Логічне з'єднання зіркою і трикутником

Логіко-ймовірнісний метод дає змогу розрахувати ймовірність безвідмовної роботи практично для будь-якої логічної схеми з'єднань елементів. Слід тільки відзначити, що при цьому може бути отриманий дуже громіздкий вираз логічної функції працездатності, з якою не дуже зручно працювати. Основною перешкодою до зведення будь-якої логічної схеми до логічного послідовного і паралельного з'єднання є логічні з'єднання «зірка» і «трикутник» («дельта»). Через наявність таких з'єднань і доводиться користуватися логіко-ймовірнісним методом.

Розглянемо можливість еквівалентної заміни «зірки» на «трикугник» і навпаки. Завдяки такій заміні з'являється можливість приведення логічних схем до логічного послідовного і паралельного з'єднання. Розглянемо «зірку» і «трикутник», які показані на рис.3.5.

 

Рис.3.5. Логічне з'єднання «трикутник» і «зірка».

Позначимо елементи «трикутника» АВ, ВС, АС, а елементи «зірки» А, В, С, причому вершини «трикутника» і «зірки» V₁, V₂, V₃ залишаються без змін. Еквівалентність заміни означає, що ймовірність безвідмовної роботи системи з логічним з'єднанням «трикутник» є такою самою, як і системи з логічним з'єднанням «зірка». Розглянемо три випадки:

а) входом системи є вершина V₁, а виходом V₃ ;

б) входом системи є вершина V₂ а виходом V₃;

в) входом системи є вершина V₁, а виходом V₂.

Ймовірність безвідмовної роботи для випадку а) при з'єднанні «зіркою» визначимо як P_А(t)Р_С(t). Для з'єднання «трикутником» ймовірність безвідмовної роботи розраховується як P_AC(t)+P_AB(t)P_BC(t)-P_AC(t)P_AB(t)P_BC(t) (див.вираз (3.9).

Оскільки ймовірність безвідмовної роботи в обох випадках повинна бути однаковою, то запишемо

P_A(t)P_C(T)=P_AC(t)+P_AB(t)P_BC(t)-P_AB(t)P_BC(t)P_CA(t) (3.14)

Аналогічним чином запишемо рівняння і для випадку б) і в)

P_B(t) P_C(t)= P_BC(t)+ P_AB(t) P_AC(t)- P_AB(t)P_BC(t) P_CA(t) (3.15)

P_A(t) P_B(t)= P_AB(t)+ P_CA(t) P_BC(t)- P_AB(t) P_BC(t) P_CA(t) (3.16)

Введемо такі позначення:

P_BC(t)=x₁; P_AC(t)= x₂; P_AB(t)= x₃;

P_A(t)=a; P_B(t)=b; P_C(t)=c

Тоді рівняння (3.14)—(3.16) перепишемо так:

bc = Е₁ = х₁ + x₂ • x₃ -x₁ • x₂ • x₃;

ас = E₂ = x₂ + x₁ • x₃ -x₁ • x₂ • x₃; (3.17)

ab = E₃ = x₃ + x₂ • x₂ - x₁ • x₂ • x₃

В результаті перемноження одержимо

abc= (3.18)

Розділивши рівняння (3.18) по черзі на кожне з рівнянь, системи (3.17), запишемо формули еквівалентних перетворень у вигляді:

а=Е₄/Е₁, (3.19)

b=E₄/E₂, (3.20)

с=Е₄/Е₃. (3.21)

Приклад 3.3

Нехай ймовірності безвідмовної роботи елементів, з'єднаниз в «трикутник», становлять: х₁= 0,7; х.₂= 0,8; х₃ = 0,9. Визначита параметри надійності еквівалентної «зірки».

Розв'язування

Визначимо Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ відповідності з виразами (3.17) і (3.18)

Е₁= х₁ + х.₂х₃ - х₁х.₂х₃ = 0,7 + 0,8 • 0,9 + 0,7 • 0,8 • 0,9 = 0,916,

E₂ = х.₂+ х₁х₃- х₁х.₂х₃ = 0,8 + 0,7 • 0,9 + 0,7 • 0,8 • 0,9 = 0,926,

E₃= х₃ + х₁х₂- х₁х.₂х₃= 0,9 + 0,7 • 0,8 + 0,7 • 0,8 0,9 = 0,956.

Використовуючи вираз (3.19) — (3.21), знайдемо ймовірність безвідмовної роботи еквівалентної зірки.

a = Р_А(t) = Е₄/Е₁ =0,900497 / 0,916 = 0,983075,

b = P_B(t) = Е₄/Е₂ =0,900497 / 0,926 = 0,972458,

c = P_C (t) = E₄/E₃ =0,900497 / 0,956 = 0,941942.

Для здійснення зворотного переходу від «зірки» до «трикутника» знову ж таки слід скористатися системою рівнянь (3.17), в якій відомі величини a, b, c, a невідомі х₁, х₂, х₃. Це означає, що слід розв'язати систему рівнянь (3.17) відносно х₁, х₂, х₃. Як свідчать виконані дослідження, аналітичний вираз х₁, х₂, х₃ практично отримати неможливо. Тому таку систему рівнянь слід розв'язувати числовими ітераційними методами. Для цього визначимо х₁ з першого рівняння виразу (3.17), х₂ — з другого, а х₃ — з третього рівняння цієї системи

(3.22)

(3.23)

(3.24)

Нульове наближення х₂⁽⁰⁾ і х₃⁽⁰⁾ служить для визначення першого наближення х₁⁽¹⁾ у відповідності з (3.22), яке використовується разом з х₃⁽⁰⁾ для знаходження x₂⁽¹⁾ згідно з

виразом (3.23), а х₁⁽¹⁾ і х₂⁽¹⁾ дають змогу розрахувати x₃⁽¹⁾ за формулою (3.24). Ітераційний процес триває, поки х₁, х₂, х₃ не вийдуть на усталені значення.

Продемонструємо цей процес для попереднього прикладу (3.3), тільки при відомих

а = 0,983075; b = 0,972458; с = 0,94194, a потрібно визначити х₁, х₂, х₃. Результати розрахунків для торьох різних нульових наближень (х₂⁽⁰⁾ = х₃⁽⁰⁾ =0,6), (х₂⁽⁰⁾ = х₃⁽⁰⁾=0,1),

(х₂⁽⁰⁾ =0,8; х₃⁽⁰⁾ =0,9) наведені в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1

 

Ітерації 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Невідомі

x₁ — 0,8687 0,7147 0,6886 0,6957 0,6957 0.6979 0,6990 0,6995 0,6998 0,6999

x₂ 0,6 0,8454 0.8166 0,8074 0,8074 0,8017 0,8008 0,8004 0,8002 0,8001 0,8000

х₃ 0,6 0.8343 0,8943 0,9009 0,9009 0,90050,9003 0,9001 0,900) 0,9000 0,9000

х₁ — 0.9152 0,7493 0.6780 0,6823 0,6905 0.6953 0,6977 0,6989 0,6995 0,6997

х₂ 0.6 0,9185 0,8383 0,8160 0,8078 0,8038 0,8019 0,8009 0,8004 0.8002 0,8001

x₃ 0,6 0,7240 0,8817 0,9015 0,9020 0,90110.9006 0.90030,9001 0,9001 0,9000

х₁ — 0,700

х₂ 0,8 0.800

x₃ 0,9 0,8343

Як видно з табл. 3.1, нульові наближення х₂⁽⁰⁾ і х₃⁽⁰⁾ впливають на обсяг і час обчислень. Чим вони ближчі до істинних значень, потрібна менша кількість ітерацій.

У більшості випадків у складних логічних схемах елементи з'єднання «трикутника» і «зірки» поєднуються, тобто якщо є «трикутник», то можна виділити й «зірку». У зв'язку з тим, що еквівалентна заміна «трикутника» на «зірку» зведена до відомм аналітичних залежностей, рекомендується при розрахунку надійності системи проводити саме таку заміну.

 

Розділ 4. РОЗРАХУНОК НАДІЙНОСТІ

РЕЗЕРВОВАНИХ СИСТЕМ БЕЗ ВІДНОВЛЕННЯ