Эволюция факторов производства

Оставшиеся предположения модели задают динамику труда, знаний и капитала. Модель формулируется в непрерывном времени; это означает, что переменные модели определены для любого момента времени[8]. Начальные значения капитала, труда и знаний заданы. Знания и труд растут с постоянными темпами:

(1.8)

(1.9)

где и задаются экзогенно, а точка над переменной используется для обозначения производной по времени (другими словами, является краткой формой записи для ).

Термин темп роста используется для обозначения скорости относительного приращения. Другими словами, фраза темп роста заменяет выражение *. Поэтому, из уравнения (1.8) следует, что темп роста постоянен и равен , а из уравнения (1.9) – что темп роста постоянен и равен .

Одно из ключевых свойств темпа роста состоит в том, что темп роста любой переменной равен скорости изменения натурального логарифма этой переменной. Значит, равняется . Чтобы убедиться в этом, заметим, что является функцией от , а , в свою очередь, зависит от времени. Поэтому можно использовать правило дифференцирования сложной функции:

(1.10)

Применяя данный результат к уравнениям (1.8) и (1.9), получаем, что скорости изменения логарифмов и постоянны и равны, соответственно, и . Таким образом,

, (1.11)

, (1.12)

где и – значения переменных и в момент времени 0. Потенцируя обе части данных выражений, получим*

, (1.13)

. (1.14)

Следовательно, мы фактически предположили, что и экспоненциально возрастают во времени[9].

Выпуск делится между потреблением и инвестициями. Инвестируемая доля выпуска обозначается через и является экзогенно заданной постоянной величиной. Единица выпуска, инвестированная в производство, увеличивает запас капитала на единицу. При этом происходит амортизация накопленного капитала с темпом . Таким образом,

(1.15)

Никаких специальных ограничений не накладывается на значения , , и по отдельности, тем не менее, предполагается, что их сумма положительна. Эта гипотеза завершает описание модели.

Так как это первая модель (из многих!), с которой мы столкнулись, необходимы некоторые комментарии о моделировании в целом. Модель Солоу во многих отношениях очень сильно упрощена. Вот лишь несколько примеров упрощения: рассматривается только одно благо, нет правительства, игнорируются колебания безработицы, производство описывается агрегированной производственной функцией лишь с тремя факторами производства, постоянны нормы сбережений и амортизации, постоянны темпы роста населения и технического прогресса. Вполне естественно думать о таких особенностях модели как о её недостатках: модель упускает из виду многие черты реального мира, причем некоторые из этих черт, без сомнения, важны для роста. Однако модель не строится для того, чтобы быть реалистичной. Более того, у нас уже есть одна совершенно реалистичная модель мира – сам мир. Проблема с этой «моделью» состоит в том, что она слишком сложна для понимания. Модель строится для того, чтобы понять некоторые свойства реального мира. Если упрощение модели приводит к неверному ответу на вопрос, для анализа которого данная модель была построена, тогда недостаточный реализм модели может рассматриваться как её недостаток. (Но даже и такое упрощение, ясно демонстрируя последствия определенных черт реального мира, может быть полезным ориентиром). Если, однако, упрощение не приводит к неверному ответу на вопрос, для анализа которого модель была построена, то нехватка реализма в модели является её преимуществом: выделяя более отчетливо интересующий нас эффект, она делает его более легким для понимания.

Динамика модели

Теперь мы хотим определить поведение только что описанной экономики. Эволюция двух из трех факторов производства, – труда и знаний, – задается экзогенно. Следовательно, чтобы определить поведение экономики, мы должны проанализировать поведение третьего фактора, капитала.

Динамика

Ввиду того, что экономика со временем растет, оказывается значительно проще сосредоточиться на анализе динамики капиталовооруженности эффективного труда , чем на динамике запаса капитала . Так как , мы можем применить правило дифференцирования дроби:

(1.16)

Выражение - это просто . Согласно (1.8) и (1.9), и равны, соответственно, и . Величину находим из (1.15). Подставив эти выражения в (1.16), получим:

(1.17)

Учитывая, что равно , имеем:

(1.18)

Выражение (1.18) является основным уравнением динамики модели Солоу. Оно показывает, что изменение капиталовооруженности эффективного труда во времени определяется двумя слагаемыми. Первое слагаемое – это фактические инвестиции на единицу эффективного труда. Второе слагаемое – это восстанавливающие инвестиции, т.е. объем инвестиций, который должен быть произведен, чтобы удержать на существующем уровне. Имеются две причины, по которым необходим некоторый объем инвестиций для удержания на постоянном уровне. Во-первых, существующий капитал амортизируется; поэтому для поддержания на заданном уровне его объема, капитал должен обновляться. Это объясняет роль слагаемого в выражении (1.18). Во-вторых, количество эффективного труда растет. Поэтому инвестиции, достаточные для поддержания на заданном уровне запаса капитала недостаточны для того, чтобы поддерживать на заданном уровне капиталовооруженность эффективного труда . Эффективный труд растет с темпом , следовательно, чтобы оставить неизменным , запас капитала также должен расти с темпом .[10] Это объясняет роль слагаемого в выражении (1.18).

Если фактические инвестиции на единицу эффективного труда превышают восстанавливающие инвестиции, то растет. Если фактические инвестиции на единицу эффективного труда меньше восстанавливающих инвестиций, то падает. А когда они равны между собой, переменная постоянна во времени.

 

Рисунок 1.2 Фактические и восстанавливающие инвестиции

На рисунке 1.2 изображена зависимость рассмотренных двух слагаемых, задающих , как функций от . Восстанавливающие инвестиции пропорциональны . Фактические инвестиции – это константа, умноженная на выпуск на единицу эффективного труда.

Так как , фактические инвестиции равны восстанавливающим в точке . Из условий Инады следует, что при производная велика, т.е., кривая имеет более крутой наклон, чем прямая . Поэтому при маленьких значениях фактические инвестиции превышают восстанавливающие. Из условия Инады также следует, что стремится к нулю с увеличением . Значит, в некоторой точке наклон кривой фактических инвестиций оказывается меньше наклона прямой восстанавливающих инвестиций. Следовательно, эти линии должны где-то пересечься. Наконец, условие гарантирует, что для эти линии пересекаются только один раз. Обозначим через - значение в той самой точке, где фактические инвестиции равны восстанавливающим.

 

Рисунок 1.3 Фазовая диаграмма для в модели Солоу.

Рисунок 1.3 обобщает полученную информацию посредством фазовой диаграммы, на которой отражена зависимость от . Если в начальный момент времени меньше, чем , то фактические инвестиции больше восстанавливающих, положительна, и растет. Если больше , то отрицательна. Если равно , то . Следовательно, независимо от начального значения, стремится к .[11]