Визначення лівих і правих моментних фокусних відношень

Розглянемо два випадки завантаження нерозрізної балки:

а) нерозрізна балка постійної жорсткості завантажена так, що зовнішні сили знаходяться правіше від прольотів, які досліджуються (рис. 2.8).

Рисунок 2.8

Відомо, що від навантаження в будь-якому одному прольоті нерозрізної балки виникає зусилля в інших прольотах. Запишемо рівняння трьох моментів для першої опори:

 

;

 

Оскільки , тоді .

 

Поділимо всі члени рівняння на :

.

Після цього, поділимо члени рівняння на величину і запишемо:

 

Þ , звідки .

 

Запишемо рівняння трьох моментів для опори 2:

 

;

 

Поділимо всі члени рівняння на , підставивши замість М₁ його значення, отримане вище:

;

;

;

, звідки .

Тобто, ми отримали залежність для визначення лівого моментного фокусного відношення для третього прольоту:

. (2.8)

Для будь-якого n -го прольоту можна записати:

. (2.9)

Залежність (2.9) є основною формулою для визначення лівих моментних фокусних відношень. Для того, щоб визначити необхідно знати і т. д.

Для прольоту (див. рис. 2.9) маємо: , так як .

 

Рисунок 2.9

 

Маємо висновок: якщо нерозрізна балка зліва починається шарнірною опорою, то ліве моментне фокусне відношення для першого прольоту дорівнює нескінченності ().

Розглянемо балку, яка зліва починається жорстким затисненням

(рис. 2.10) і матимемо:

.

 

 

Рисунок 2.10

Тобто: якщо нерозрізна балка зліва починається опорою у вигляді жорсткого затиснення, то ліве моментне фокусне відношення для першого прольоту дорівнює двом ().

 

б) нерозрізна балка постійної жорсткості завантажена так, що зовнішні сили знаходяться лівіше від прольотів, які досліджуються (рис. 2.11).

 

Рисунок 2.11

 

Запишемо рівняння трьох моментів для n+ 1 опори:

 

;

 

Оскільки , тоді .

 

Поділимо всі члени рівняння на :

.

Після цього, поділимо члени рівняння на величину і запишемо:

Þ , звідки .

Запишемо рівняння трьох моментів для опори n:

 

.

 

Поділимо всі члени рівняння на , підставивши замість М_{n+ 1}, його значення, отримане вище:

 

;

;

, звідки .

 

Тобто . (2.10)

Залежність (2.10) є основною формулою для визначення правих моментних фокусних відношень.

Аналогічно можна показати, що коли нерозрізна балка закінчується шарнірною опорою, то праве моментне фокусне відношення останнього прольоту дорівнює нескінченності ().

Якщо нерозрізна балка закінчується опорою у вигляді жорсткого затиснення, то праве моментне фокусне відношення для останнього прольоту дорівнює двом ().

Залежності (2.9) та (2.10) показують, що величини моментних фокусних відношень не залежать від характеру зовнішнього навантаження на нерозрізну балку, а залежать лише від розмірів її прольотів.

Розглянемо простий приклад. Для заданої нерозрізної балки побудувати епюру М (рис. 2.12а).

Задана балка три рази статично невизначувана. Якщо її розв`язувати методом сил (рівнянням трьох моментів), тоді необхідно розв`язувати систему з трьох рівнянь.

Оскільки, навантаження є лише на лівій консолі балки, скористуємося лише правими моментними фокусними відношеннями, які визначимо за формулою (2.10).

 

Рисунок 2.12

Праві моментні фокусні відношення підраховуємо в напрямку справа наліво:

;

;

.

За правими моментними фокусними відношеннями знаходимо всі опорні моменти:

кНм; , звідки кНм;

, звідки кНм;

, звідки кНм.

По отриманих значеннях будуємо епюру вигинаючих моментів (рис. 2.12б).

 

Опорні моменти завантаженого прольоту нерозрізної балки

 

Аналітичний розрахунок нерозрізної балки при статичному навантаженні в будь-якій формі розрахунку завжди зводиться до визначення її опорних моментів. Від навантажень на консолях опорні моменти легко знайти за правими або лівими моментними фокусними відношеннями. Розглянемо також можливість визначення опорних моментів від навантажень, прикладених в прольотах нерозрізної балки методом фокусів.

Розглянемо частину нерозрізної балки (рис. 2.13а), в якій завантажений n -ий прольот і знайдемо лівий та правий опорні моменти цього завантаженого прольоту.

Рисунок 2.13

В межах завантаженого прольоту (рис. 2.13б) необхідно знати фіктивні реакції та .

Запишемо рівняння трьох моментів для опори n- 1 та опори n:

; (2.11)

 

. (2.12)

Для прольоту n- 1 можна записати , а для прольоту n+ 1 маємо . Звідки знайдемо:

і .

Підставимо отримані величини в рівняння (2.111) і (2.12):

;

.

Розділимо кожний член цих рівнянь на величину та винесемо за дужки , тобто запишемо їх у такому вигляді:

;

 

.

Бачимо, що в квадратних дужках містяться вирази для визначення лівих та правих моментних фокусних відношень і (див. формули (2.9) та (2.10)).

Тоді система рівнянь може бути записана:

;

.

В отриманій системі рівнянь маємо невідомі опорні моменти завантаженого прольоту. Для практичного використання цих залежностей їх можна дещо змінити.

Вирази і називають перехресними відрізками й їх легко можна визначити для будь-яких типів навантажень. Значення перехресних відрізків є наведені також і в довідковій літературі.

Тоді система рівнянь прийме такий вигляд:

;

.

Розв’язуємо отриману систему рівнянь і одержуємо формули для визначення опорних моментів завантаженого прольоту нерозрізної балки.

Лівий опорний момент завантаженого прольоту буде:

. (2.13)

Правий опорний момент завантаженого прольоту буде:

. (2.14)