Логічне послідовне і паралельне з'єднання

У другому розділі в основному розглядалися теоретичні характеристики надійності окремих елементів, з яких формують системи. Тепер розглянемо розрахунок багатокомпонентних ситем — систем, елементи яких перебувають між собою в різноманітних логічних зв'язках. Одним з найбільш поширених таких логічних зв'язків нерезервованих систем є логічне послідовне з'єднання.

Логічне послідовне з'єднання — це таке з'єднання, коли відмова хоча б одного елемента системи призводить до відмови системи в цілому. У цьому випадку час безвідмовної роботи системи дорівнює мінімальному значенню часу наробки до відмови елементів, з яких складається система.

Логічна схема такого з'єднання показана на рис. 3.1.

 

рис.3.1.Логічна послідовна схема з¢єднання n елементів

Якщо позначити ймовірність безвідмовної роботи і-го елемента системи 0 < Р_і(t)< 1, то ймовірність P(t) безвідмовної роботи декількох логічно послідовно з'єднаних елементів згідно з теоремою множення дорівнює добутку ймовірностей безвідмовної роботи кожного елемента:

(3.1)

Очевидно, що чим більша кількість елементів, з'єднаних логічно послідовно, тим ймовірність безвідмовної роботи системи буде меншою. Наприклад, система з десяти послідовно з'єднаних однакових елементів, для яких P_j(t_j) = 0,99 має ймовірність безвідмовної роботи P_c(t_j) ==0,9, а для системи з двадцятьох таких елементів ймовірність безвідмовної роботи буде вже тільки 0,82.

Приклад 3.1.

Яку ймовірність безвідмовної роботи повинні мати елементи в певний момент часу, щоб ймовірність безвідмовної роботи системи, яка складається з шести таких компонентів, в той самий момент часу була не менше ніж 0,95.

Розв'язування

P_с(t_j)>0,95.

Оскільки Р_c (t_j) = P_j (t_j)⁶, то

P_j(t_j) Р_c (t_j)^1/6=0.95^1/6=0.9915

З урахуванням того, що

(3.2)

 

 

для ймовірності безвідмовної роботи при логічному послідовному з'єднанні отримаємо:

(3.3)

(3.4)

З виразу (3.4) напрошується такий висновок:

Інтенсивність відмов декількох логічно послідовно з'єднання елементів L(t) дорівнює сумі інтенсивностей відмов всіх елементів.

l₁(t)+l₂(t)+...+l_n(t)= (3.5) З виразу (3.5) випливає, що l-характеристика системи, яка складається з послідовно з'єднаних елементів, визначається як сума ординат l_і(t) характеристик всіх елементів.

Іншою логічною схемою з'єднань є логічно паралельне з'єднання.

Логічне паралельне з'єднання — це таке логічне з'єднай елементів, при якому відмова будь.якого елемента не призводить до відмови всієї системи; система вийде з ладу тільки після відмови всіх елементів. Середній час наробки до відмови системи Т_мс в цьому випадку дорівнює максимальному середньому часові наробки відмови Т_{i max} елементів системи.

Рис.3.2. Логічна паралельна схема з'єднання п елементів.

Ймовірність безвідмовної роботи при логічному паралельному з'єднанні будемо визначати виходячи з ймовірностей відмови одного елемента

Q_i(t)=1-P_i(t) (3.6) де Pi(t) — ймовірність безвідмов роботи одного елемента.

Тоді ймовірність відмов кількох логічно паралельно з'єднаих елементів Q(t} дорівнює добутку ймовірностей відмов кожнoгo елемента

Q(t)=Q₁(t)×Q₂(t)×...Q_n(t)= (3.7)

З урахуванням (3.6) і (3.7) запишемо ймовірність безвідмовної роботи системи

(3.8)

Схема логічного Паралельного з'єднання показана на рис.3.2.

Для n = 2 ймовірність безвідмовної роботи системи визначають як ймовірність того, що або перший, або другий елемент працездатний. Цій логічній функції згідно з (3.8) відповідає такий вираз:

P(t)=1-[1-P₁(t)][1-P₂(t)]= P₁(t)+ P₂(t)- P₁(t)P₂(t) (3.9)

Для n=3 ймовірність безвідмовної роботи системи знаходять як ймовірність того, що або перший, або другий, або третій елемент працездатний. Цій логічній функції відповідає такий вираз:

P(t)=1-[1-P₁(t)][1-P₂(t)][1-P₃(t)]= P₁(t)+ P₂(t)+ P₃(t)- P₁(t)P₂(t)-P₂(t)P₃(t)- P₁(t)P₃(t)-

-P₁(t)P₂(t) P₃(t) (3.10)

Аналогічним чином можна записати і для n = 4.

P(t)=l-[l-P₁(t)][l-P₂(t)][l-P₃(t)][l-P₃(t)]= P₁(t)+ P₂(t)+ P₃(t)+ P₄(t)- P₁(t)P₂(t)- P₂(t)P₃(t)-

- P₃(t)P₄(t)- P₁(t)P₃(t)- P₂(t)P₄(t)- P₁(t)P₄(t)+ P₁(t)P₂(t) P₃(t)+ P₁(t)P₂(t) P₄(t)+

+ P₁(t)P₃(t) P₄(t)+P₂(t)P₃(t) P₄(t)- P₁(t)P₂(t) P₃(t) P₄(t) (3.11)

1-й працездатний

2-й працездатний

3-й працездатний

 

Рис.3.3. Діаграма для трьох паралельно з'єднаних елементів.

З виразів (3.9)-(3.11) можна побачити закономірність, яка дає змогу записати P(t) для n алельно з'єднаних елементів.

Надійність роботи системи при логічному паралельному з'єднанні елементів наочно ілюструє діаграма (рис.3.3).