Гідравлічні втрати тиску при ламінарному русі в’язкопластичної рідини у концентричному кільцевому просторі

Знайдемо зв'язок між перепадом тиску і витратою , де - середня швидкість у кільцевому просторі з площею перерізу

.

При русі в`язкопластичної рідини у концентричному кільцевому просторі утворюється ядро, яке має форму пустотілого циліндра з площею поперечного перерізу , боковою поверхнею , і рухається зі швидкістю , (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 – Схема розподілення швидкостей і напружень при ламінарній течії ВПР у кільцевому каналі

 

Це ядро розділяє потік на два градієнтних шари. У першому шарі (I) похідна , а у другому шарі (II) .

При знаходженні профілю швидкостей необхідно розв’язувати систему рівнянь (2.63) – (2.66) для кожного шару окремо, оскільки реологічне рівняння для кожного шару своє.

Рівняння руху:

. (2.63)

Рівняння збереження маси:

. (2.64)

Рівняння стану:

. (2.65)

Реологічне рівняння стану:

. (2.66)

де .

Реологічне рівняння для першого шару:

. (2.67)

Реологічне рівняння для другого шару:

. (2.68)

Умова рівноваги сил, які діють на ядро записується таким чином:

,

. (2.69)

Граничні умови при відсутності ковзання:

. (2.70)

Оскільки ядро рухається з постійною швидкістю , то розподіл швидкостей у градієнтних шарах на межах з ядром такий:

при . (2.71)

Крім того, повинна виконуватися умова:

при . (2.72)

Рівняння (2.63) з врахуванням (2.64) буде мати вигляд

. (2.73)

Рівняння (2.64) показує, що при осесиметричному усталеному русі швидкість є тільки функція радіуса і таким чином з (2.73) виходить, що є функція радіуса . Тому права частина формули (2.73) залежить тільки від радіуса , а ліва частина – лише від , оскільки тиск є функцією . Звідси виходить, що права і ліва частина рівняння (2.73) повинні дорівнювати деякій постійній А. У рівнянні (2.73) опустимо член , тобто знайдемо значення , обумовлене силами тертя. Таким чином

і . (2.74)

Інтегруючи перше співвідношення (2.74) з врахуванням (2.75)

, (2.75)

одержимо:

, (2.76)

де , .

Підставляючи реологічні рівняння (2.67) і (2.68) у друге співвідношення (2.74) та інтегруючи для кожного градієнтного шару одержимо:

для першого шару ()

. (2.77)

для другого шару ()

. (2.78)

 

Невідомі постійні , а також розміри ядра і швидкість (всього 7 невідомих) визначають із системи рівнянь Воларовича-Гуткіна, при підстановці граничних умов (2.70),(2.71),(2.72) у рівняння (2.77) і (2.78) з врахуванням умови (2.69):

 

 

(2.79)

Невідомі із системи (2.79) в явному вигляді не знаходять із-за їх наявності в рівняннях як під знаком логарифма, так і у вигляді одночленів, тобто внаслідок трансцендентності системи. Тому вважаючи постійні у рівняннях (2.77) і (2.78), а також відомими, знаходять витрату в кільцевому просторі за формулою:

(2.80)

Де величина А згідно з рівняннями (2.74) і (2.76) дорівнює

. (2.81)

Систему рівнянь (2.79) і (2.80) можна звести до двох рівнянь. Інтегрування і виключення невідомих та із рівнянь (2.80) і (2.79) дає формулу:

(2.82)

де " " знаходять із рівняння Воларовича–Гуткіна:

(2.83)

Ці два рівняння (2.82) і (2.83) перетворюються у вигляд:

(2.84)

. (2.85)

де - відношення зовнішнього діаметра внутрішньої труби до внутрішнього діаметра зовнішньої труби ;

відношення подвоєної віддалі, яку відраховують від осі труби до зовнішньої межі ядра кільцевого потоку, до внутрішнього діаметра зовнішньої труби, причому:

;

- параметр Сен – Венана,

, (2.86)

де - площа кільцевого перерізу

,

. (2.87)

За рівнянням (2.84) з урахуванням залежності (2.85) можна побудувати графік: .

На рисунку 2.7 приведена лише одна усереднена крива 2 для діапазону d, який найчастіше трапляється у практиці.

Таким чином, за допомогою рівняння (2.87) можна знайти перепад тиску в кільцевому просторі за формулою:

. (2.88)

Попередньо за кривою 2 рисунок 2.7 знаходять коефіцієнт " ". Для цього визначають параметр Сен–Венана за відомою витратою , реологічними характеристиками та і геометричними даними .

Графічний метод розрахунку втрат тиску при ламінарному русі в`язкопластичних рідин у трубах і кільцевому просторі розроблений К.Х. Гродде. Цей метод зручний і його точність визначається похибкою знаходження величини за допомогою графіка (рисунок 2.7)

Гідравлічні втрати тиску в концентричному кільцевому просторі при ламінарному русі в’язкопластичної рідини наближено можна знайти за формулою, яка базується на принципі адитивності в’язкої і пластичної компонент тиску

Для в’язкопластичної рідини можна застосовувати таку формулу для визначення втрат тиску в кільцевому просторі при ламінарному режимі руху:

, (2.89)

де - внутрішній діаметр кільця;

- зовнішній діаметр кільця.