Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба.

Примем производительность первой трубы за (резервуара в минуту), второй трубы y.

Составим таблицу, для первой и второй трубы заполним графу «время».

Первая труба будет заполнять резервуар , вторая .

 

	p	t	A
1 труба
2 труба
обе

 

 

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, то есть времени затрачивается больше и

Имеем два уравнения, решаем систему

Решение системы сводится к квадратному уравнению, D =100

Получили, что вторая труба заполнит в минуту резервуара. Тогда весь резервуар будет заполнен за 6 минут.

Ответ: 6

 

В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Сразу, исходя из условия, можно определить производительности насосов: у первого (литра в минуту), у второго (литра в минуту).

Пусть совместно они будут работать минут.

Насосы совместно должны работать 6 минут.

Ответ: 6

 

99621. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

В данной задаче производительности даны: у Пети 8 (вопросов в час), у Вани 9. Количество вопросов это и есть работа, принимаем за .

В таблице заполним графу «время»:

 

	p	t	A
Петя
Ваня

 

Конечно же, сравнение будем проводить по времени.

Петя закончил свой тест на 20 минут позже Вани, то есть Петя затратил больше времени. Не забываем перевести минуты в часы: 20 минут это 1/3 часа.

Тест содержит 24 вопроса.

Ответ: 24

 

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Сразу отметим, что производительность каждого рабочего (заказа в час). Заказ это работа, она равна 1. Пусть это время совместной работы, тогда один работал часов, другой . Заполним графу «работа» для каждого:

 

	p	t	A
1 рабочий
2 рабочий

 

 

Сумма сделанных ими объёмов работы составляет всю работу, равную 1.

Совместно рабочие работали 6 часов. На весь заказ ушло

Можно выстроить рассуждение таким образом:

В условии сказано, что рабочий может выполнить заказ за 15 часов, то есть его производительность заказа в час. Значит, за первые три часа один рабочий выполнит заказа, . Получается, что на двоих останется заказа. Далее они работают вдвоём, значит, на каждого из рабочих придётся заказа, так как их производительность одинаковая. Имеем: рабочий выполняет заказа в час, значит, заказа выполнит за 6 часов, то есть совместно они будут работать 6 часов. Итак, на выполнение всего заказа потребуется

Ответ: 9.

 

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Пусть это время, за которое мастера выполнят работу вместе.

Производительность первого 1/12 (заказа в час), второго 1/6 (заказа в час), этот вывод мы сделали из условия задачи.

При совместной работе производительности складывают.

Оба мастера выполнят заказ за 4 часа.

Ответ: 4

 

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче тоже ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, . Отсюда .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

Итак, первый рабочий за день выполняет всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней.

Ответ: 20

 

Задания на проценты, смеси, сплавы, растворы.

Помните, важное правило:

за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

 

Предлагаем вам запомнить простые формулы:

если величину увеличить на процентов, получим

(действительно, раскроем скобку , видим, что увеличивается на процентов)

 

если величину уменьшить на процентов, получим

(действительно, раскроем скобку , видим, что уменьшается на процентов)

 

если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на процентов, получим

 

если величину дважды увеличить на процентов,

получим

 

если величину дважды уменьшить на процентов,

получим

Воспользуемся ими для решения задач.

 

99565. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8%, то есть стало равно

Можно, конечно же, найти 8% от 40000 путём составления пропорции, и затем прибавить полученное число к 40000. Результат будет тот же.

А в 2010 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать

Ответ: 47088

99566. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд, кажется, что цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить.

Простой пример: Увеличьте число 100 на 50% (то есть на половину), получите 150. А за тем уменьшите 150 на 50% (так же на половину), получите 75. Вот и разница.

Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

 

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акции

 

По условию, акции в итоге подешевели на 4%, значит стали стоить

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

 

По смыслу задачи
Получаем, что

Акции кампании в понедельник подорожали на 20%.

Ответ: 20.

 

99567. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 92% от цены куртки, то есть

Стоимость одной рубашки — в 4 раза меньше:

а стоимость пяти рубашек:

Получили, что пять рубашек на 15% дороже куртки.

Ответ: 15.

 

99568. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «А» и «В».

	муж	жена	дочь	общий доход
В реальности
А
В

 

Осталось записать систему уравнений:

Мы видим два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти по отдельности. Нам это и не нужно. Возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму .

Получим:

Это значит, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что
Значит, стипендия дочки составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.

Ответ: 27

 

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна

Цена холодильнтка уменьшалась на 11 %.

Ответ: 11

 

99570. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Выразим все доли соучредителей в процентах.

Митя внёс 14%.

Антон внёс 42000 рублей. Составим пропорцию и найдём какой он внёс процент:

200000 руб – 100%

42000 руб – x%

Гоша внёс 0,12 это 12%.

Борис остальное 100-14-21-12=53%

Какой бы прибыль не была, но если она деленится пропорционально внесённому вкладу, это означает, что каждый получает свой изначально внесённый процент от прибыли (или часть, сути это не меняет). У нас в задаче 1000000 рублей прибыли. Борис должен получить от неё 53% (или 0,53), значит, Борису причитается рублей.

Ответ: 530000