Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, возможно, самая сложная задача В13. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа, ровно в 12.00. Что и рекомендую сделать. Да, возьмите с собой механические часы, и вы решите задачу за полминуты. В противном случае есть риск ошибиться и потерять бал. Если все-таки механических часов не найти не сможете, вот ход решения.

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая 1/12 часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и 1/12 (круга в час). Старт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на 2/3 круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый. Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через часа (240 минут). Данная задача в прототипах ЕГЭ 2012 отсутствует, приводим её на всякий случай.

Ответ: 240

 

 

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

Если участков пути было два, то

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Когда расстояние не указано его принимают за 1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно .

Общее время равно

Средняя скорость равна км/ч.

Ответ: 38,4.

 

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

На первый взгляд условие очень запутано, может возникнуть мысль, не пропустить ли эту задачу. Рекомендую сделать эскиз (обязательно), обозначить известные величины, наглядность помогает очень часто.

Тёмным цветом обозначена исходная позиция, синим – конечная.

Пусть скорость первого сухогруза будет , второго (км/ч). Время, которое двигались сухогрузы одинаковое 12 минут, переведём минуты в часы: 12 минут это 1/5 часа или 0,2.

Заполним графу «расстояние»:

	v	t	S
		0,2
		0,2

 

Отметим на эскизе расстояние, которое пройдёт первый, оно равно Подсчитаем по эскизу расстояние, на которое второй уйдёт вперёд. Считать будем с кормы (задней части) 80+400+0,2х+120+600=0,2х+1,2 (метры перевели в километры), теперь мы можем приравнять табличное значение и полученное (имеется ввиду расстояние пройденное вторым):

Как видим, в данной задаче совсем не обязательно находить сами скорости, достаточно найти их разность, что и требуется по условию.

Можно было упростить условие - принять скорость первого сухогруза за 0 км/ч (стоит на месте), об этом приёме уже говорили в одной из предыдущих задач. Скорость второго обозначить любой переменной, оставим .

	v	t	S

 

 

Второй прошёл мимо первого и переместился на 1,2 км (за 0,2 часа)

Найдём разность скоростей

Ответ: 6

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Пассажирский (90км/ч) следует в одном направлении с товарным (30км/ч) и обгоняет его. Поучается, что пассажирский относительно товарного проезжает со скоростью 60 км/ч. Таким образом, задача не изменится, если принять скорость товарного 0 км/ч, пассажирского 60 км/ч (это относительная скорость). За одну минуту (1/60 часа) пассажирский со скоростью 60км/ч пройдёт:

Длина пассажирского поезда равна 1000-600=400 метров.

Ответ: 400

Заметим, что если в задаче будет сказано, что транспортные средства двигаются навстречу друг другу, то тогда приняв за ноль скорость одного из них, скорость другого будет равна сумме скоростей. Например, составы движутся навстречу друг другу со скоростями 120 и 150 км/ч, понятно, что один относительно другого будет передвигаться со скоростью 270 км/ч.

 

Задачи на работу

Еще один тип задач В13 — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы:

Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, Вася красит забор. Количество метров, которые он красит за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу.

1. , то есть работа = производительность время. Из этой формулы легко найти t или p.

2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар. А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды — работа как раз и равна этому количеству.

3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

4. В качестве переменной удобно взять именно производительность. Так же, как в задах на движение мы за принимаем скорость.

Вы убедитесь, что задачи на работу и движение очень схожи.