Методика составления диф. уравнений авт. рег. систем

Системы автоматического регулирования в большинстве случаев явля­ются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупно­стью' дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не мень­ше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы.

При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необ­ходимо прежде всего выявить физический закон, определяющий его поведе­ние. Таким законом может быть, например, закон сохранения вещества {объектат регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии {объекты регулирования температуры), закон равновесия моментов (объекты регулирования скорости или угла поворота), закон равновесия электродви­жущих сил (электрические цепи) и другие основные законы физики.

Математическое выражение соответствующего физического закона и яв­ляется исходным дифференциальным уравнением данного элемента автома­тической системы.

Например, для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может быть записан в следующем виде:

тде и — приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя, — вращающий момент двигателя, — тормозной момент внешних сил (момент нагрузки).

После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение.

Для приведенного выше примера необходимо установить, от каких величин зависят и какими выражениями определяются вращающий момент двигателя и тормозной момент на его валу. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной или он изменяется в функции какой-либо переменной (например, в функции угла поворота двигателя).

Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравнений, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно линеаризация допустима, если отсутствуют разрывные, неоднознач­ные или резко изгибающиеся характеристики и уравнения справедливы в течение всего интервала времени регулирования.

В результате линеаризации получается совокупность дифференциальных уравнений, описывающих движение рассматриваемой системы. Введя алгебраизированный оператор дифференцирования , эту совокупность можно представить в виде

(5.1)

где — обобщенные координаты системы, в том числе и регулируемая величина и ошибка — функции времени, представляющие собой задающие и возмущающие воздействия. В дальнейшем без потери общности рассуждений будем считать, что к системе приложены только два воздействия — задающее воздействие и возму­щающее воздействие Например, можно положить, что

Кроме того, в (5.1) введены некоторые полиномы от оператора

Совокупность (5.1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты. Обычно она решается либо относительно отклонения регули­руемой величины от заданного значения, т. е. ошибки либо относительно регулируемой величины

Первый случай встречается чаще, так как исследованпе изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение

(5.2)

Полином степени от оператора характеризует свободное движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характери­стическим полиномом и может быть представлен в виде

(5.3)

где в линеаризованной системе представляют собой постоянные

коэффициенты.

Полином той же степени

(5.4)

где — постоянные коэффициенты, определяют влияние задающего

воздействия на характер изменения ошибки . Под задающим воз­действием здесь понимается требуемый закон изменения регулируемой величины . Выражение не равно нулю только в случае программного регулирования и в следящих системах. В системах автоматиче­ской стабилизации . Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы что упрощает выражение (5.2).

Полином определяет влияние возмущающего воздействия

на характер изменения ошибки . В уравнении (5.2) учтено одно возму­щение , действующее на систему регулирования. В принципе таких воз­мущений может быть несколько. Однако вследствие линейности действует принцип суперпозиции и достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения; при наличии нескольких возмущений необходимо лишь просуммировать результат. Если для какого-либо возмущающего воздей­ствия полином , то говорят, что система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия.

Равным образом в системах программного регулирования и в следя­щих системах равенство означает, что система является инвариант­ной относительно задающего воздействия.

Из (5.2) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая состав­ляющая определяется наличием.задающего воздействия . Вторая состав­ляющая определяется наличием возмущающего воздействия (в общем слу­чае — возмущающих воздействий или начальных условий). В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко второй составляю­щей, т. е. определяется только наличием возмущающих воздействий.

При решении системы дифференциальных уравнений относительно регу­лируемой величины получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования.

Это уравнениеможет быть получено в результате подстановки выражения для ошибки в уравнение (5.2):

(5.5)

Степень этого полинома

Как уже говорилось выше, в системах автоматической стабилизации при можно при соответствующем выборе начала отсчета полу-

чить , что упрощает выражение (5.5).

При заданных функциях времени в правых частях дифференциальных уравнений (5.2) и (5.5) эти уравнения могут быть решены (проинтегрирова­ны) относительно искомых функций времени, т. е. может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени из (5.2) и движение

регулируемого объекта вместе с регулятором из (5.5).

Уравнения (5.1) могут быть также представлены в форме Коши, т. е. в виде совокупности уравнений первого порядка, где — порядок поли­нома :

Здесь , в отличие от (5.1), представляют собой так назы-

ваемые фазовые координаты системы, — задающие и воз-

мущающие воздействия, а коэффициенты и суть вещественные числа.

Если в (5.6) ввести алгебраизированный оператор и обозначить , то эта совокупность уравнений может быть разрешена относительно любой из фазовых координат .

 

 

8. Диф уравнения систем автоматического регулирования с нелинейностями В системах автоматического управления различают два вида нелинейностей: статические и динамические. Динамические нелинейности – это нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих звено, например, (y ′(t)) 2 = kx(t).

В наиболее распространенных случаях нелинейные свойства системы в основном определяются наличием в системе статических нелинейностей.

Автоматические системы с существенными нелинейностями обладают рядом принципиальных особенностей, которые не присущи линейным системам и не могут быть выявлены при исследовании линеаризованного уравнения системы. Главные особенности этих систем вытекают из их неподчиненияпринципу суперпозиции:

1. Колебания переходного процесса в нелинейных системах могут отличаться от входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте. Например, для нелинейного элемента со статической

характеристикой yнэ (x) =| x | при подаче на него входного сигнала x(t) = A sin ωt выходные колебания не являются гармоническими, они имеют совершенно другую форму и период вдвое меньший, чем период входных колебаний. Здесь частотные характеристики существенно зависят от амплитуды входного сигнала, т.е. M нэ (ω, A), φнэ (ω, A).

В нелинейных системах условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия: система устойчива при одних значениях воздействий и неустойчива при других его значениях. Здесь нельзя говорить однозначно, устойчива система или нет.

Для некоторых нелинейных систем, имеющих зону нечувствительности, наблюдается континиум состояний равновесия. Таким образом, в нелинейных системах говорят только об устойчивости конкретного состояния равновесия – устойчиво оно или нет. Весь строй мышления меняется, так как при

одних внешних воздействиях переходной процесс сходится, а при других расходится. В связи с этим для нелинейных систем применяют понятие "устойчивость в малом", "устойчивость в большом", "устойчивость в целом". В нелинейных системах могут существовать собственные особые движения, получившие название автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы при особых условиях. Режим автоколебаний принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В общем случае автоколебания в нелинейных системах нежелательны, а иногда и недопустимы.

Однако, следует отметить, что в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом.