введением вспомогательного угла),

5.Уравнения, решаемые с использованием тригонометрических формул, 6)симметричные уравнения. 7) функциональный метод решения.

Показательные ур-я изучаются в 11 классе. На тему отводится 3 часа в общей школе и 5 часов в гимназии.

Опр: Вид ур-й, в кот неизвестные находятся в показателе степени, наз. показательными.

В различной метод лит-ре выделяются разные подходы изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств. методы:

1) решение простейших показательных ур-й (решение основано на свойствах степени). В учебной метод лит-ре Шилинца и Шлыкова «Показательные и логарифмич нер-ва и их систем» отдельно рассматривается этот тип ур-й.

2) Метод приведения обеих частей к одному основанию.

3) Метод разложения на множители.

4) Метод введения новых переменных – замена.

5) Решение однородных ур-й.

6) Метод логарифмирования.

7) Функциональный и оценочный метод 8) Показательные степенные ур-я.

Ур-я вида . При решении таких ур-й рассматриваются 5 случаев. 1) корни ур-я f(x)=1 явл. Корнями исходного ур-я, если они входят в ОДЗ ф-и g(x), фи(х). 2) Корни ур- я f(x)=–1 будут являться корнями исходного ур-я, если при этих значениях g(x), фи(х) – целые числа одинаковой четности.

3) корни ур-я f(x)=0 будут являться корнями исходного ур-я, если при этих значених g(x) >0, фи(х) >0. 4) Кор ни ур-я g(x) =фи(х) явл. Корнями исходного ур-я, если при этих значениях основание f(x) не=1 и f(x)>0. 5) Кор ни ур-я g(x) =фи(х) явл. Корнями исходного ур-я, если при этих значенияхf(x) не=–1 и f(x)<0,
g(x),фи(х) – целые числа.

9) показательные ур-я с параметром.

Показательные нер-ва, в которых неизвестная находится в показателе степени.

Методы решения такие же.

Опр: Ур-е, в котором неизвестные наход под знак логарифмом, наз логарифмическим.

Методы: 1) простейшие логарифмические ур-я. 2) метод потенцирования.

3) использование логарифмических формул. 4) метод замены неизвестного.
5) метод логарифмирования. 6) переход к одному основанию. 7) метод разложения на множители. 8) функциональный и оценочный методы.

Обобщенный метод интервалов заключается в следующем.

Алгоритм

1)дельта у(х), 2)дельта у / дельта х, 3)число, к которому стремится отношение дельта у / дельта х, когда дельта х стремится к нулю.

Нахождение производной в точке, наз дифференцированием.

Главы 2

Определения: пересекающиеся и параллельные прямые.

Теорема о единственности общей точки пересекающихся прямых.

Символика × ||. Задачи на материалы.

Направлен на формирование умений распознавать взаимное расположение точек и прямых по графическим моделям плоских и пространственных геометрических фигур, строить графические и символьные модели геом. конструкций, составленных из точек и прямых (под конструкцией понимается множество взаимосвязанных геометрических фигур).

Основные задачи: 10, 11, 19, 21, 22, 25.

Школьный курс планиметрии характеризуется линейно-концентрическим изложением материала, предполагающим как изложение конструкции, изуч. Геом. Фигур., так и изложение фактического материала.

Главы 2

Понятия: отрезок, ломаная, луч, расстояние между точками, окружность, круг, а также связанные с ними понятия (движение ломаной, простые и замкнутые ломаные, противоположные лучи, равные отрезки:). Основная цель изучения отрезка, ломаной, окружности, а также связанные с ними понятия.

1 блок: закрепления отрезков, ломаной и …(34-46)

2 блок: окружность, длина ломаной, расстояние между точками. (47-57)

22. Методыка азначэння і вывучэння многавугольнікаў у куре планіметрыі.

В уч. пособии В.В.Шлыкова Г9: «Многоугольником называется фигура, состоящая из точек простой замкнутой ломаной и точек ограниченной фигуры, для которой эта ломаная является границей».

Особенности методики изучения аксиом стереометрии и простейших выводов из них.

Введение аксиом стереометрии должно сопровождаться активным привлечением модели и изображения многогранника, предметов окружающей обстановки. Перед введением полезны задачи типа:

· На моделях многогр-в, предметах окружающей обстановки, изображениях многог-в укажите: а) линию пересеч основания пирамиды с ее бок гранью; б) какие-нибудь 3 точки основ-я пир-ы, не леж-е на одной прямой; в) какую-нибудь общую точку верхнего основания и правой бок грани параллелепипеда, линию перес-я указанных пл-й.

· Изобразите тетраэдр SABC, назовите: а) прямые, кот перес-ся с прямой SC; б) пл-ти, кот проходят ч/з вершину тетраэдра.

Аксиомы стереометрии:

А1. Ч/з любые три точки, не леж-е на одной прямой, проходит единственная пл-ть.

А2. Если 2 точки прямой лежат в пл-ти, то все точки прямой лежат в этой пл-ти.

А3. Если 2 пл-ти имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на кот лежат все общие точки этих пл-й.

Можно вводить по след схеме:

1)Иллюстрация аксиом на моделях; 2)Формулировка аксиом; 3)Схематический рисунок; 4)Символическая запись.

Знакомство с аксиомами стереометрии позволяет прейти к решению зад., кот явл подготовительными в построении сечений многогр-в. 2 опорные зад строить линию пересеч пл-й, строить точку перес прямой и пл-ти.

Напр, дан куб постр точку перес какой-нибудь прямой с какой-ниб пл-ю.

Уроки по реш таких зад несут особую логическую нагрузку. От учени-в требуется не только представить, изобразить, увидеть, но и обосновать, важно, чтобы они понимали, что на пл-ти изображения пространственных фигур могут перес-ся и зобр-я тех прямых и пл-й, кот не явл пересек-ся, поэтому чтобы избежать ошибок в своих рассуждения, проверить и скорректировать представления следует проверять очевидные факты с помощью логических рассуждений.

Обязательные ссылки на аксиомы приветствуются, используются символики, но в разумных пределах.

Следствия из аксиом:

Т1: ч/з прямую и не леж-ю на ней точку проходит единственная пл-ть.

Т2: ч/з 2 перес-ся прямые проходит единственная пл-ть.

Первые следствия из аксиом (2 теоремы выше) док-ся в 2 этапа: док-ся существование пл-ти конструктивным методом и док-во единственность и методом от противного. Конструктивный метод в дальнейшем будет часто исп-ся для реш зад и док-ва теоремы, поэтому все уч-ся должны уметь док-ть первые части теоремы.

Реше зад на построение сечений способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков школьников:

1 этап: построение пересечения прямой и пл-ти (2-х пл-й) У Шлыкова: а) для построения прямой, по кот перес-я некот 2-е пл-ти α и β (напр, секущая пл-ть и пл-ть грани многог-а), нужно построить 2-е их общие точки, тогда прямая, прожод-я ч/з эти точки, есть линия пересеч-я пл-й α и β.

б) для построения точки перес-я прямой L и пл-ти α нужно построить точку перес-я прямой L и прямой L_1, по кот перес-ся пл-ть α и любая пл-ть, содержащая прямую L.

2 этап: построение сечений многог-в. У Шлыкова дается опре-е секущей пл-ти и сечение пирамиды и призмы.

Секущей пл-ю пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) наз такая пл-ть, по обе стороны от кот есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).

2. Абагульненне паняцця ступені ў школьным курсе матэматыкі

Теоретический материал распределён по трём классам: 7, 8, 11 классы. Хотя в качестве пропедевтики понятия квадрат и куб числа вводятся раньше.

Последовательность изучения данного материала:

1. Степень с натуральным показателем – 7 кл

2. Степень с целым показателем – 8 кл

3. Степень с иррациональным и рациональным показателем – 11 кл

Методическая схема изучения степени с натуральным показателем. 7 кл

1.Вводится определение: «степенью числа а с натуральным показателем n, n >1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а, степенью числа а с показателем 1 называется само число а». Вводится обозначение для этого понятия аⁿ. Учителю следует иметь в виду, что ученики путают понятия «показатель степени» и «основание», поэтому следует специально уделить внимание. Одновременно даётся определение: «нахождение значения степени называется возведением в степень».

2. Далее рассматриваются действия над степенями – умножение и деление.

Для выведения правили умножения степеней сначала рассматривается пример:

a²·a³=(a·a)·(a·a·a)=a·a·a·a·a=a⁵, получаем a²·a³=a²⁺³=a⁵

Делается теоретическое обобщение a^m·aⁿ=a^m+n, в общем виде:

a^m·aⁿ=(a· ….·a)·(a· … ·a)=a·a·…·a=a^m