Два рази статично невизначуваної плоскої рами методом сил

Необхідно: побудувати епюри згинальних моментів М, поперечних Q та поздовжніх N сил від заданого навантаження, а також підібрати поперечні перерізи і перевірити раму на міцність.

 

а) б)

Рисунок 1.2 – а) Задана схема статично невизначуваної рами та

б) основна система.

 

1. Ступінь статичної невизначуваності . Тобто рама два рази статично невизначувана.

 

2. Система канонічних рівнянь буде мати вигляд:

 

 

3. Вибираємо основну систему методу сил, для чого відкидаємо „зайві” зв’язки у вигляді опорних реакцій опори (рис. 1.2б).

 

4. Будуємо вантажну епюру для вантажного стану основної системи. Від одиничної сили будуємо одиничну епюру від – .

 

а) б)

 

в) г)

Рисунок 1.3 – а) вантажний стан основної системи;

б) вантажна епюра ; в) одиничний стан №1

та г) одинична епюра .

а) б)

 

Рисунок 1.4 – а) одиничний стан №2 та б) одинична епюра .

5. Підраховуємо одиничні та вантажні коефіцієнти . При підрахунках використовуємо залежність (береться з завдання), тобто . В подальшому приймемо скорочення .

 

За формулою Сімпсона-Корноухова:

За формулою Верещагіна:

За формулою Сімпсона-Корноухова:

За формулою Верещагіна:

6. Виконуємо перевірку знайдених коефіцієнтів системи канонічних рівнянь.

 

а) построкову:

;

;

.

 

Рисунок 1.5 – Сумарна

одинична епюра

 

;

;

.

б) універсальну

.

в) постовпчикову

7. Підставляємо підраховані коефіцієнти в систему канонічних рівнянь і розв’язуємо відносно невідомих та . Отже, маємо:

 

.

 

Рисунок 1.6 – Одиничні виправлені епюри

 

 

8. Будуємо виправлені епюри, помножаючи ординати одиничних епюр на відповідні значення невідомих (епюру на , а епюру на ) – див. рис. 1.6, а також сумарну виправлену епюру (шляхом складання епюр та ) – див. рис. 1.7.

 

 

Рисунок 1.7 – Сумарна виправлена

Одинична епюра

 

 

9. Будуємо остаточну розрахункову

епюру згинаючих моментів

шляхом складання вантажної

з сумарною виправленою

епюрами . Див. рис. 1.8.

 

Рисунок 1.8 – Остаточна епюра

Згинаючих моментів

 

10. Виконуємо перевірку правильності побудови епюри

а) статичну шляхом вирізання вузлів С та D.

 

б) кінематичну

Невелика похибка з’являється в результаті заокруглень при обчисленні.

 

11. За остаточною епюрою моментів будуємо епюру поперечних сил , використовуючи формулу Журавського. А за епюрою поперечних сил будуємо епюру поздовжніх зусиль .

Слід зазначити, що будувати епюри , та можна приклавши до основної системи зовнішнє навантаження та отримані в результаті розв’язку системи канонічних рівнянь значень невідомих та . Остаточні епюри та показані на рис. 1.10.

Ділянка ЕС: кН;

Ділянка ВД: кН;

Ділянка СА: кН.

Ділянка СD: кН;

Ділянка DK: кН: .

Рисунок 1.9 – Балочні епюри для ділянок СК та ЕD.

Рисунок 1.10 – Остаточні епюри та .

 

12. Перевіряємо правильність побудови епюр та шляхом розглядання рівноваги вузлів.

Вузол С:

Вузол D:

13. Підбираємо поперечні перерізи рами у вигляді двотавра.

Стрижень ЕА (ригель): ;

Стрижень BK (ригель): ;

Стрижень CD (стійка): .

За сортаментом підбираємо двотаври:

Стрижень ЕА (ригель): двотавр №55 (, )

Стрижень BK (ригель): двотавр №45 (, )

Стрижень CD (стійка): двотавр №27 (, )

або з метою зменшення кількості типорозмірів два двотаври № 45 ().

Визначивши розміри, перевіряємо міцність стрижнів:

Стрижень ЕА (ригель):;

Стрижень BK (ригель): ;

Проте перенапруження складає 1,6 %.

Стрижень CD (стійка):

Оскільки умова міцності для стрижня CD не виконується, потрібно підібрати інший переріз. Приймаємо двотавр № 33 (, ). Виконаємо перевірку:

 

Отже, остаточно підібрані такі перерізи: стрижень BK (ригель):

двотавр № 45; стрижень CD (стійка): двотавр № 33;

стрижень ЕА (ригель): двотавр № 55.

Приклад розрахунку

Плоскої рами замкненого профілю методом сил

Необхідно: для заданої рами замкненого профілю побудувати епюри внутрішніх зусиль () від заданого навантаження. Перевірити раму на міцність. Прийняти жорсткості елементів рами постійними, тобто , а поперечний переріз – двотавр № 20,

 

Рисунок 1.11 – Задана схема рами замкненого профілю.

 

1. Ступінь статичної невизначуваності . Тобто рама три рази статично невизначувана. Знаходимо опорні реакції , використовуючи рівняння статики:

 

 

 

Перевірка знайдених реакцій:

 

Отже, реакції знайдено правильно.

 

2. Система канонічних рівнянь буде мати вигляд:

 

 

3. Вибираємо основну систему методу сил, для чого розрізаємо раму між опорами А і В. В даному перерізі виникають невідомі внутрішні зусилля , та (рис. 1.10).

 

Рисунок 1.12 – Основна схема рами замкненого профілю.

 

4. Будуємо вантажну епюру для вантажного стану основної системи. Від одиничних сил будуємо одиничну епюру від – , від – .

Рисунок 1.13 – а) вантажний стан основної системи;

б) вантажна епюра.

Рисунок 1.14 – а) одиничний стан №1 та б) одинична епюра .

Рисунок 1.15 – а) одиничний стан №2 та б) одинична епюра .

Рисунок 1.16 – а) одиничний стан №3 та б) одинична епюра .

 

5. Підраховуємо одиничні та вантажні коефіцієнти . Враховуємо, що , , .

 

 

 

 

 

 

6. Перевіряють правильність підрахованих коефіцієнтів системи канонічних рівнянь.

Рисунок 1.17 – Сумарна одинична епюра

Універсальна перевірка:

.

Постовпчикова перевірка:

7. Підставляємо підраховані коефіцієнти в систему канонічних рівнянь і розв’язуємо відносно невідомих , та . Отже, маємо:

 

.

 

8. Будуємо сумарну виправлену епюру .

Рисунок 1.18 – Сумарна виправлена епюра.

 

9. Будуємо остаточну розрахункову епюру згинаючих моментів шляхом складання вантажної епюри з сумарною виправленою .

Рисунок 1.17 – а) остаточна епюра згинаючих моментів б) остаточна епюра поперечних сил та балочні епюри (сірим кольором) в) остаточна епюра поздовжніх сил.

10. Виконуємо статичну перевірку правильності побудови епюри шляхом вирізаннявузлів B та D.

Вузол В:

Вузол D:

11. За остаточною епюрою моментів будуємо епюру поперечних сил , використовуючи формулу Журавського (1.14). А за епюрою поперечних сил будуємо епюру поздовжніх зусиль .

Остаточні епюри та показані на рис. 2.15, б, в.

 

Ділянка СD: кН;

кН;

Ділянка ЕС: кН;

Ділянка AE: кН;

Ділянка AB: кН;

Ділянка BL: кН;

Ділянка LK: кН;

Ділянка KD: кН.

 

12. Будуємо епюру шляхом розглядання рівноваги вузлів на епюрі

.

13. Перевіряємо раму на міцність.

В поперечному перерізі згідно завдання запроектований двотавр № 20, який за сортаментом має наступні характеристики:

, .

При перевірці використаємо найбільший згинаючий момент, що діє в перерізі рами (точка В): , а також значення поздовжньої сили в цій точці .

Отже, умова міцності виконується.