Дифференциальный дроссель-эффект в критической точке

 

В критической точке (точка К) как следует из рис. 5.1 , а из рис. 5.2 – .

Поэтому из формулы (4.5)

 

. (6.1)

 

Таким образом, в критической точке для всех веществ дифференциальный дроссель-эффект (α _i) равен обратной величине углового коэффициента кривой АК в точке К на Р-Т диаграмме.

Как известно, в критической точке r _К = 0 и , поэтому

 

.

 

Эта неопределенность может быть раскрыта, но для этого должны быть известны зависимости r = r (T), и .

Для нахождения лучше всего воспользоваться формулой

 

,

 

в которой производная в точке К определяется из уравнения состояния реального газа (Ван-дер-Ваальса, Дюпре, Вукаловича-Новикова и др.)

 

Дифференциальный дроссель-эффект в однофазных областях. Точки инверсии

 

Для анализа изменения α _i в этих областях лучше всего воспользоваться первым уравнением (4.4):

 

. (4.4)

 

Частная производная определяется по формуле П1.11 (приложение П1):

 

,

 

откуда

 

. (7.1)

 

Рис. 7.1. Изотермы в P-V диаграмме реального газа

 

Для газов повышение температуры при постоянном объеме всегда вызывает рост давления, т.е. .

Таким образом, для определения характера изменения в формуле (7.1) величины при изменении температуры в условиях P = const, необходимо знать характер изменения величины изотермической упругости , которая всегда меньше нуля.

Как известно, частная производная – это угловой коэффициент кривой при заданной температуре Т (в Р-V координатах это тангенс угла наклона к оси V касательной в данной точке к кривой P = P (V)).

Как следует из рис. 7.1. при P = const вне пограничной кривой AKF слева и справа от изохоры V _КР = const, повышение температуры вызывает разное по знаку изменение .

Справа от прямой V _КР = const в точках пересечения с изотермами t ₄ = const, t ₅ = const и t ₆ = const (точки 4, 5 и 6 соответственно) угол наклона касательных к оси V возрастает по мере увеличения температуры.

Слева от прямой V _КР = const в точках пересечения изобары P = const с изотермами t ₁ = const, t ₂ = const и t ₃ = const (точки 1, 2 и 3 соответственно) угловой коэффициент изотермы в этих точках (крутизна изотерм) наоборот убывает с повышением температуры.

Таким образом, для любого значения P = const, не превышающего некоторое значение P_im > P _K (см. следующий параграф) должны существовать две изотермы (обозначенные и ), у которых в точках пересечения с изобарой P = const выполняется равенство:

 

.

 

Изотерма расположена слева от изохоры V _КР = const, а – справа.

Числитель формулы (4.4) при этом становится равным нулю и дифференциальный дроссель-эффект α _i в этих точках, нижней и верхней, также обращается в нуль.

Дальнейший переход от «верхней» точки к изотермам с более высокими температурами () приведет к тому, что будет выполняться неравенство

, то есть α _i поменяет знак на отрицательный.

Переход от «нижней» точки к изотермам с меньшими температурами () также приведет к выполнению неравенства , т.е. α _i также поменяет знак с положительного на отрицательный.

Состояние, при котором α _i меняет знак, называется точкой инверсии.

Таким образом, точки, которые выше обозначались как «нижняя» и «верхняя», являются нижней и верхней инверсионными точками при заданном значении Р. При другом значении Р существуют две другие точки инверсии и т.д.

Таким образом, множеству значений Р < P_im соответствует такое же множество пар точек инверсии.

 

Инверсионная кривая

 

Геометрическое место точек инверсии называется инверсионной кривой. Инверсионная кривая – это совокупность левой и правой инверсионных кривых. На левой инверсионной кривой лежат все нижние точки инверсии, а на правой – все верхние.

Построение инверсионной кривой в P-V координатах иллюстрируется рис. 8.1.

Как следует из рис. 8.1. инверсионная кривая огибает пограничную кривую. Внутри инверсионной кривой α _i > 0, т.е. дросселирование вызывает уменьшение температуры, а вне (α _i < 0) – увеличение температуры рабочего тела.

 

Рис. 8.1. Построение инверсионной кривой в Р-V координатах

 

Из рис. 8.1. так же следует, что при давлении ниже критического Р _К нижние точки инверсии соответствуют дросселированию жидкости, так как находятся левее нижней пограничной кривой вещества (х = 0). Верхние точки инверсии располагаются правее верхней пограничной кривой (х = 1) и поэтому соответствуют дросселированию газа.

Как известно, пар – это газообразное состояние вещества при температуре ниже критической. Критическая изотерма, как видно из рис. 8.1, располагается внутри инверсионной кривой, поэтому вся область перегретого пара находится внутри инверсионной кривой, где α _i > 0. Таким образом, при адиабатном дросселировании перегретый пар охлаждается.

Инверсионную кривую обычно представляют в Р-Т координатах (рис. 8.2). При начальном давлении дросселирования с любой начальной температурой t ₁, всегда α _i < 0, т.е. дросселирование сопровождается нагреванием газа. При любом начальном давлении Р ₁ с начальной температурой дросселирования дросселирование также всегда приводит к нагреванию газа (α _i < 0).

Рис. 8.2. Инверсионная кривая для азота

 

Для того, чтобы получить эффект охлаждения, необходимо так понизить начальную температуру t ₁, чтобы точка с координатами (Р ₁, t ₁) оказались внутри инверсионной кривой.

При дросселирование также приводит к нагреванию рабочего тела при любых значениях начального давления Р ₁. В этом случае, для того, чтобы получить эффект охлаждения, необходимо так повысить начальную температуру t ₁, чтобы точка с координатами (Р ₁, t ₁) оказалась внутри инверсионной кривой. Таким образом, дросселирование приводит к охлаждению рабочего тела (жидкости или пара) при всех сочетаниях термодинамических параметров состояния вещества перед дросселем (Р ₁, t ₁), соответствующих точкам внутри области, ограниченной сверху инверсионной кривой.

Для получения уравнения инверсионной кривой в явном виде необходимо знать уравнение состояния данного вещества и использовать его в формулах (4.4) или (4.5) при α _i = 0:

(8.1)

или

 

. (8.2)

 

Уравнения (8.1) и (8.2) называются уравнениями инверсионной кривой.

Если продифференцировать (8.1), полагая Р и V функциями температуры, то можно получить еще одно уравнение инверсионной кривой в общем виде:

 

. (8.3)

 

Подробный вывод этого уравнения в варианте автора данного пособия дается в приложении (П.2).

В точке максимума на инверсионной кривой (рис. 8.2) , поэтому для выполнения равенства (8.3) необходимо, чтобы

 

.

 

Так как Т ≠ 0, то окончательно условие максимума инверсионной кривой приобретает следующий вид:

 

. (8.4)

 

Для того, чтобы записать это уравнение в явном виде, необходимо знать конкретный вид уравнения состояния реального газа (Ван-дер-Ваальса, Дюпре и др.).