Предположения относительно производственной функции

Важнейшей гипотезой, касающейся производственной функции, является предположение о постоянстве отдачи от масштаба по двум аргументам: капиталу и эффективному труду. Оно, в частности, означает, что удвоение капитала и эффективного труда (например, удвоение и для заданного значения ) удваивает объем произведенных благ.

Более формально, увеличение объема использованных ресурсов в раз увеличивает выпуск во столько же раз:

для любого (1.2)

Предположение о постоянной отдаче от масштаба можно интерпретировать как комбинацию двух гипотез. Во-первых, экономика предполагается достаточно большой, так что все возможности для специализации уже использованы. В очень маленькой экономике, вероятно, существует достаточно возможностей для специализации, и удвоение капитала и труда увеличивает выпуск более чем в два раза. Однако модель Солоу предполагает, что экономика достаточно большая, и при удвоении труда и капитала, новые факторы производства используются тем же способом, что и уже существующие, поэтому выпуск удваивается.

Во-вторых, роль других факторов производства, нежели капитал, труд и знания, сравнительно низка. В частности, мы пренебрегаем землей и другими природными ресурсами. Если природные ресурсы важны, удвоение труда и капитала приведет к увеличению выпуска менее чем в два раза. В разделе 1.8 мы покажем, что ограниченность природных ресурсов, похоже, не является главным ограничением для роста. Следовательно, предположение о постоянной отдаче от масштаба по труду и капиталу является оправданным упрощением действительности.

Предположение постоянства отдачи от масштаба позволяет перейти к производственной функции в интенсивной форме. Полагая, что в выражении (1.2) , имеем

. (1.3)

Отношение - это капиталовооруженность эффективного труда, а отношение , равное , указывает выпуск на единицу эффективного труда. Обозначим , , и . Тогда выражение (1.3) можно переписать в следующем виде:

. (1.4)

Таким образом, мы можем записать выпуск на единицу эффективного труда как функцию от капиталовооруженности эффективного труда.

Новые переменные и не слишком интересны сами по себе. Они скорее составляют инструмент для анализа тех переменных, которые нас в действительности интересуют. Как мы увидим, самый простой способ анализа модели – это сконцентрироваться на динамике вместо того, чтобы напрямую анализировать поведение двух аргументов производственной функции, и . Мы можем, например, найти выпуск на одного работника, , переписав его как , или , и определив динамику и .

Чтобы интуитивно понять смысл выражения (1.4), представим себе экономику, разделенную на AL маленьких частей, с одной единицей эффективного труда и единиц капитала в каждой части. Так как производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба, каждая часть экономики производит долю от выпуска всей экономики. Следовательно, выпуск на единицу эффективного труда зависит только от капиталовооруженности эффективного труда, и не зависит от размеров экономики в целом. Как раз эта идея и выражена в математической форме в выражении (1.4).

Предполагается, что интенсивная форма производственной функции удовлетворяет следующим условиям: , , [6]. Поскольку равно , то предельный продукт капитала равен , а это совпадает с . Следовательно, предположение о том, что функция является положительной, а отрицательной, означает, что предельный продукт капитала положителен и убывает с ростом капиталовооруженности эффективного труда. Также предполагается, что функция удовлетворяет условиям Инады (Инада, 1964): , . Эти условия (более строгие, чем те, что требуются для получения основных результатов модели) означают, что предельный продукт капитала очень высок, если капиталовооруженность достаточно мала, и очень низок, если капиталовооруженность достаточно большая. Эти условия гарантируют, что экономические траектории не расходятся*. Пример производственной функции, удовлетворяющей неравенствам , и условиям Инады, представлен на рисунке 1.1.

 

Рисунок 1.1 Пример производственной функции

 

В качестве примера производственной функции часто используется функция Кобба-Дугласа,

, . (1.5)

Эту производственную функцию легко анализировать. Кроме того, она оказывается хорошим первым приближением для реальных производственных функций. Поэтому она очень полезна.

Легко проверить, что функция Кобба-Дугласа обладает постоянной отдачей от масштаба. Умножая факторы производства на , получаем:

(1.6)

Для того, чтобы получить производственную функцию в интенсивной форме, разделим оба фактора производства на . Имеем:

(1.7)

Из уравнения (1.7) следует, что . Непосредственно проверяется, что эта функция положительна, стремится к нулю, если стремится к бесконечности, и стремится к бесконечности, если стремится к нулю. Кроме того, вторая производная отрицательна[7].