Перенос, растяжение, поворот вокруг точки плоскостей

Перенос Точка (x, y) переносится в точку(x”, y”) путем перемещения на вектор (tx, ty), т. е. x” =1 *x+ 0 *y+tx; y ”=0 *x +1 *y+ty. Этому преобразованию

соответствует матрица

Растяжение. При таком преобразовании координата x уменьшается на cx, а y*cy. x”=cx*x +0 *y +0; y”= 0* x+cy*y +0

Матрица имеет вид: обычно cx, cy положительны, но они могут быть и отрицательными. Например, если cx =-1, cy =1, то имеем симметрию относительно cy.

Вращение относительно начало координат. Будем поворачивать на угол против часовой стрелки (положительное направление):

Матрица:

Представление точек, прямых, плоскостей в пространстве. Стандартные задачи.

Над трехмерными векторами можно производить две операции: умножать на число - К * (X,Y,Z) = (K*X,K*Y,K*Z); складывать - сумма векторов Р1=(X1,Y1,Z1) и Р2=(X2,Y2,Z2) есть вектор (X1+Х2, Y1+Y2, Z1+Z2), то есть при сложении векторов соответствующие координаты складываются.

Определение прямой. Теперь мы определили прямую, проходящую через две точки (X1,Y1,Z1), (X2,Y2,Z2), что можно сделать, задав уравнение этой прямой: (X-X1)*(Y2-Y1)=(Y-Y1)*(X2-X1), (Y-Y1)*(Z2-Z1)=(Z-Z1)*(Y2-Y1), (Z-Z1)*(X2-X1)=(X-X1)*(Z2-Z1). Хотя здесь приведены три уравнения, их решение определяет прямую, а не единственную точку, что связано с тем, что эти уравнения линейно зависимы так, что, задавая одну из координат, можно однозначно получить значение двух других. Так же, как и в случае двух измерений, это не единственный способ задавать прямую.

Существует еще параметрический способ задания прямой, проходящей через точки Р1 иР2: P(M) = (1-M)*P1 + M*P2, или I P(M)=((1-M)*X1+M*X2, (1-M)*Y1+M*Y2, (1-M)*Z1+M*Z2), где M - действительный параметр. Параметрический вид прямой в точности совпадает с двумерным случаем. Если M = 1 дает точку Р2, а М = 0 - точку Р1. Мы можем записать параметрическое уравнение кривой в таком виде: P(M) = Р1 + M*(P2 - P1). вектор Р1 называется базовым вектором, а вектор (Р2-Р1) - направляющим вектором. Определим норму вектора (которую так же называют модулем вектора, его длиной), обозначаемую ABS(P), как расстояние от точки, определяемой вектором, до начала координат: ABS(D) = SQRT(X^2 + Y^2 + Z^2). Если вектор D=(X,Y,Z) составляет с осью X, Y, Z углы ТЕТ_x, TET_y и TET_z, то X:Y:Z = COS(TETX): COS(TETY): COS(TETZ) -/ Координаты единичного вектора назыв. направляющими косинусами.

Определение плоскости. Точки плоскости задаются уравнением: N*X=K, где К - скаляр, а N - вектор, перпендикулярный плоскости Если А принадлежит плоскости, то N*A = К, заменяя К в предыдущем уравнении получим: N*X=N*A, N*(X-A)=0. откуда N*(X-A)=0 откуда (X-A) принадлежит пл-ти откуда N-норм-ый вектор к плоскости.

Функциональное представление поверхности. Мы видели, что в двумерном случае кривые можно задавать с помощью функциональных зависимостей. Этот метод можно использовать для исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Простейшей формой поверхности является плоскость с нормалью N = (N1, N2, N3), которая, как мы знаем, задается уравнением: N*X-K = N1*X+N2*Y+N3*Z-K = 0, которое можно переписать в функциональной форме:

F(X)=F(X,Y,Z)=N1*X+N1*Y+N*Z-K=N*X-K, где X=(X,Y,Z).

Это простое выражение позволяет нам разбить пространство на три множества: множество точек Х таких, что F(X) < 0 - отрицательная область, множество точек X, лежащих на плоскости, таких, что F(X) = 0, и множество точек Х таких, что F(X)>0 - положительная область. Если поверхность разбивает пространство на две связные области (область называется связной, если любые две точки области можно соединить кривой, целиком лежащей в этой области), то эти области можно отождествлять с областью положительных и отрицательных значений. Следует иметь в виду, что многие поверхности делят пространство на большое число компонентов. Примером такой поверхности является поверхность, задаваемая уравнением:

F(X,Y,Z) = COS(Y) - SIN(Х^2+Z^2). Однако имеется ряд поверхностей, удовлетворяющих требуемому условию. Примером такой поверхности является сфера: F(X)=R^2-ABS(X)^2. Или по компонентам: F(X,Y,Z)=R^2-X^2-Y^2-Z^2.

Если F(X) = 0, то Х лежит на сфере, если F(X)<0, то точка лежит вне сферы, если F(X)>0, то точка лежит внутри сферы. Функциональное представление поверхностей весьма полезно при нахождении точек пересечения поверхностей. Однако это представление особенно ценно при выяснении того, лежат ли две точки Р и Q по одну сторону от поверхности. Для этого достаточно сравнить знаки F(P) и F(Q): если они одного знака, то точки Р и Q лежат по одну сторону от поверхности, а если разного - то по разные, что означает, что любая кривая, соединяющая Р и Q, пересекает поверхность хотя бы в одной точке. Ниже приведен пример, иллюстрирующий вышесказанное.

 

Алгебра высказываний. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы. Теорема существования нормальной формы. Приложение алгебры высказываний к логико-математической практике.

Алгебра выск. – это раздел матем., изуч выск-я, рассм. со стороны их логич. зн-й (ист-ти или лож-ти) и логич. операций над ними. Алгебра выск. возникла в середине ХIХ века в трудах англ. матем. Буля.

Высказывание – повествовательное предложение, кот. либо ист., либо ложно. Существует 5 видов логических операций.

Отрицание выск. А – выск. А, кот ист. ттт, когда А – ложно.

Конъюнкция (дизъюнкция) выск. А и В – новое выск. А В (А В), ист. ттт, когда А и В – ист (ложны).

Импликация – выск. А В, ложное ттт, когда А – ист., В – ложно.

Эквиваленция – выск. А В, ист. ттт, когда оба приним. одинак. зн-я. Переменные вместо которых можно подставить высказывания называют позициональными или переменными высказываниями.

1. Всякая пропозициональная перем. есть ф-ла.

2. Если А и В – ф-лы, то А, А В, А В, А В, А В – ф-лы.

3. Других ф-л нет. классификация формул алгеб.выс-й:1. Ф-ла F(x₁ …x_n) наз-ся выполнимой (опровержимой) если существует ее истинная (ложная) конкретизация. 2. Ф-ла F(x₁ …x_n) наз-ся тавтологией или тождественно истинной (ложной) тавтологией, если любая ее конкретизация истина (ложна). Две формулы F(x₁ …x_n) и G(x₁ …x_n) будем наз-ть равносильными, если для любых конкретных высказываний А₁ …А_n их конкретизации совпадают, т.е. .

Т1. Две формулы F и H равносильны ó формула F H является тавтологией. Одной из равносильных формул является нормальная форма. Конъюнктивным одночленом от перем. x₁ …x_n наз-ся конъюнкция этих перем. и их отрицаний. Дизъюнктивным одн-ном от перем. x₁ …x_n наз-ся дизъ. этих перем. и их отрицаний. ДНФ от перем. x₁ …x_n наз-ся дизъ. конъюнктивных одн-в от этих перем. КНФ от перем. x₁ …x_n наз-ся конъ. дизъюнктивных одн-в от этих перем. Очевидно, что у данной формулы F существует неограниченно много как дизъюнктивных, так и конъюнктивных нормальных форм. Одни из них более громоздкие и сложные, другие – более простые. Среди множества дизъюнктивных (конъюнктивных) нормальных форм, которыми обладает данная формула, существует уникальная форма – единственная для данной формулы.

Конъюнктивный (дизъюнктивный) одночлен наз-ся совершенным, если в нем каждая переменная встречается только один раз, с отрицанием или без.

ДНФ наз-ся с овершенной, если все конъюнктивные одночлены совершенны.

КНФ наз-ся совершенной, если все дизъюнктивные одночлены совершенны.

Т1. Для любой нетождественно ист. ф-лы алгебры выск. сущ-ет единств. равносильная СКНФ.

Т2. Для любой нетождественно лож. ф-лы алгебры выск. сущ-ет единств. равносильная СДНФ.

Приложение. А В – прямая т-ма. В"А – обратная. А В – противопол. В А – противопол. к обратной. Способы док-ва т-м:

1. От прот. А В" А.

2. Метод приведения к абсурду. А В (С С).

3. Правило силлогизма. Надо найти такое С, чтобы (А С) (С В) – выполн.