Критерии точности положения определяемого пункта.

Согласно инструкции по межеванию земель различают следующие критерии:

1. ср. кв. ошибка взаимного положения пунктов ОМС.

2. ср. кв. ошибка положения определяемого пункта относительно исходного. В данном случае под определяемым понимается межевой знак,а исходным считается, например пункт ОМС.

 

Выведем критерий точности положения определяемых пунктов.

Пусть даны два пункта 1 и 2. Корреляционная матрица корд. этих пунктов равна:

Q_х1х1 Q_х2у1 Q_х1х2 Q_х1у2

К = σ² Q_у1х1 Q_у1у1 Q_у1х1 Q_у1у2

Q_х2х2 Q_х2у1 Q_х2х2 Q_х2у2

Q_у2х1 Q_у2у1 Q_у2х2 Q_у2у2

 

Корреляционная матрица определяет положение пунктов 1 и 2, относительно исходных, поэтому критериями положения пунктов будут стандарты этих пунктов: σ²₁ σ² (Q_х1х1 + Q_у1у1), σ²₁ σ² (Q_х2х2 + Q_у2у2)

Взаимное положение пунктов можно представить след. векторами: ∆х = х2 – х1, ∆у = у2 – у2; или

 

А = ∆ =

х =

 

∆ - вектор взаимного положения пунктов.

Найдем кореляц. матрицу этого вектора

К∆ = АКА^т, найдем произведение АК:

АК = ·К = σ² *

 

 

∆КА^т = ∆К =

 

= σ² *

В этих выражениях Q_х1х2 = Q_х2х1 = 0, Q_у2у1 = Q_у1у2 = 0

Выведенная матрица взаимного положения пунктов. Но она не удобная, для простоты взаимное положение выражают одним числом, для этого можно найти сумму диагональных элементов этой матрицы, для простоты можно принять недиагональные = 0 и обратить обратно весовые коэффициенты выражающие корреляцию между величинами. Тогда в упрощенном выражении:

 

К∆ = АКА^т = σ² *

 

Q_х1х1 – это обратный вес положения точки 1 по оси х; Q_х2х2 – это обратный вес положения точки 2 по оси х; Q_у1у1 – это обр. вес положения точки 1 по оси у; Q_у2у2 – обр. вес положение точки 2 по оси у.

Однако, в инструкции взаимное положение точек дано одним числом. Здесь сумма диагональных элементов выражается одним числом и тогда можно записать, что σ_∆ = σ²(Q_х1х1+Q_ч2ч2+Q_y1y1+Q_y2y2), где σ_∆ - стандарт взаимного положения

 

 

, где σ₁ σ₂ – стандарты положения пунктов.

 

σ_∆ = σ²₁ + σ²₂

Если же σ₁ = σ₂ = σ_t, тогда σ²_∆ = 2σ²_t

Квадрат стандарта взаимного положения = двум квадратам стандарта положения точки. Исходя из этой матрицы можно вывести несколько критерий взаимного положения этих пунктов:

1. σ_∆ = σ_t*√2

2. В качестве взаимного расположения точек может быть определено и расстояние

S =, тогда критерием точности взаимного расположения может рассматриваться стандарт расстояния S. σ²_s = cos²α σ²_x1 + cos²α σ²_x2 + sin²α σ²_y1 + sin²α σ²_y2

Приближенно будем считать, что σ²_t = σ²_х + σ²_у, σ_х = σ_у = σ_t/√2, тогда запишем σ²_s = (σ_t/√2)²+ (σ_t/√2)² = σ²_t

Тогда вторым критерием взаимного положения будет: σ_∆ = σ_s = σ_t.

_{В практических случаях, в том числе и в инструкциях критермй должен быть указан.}

 

Из теории математической обработки геодезических измерений известно, что точность положения определяемых пунктов геодезической сети определяется корреляционной матрицей – K.

K = σ * N , (31)

Где N обратная матрица нормальных уравнений геодезической сети при уравнивании ее коррелатным способом; σ- стандарт измерения, вес которого принят равным единице.

Известно, что

N = A^т *PA, (32)

Где A – матрица уравнений поправок,

P – матрица весов измерений, обычно диагональная.

Строки матрицы A состоят из коэффициентов уравнений поправок выполненных измерений. Если выполняются лишь линейно-угловые измерения, то составляются уравнения поправок направлений

δ_н = - δz + aδx - bδy - aδx + bδy + _н (33)

и сторон

υ_s = - cos δx - sin αδy + cos αδx + sin αδy + _s (34) между определяемыми пунктами 1 и 2, где δx , δy , δx ,δy - поправки в приближенные значения координат определяемых пунктов, υ_ℓ, υ_s – поправки в направлении и стороны, δ_z – поправка в приближенные значения ориентирующего угла, ℓ_н, ℓ_s – свободные члены уравнения поправок.

На этапе проектирования свободные члены значения не имеют, необходимо знать лишь коэффициенты.

a =

b = (35) и соответственно значения и S с точностью до двух значащих цифр. Они могут быть сняты непосредственно графически с проекта сети или вычислены по координатам точек сети, также сняты с точностью до нескольких метров с проекта.

На этапе проектирования необходимо также задаваться и весовой матрицей ρ или весами проектируемых измерений.

При этом вес измеренного направления ρ_н можно принять равным единице, а веса измерения сторон ρ_s при равноточном измерении установить из соотношения

(36)

где σ_s – стандарта измерения сторон.

Тогда

ρ_s = (37)

В результате проектного расчета необходимо определить σ и σ_s. Эти значения будут зависить от величины ρ_s, которая будет принятой при составлении весовой матрицы ρ.

Полученную в результате обращения матрицу N обозначим через Q и запишем в виде

Q = (38)

Где t – удельное число определенных пунктов. Коэффициент Q называют весомыми. При этом различают диагональные Q и недиагональные весовые коэффициенты.

Точность положения определяемого пункта i определяется дисперсией общего положения

σ = σ² (Q + Q ) (39)

На этапе проектирования из значений Q + Q вычисленных для каждого определяемого пункта находят максимальное Q . Затем руководствуясь инструкцией по межеванию земель или более высокими требованиями по точности положения пунктов опорной межевой сети назначается стандарт положения пунктов геодезической опоры σ_омс. Тогда на основании (39) можно записать

= Q (40)

и

(41)

После того, как найден стандарт измерения направлений из соотношения (37) вычисляется стандарт измерения сторон.

(42)

 

§4. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.

 

Вычисление матрицы весовых коэффициентов (38) можно осуществлять различными способами. Но наиболее распространенными являются способ Гаусса и способ модифицированных Жордановых исключений.

Рассмотрим вначале способ Гаусса.

Введем следующие обозначения матрицы N.

N = (43)

Поскольку QN = E, (44)

где E – единичная матрица то, очевидно, что для поиска первой строки коэффициентов матрицы Q необходимо решить систему уравнений:

(45)

Для поиска второй строки коэффициентов матрицы Q решается точно такая же система уравнений, но с вектором свободных членов (0 1 0 … 0) и т.д., последняя строка коэффициентов находится по вектору свободных членов (0 0 0 … 1).

Решение системы (45) осуществляется по схеме Гаусса, улучшаемой в теории математической обработки геодезических измерений.

В способе модифицированных жордановых измерений практически реализуется также схема Гаусса. Но благодаря компактности и прочности вычислений этот способ выделяется как вполне самостоятельный. Благодаря простоте вычислений его называют еще симплексными. Слово симплекс происходит от латинского simpe – просто.

Если квадратную неособенную с положительным определителем матрицу обозначить следующим образом:

(46)

то цикл или шаг модифицированных жордановых исключений записываются так.

Вначале выбирается один из элементов матрицы (46). Обычно при обращении матрицы выбирать диагональный элемент. И вначале берется первый диагональный элемент.

Такой элемент называется разрешающим. Над ним выполняется шаг модифицированных жордановых исключений по следующим правилам.

Разрешающий элемент заменяется обратной величиной.

Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент.

Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знаки.

Прочие элементы вычисляются по формуле:

b_ij = Q_ij -

Второй шаг жордановых исключений выполняется со вторым диагональным элементом уже преобразованный на первом шаге матрицы.

Обращение будет завершено, когда будут перебраны все диагональные элементы в качестве разрешающих.

Контролем обращения является равенство (44).