Приклад виконання варіанта 2 завдання ДТ2

Важке тіло D масою т рухається вздовж трубки АВС рис. Д.2´. На вертикальному відрізку АВ трубки на тіло D діють сила ваги і сила опору R. Відстань від точки А, де V=V₀, до точки В дорівнює l. На похилому відрізку ВС трубки на тіло діють сила ваги і змінна сила . Знайти рівняння руху тіла на відрізку ВС.

 

Дано: т=2 V0 =5 l =2,5 Н	Рис.
х=х(t) -?

Розв’язання. Рух тіла D будемо розглядати окремо як прямолінійний рух матеріальної точки на відрізках АВ і ВС.

1. Розглянемо рух матеріальної точки на відрізку АВ. Покажемо тіло D у довільної точці ділянки АВ і діючи на нього сили і . Проведемо вісь Аz і складемо диференціальне рівняння руху точки D в проекціях на цю вісь:

,

або, враховуючи що ,

. (1)

Знаходимо, що P_z=P;

Враховуючи, що V_t=V, маємо

, або . (2)

Позначимо для спрощення:

g= 10 м/с²; 0,2 м^-1; 50 м²/с² (3)

При цьому рівняння (2) приймає вигляд

(4)

Розділимо в (4) змінні і зінтегруємо обидві частини невизначеним інтегралом:

(5)

За початковими умовами при z =0; V=V₀ маємо:

із (5) знаходимо , або

Звідси

; .

Після відповідних перетворень маємо

. (6)

Якщо в (6) підставимо z=l=2,5 м і к, п з (3), визначимо швидкість V_B тіла в точці В (V₀= 5 м/с, число е =2,7)

і (7)

2. Розглянемо рух на відрізку ВС з початковою швидкістю V₀=V_B. Покажемо на цьому відрізку тіло D у довільної точці і діючи на нього сили і (рис. Д.2´) проведемо з початком у точці В осі координат В_у і В_х і складемо диференціальне рівняння руху тіла в проекції на вісь В х:

або

(8)

де Для визначення N складемо рівняння руху в проекції на вісь В_у. Тому що а_у= 0 одержимо звідки Отже Крім того і

рівняння (8) приймає вигляд:

(9)

Після скорочення на m знайдемо значення і 16/ т =8. Підставимо ці значення в (9) і матимемо

, (10)

або

.

 

Проінтегруємо це рівняння невизначеним інтегралом і знайдемо:

(11)

Враховуючи, що тіло знаходиться в точці В при t= 0 будемо мати початкову умову при t= 0 V=V₀=V_B, де V_B відоме з рівності (7). При цьому з (11) одержимо

При С₂ =8,4 рівняння (11) має вигляд:

(12)

 

Після інтегрування цього рівняння знаходимо:

(13)

Але при t =0 x= 0 і отже в (13) С₃ =0.

Тому остаточно маємо рівняння руху тіла на відрізку ВС:

,

де х – в метрах, t – в секундах.

 

Відповідь: ( м).

 

 

Завдання ДС. ДИНАМІКА МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

 

Дослідження дінаміки руху системи матеріальних точок проводяться комплексно, шляхом використання різних методів для визначення основних характеристик руху конкретної механічної системи абсолютно твердих тіл під дією постійних сил ваги.

Такий підхід дозволяє, крім тривіального надання навиків використання теорії для практичних розрахунків та їх закріплення, розв’язати також дуже важливу проблему аналізу одержаних різними методами результатів розв'язку однієї задачі динаміки. Це дає можливість порівняти різні шляхи розв'язання однієї задачі і перевірити правильність отриманих результатів.

 

Умови завдань ДС

 

Механічна система (механізм), яка складена з декількох абсолютно твердих тіл, починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в'язі ідеальними і нехтуючи їх масами визначити в мить часу, коли тіло А пройде шлях S, величини які вказані в залежності від шифру в задачах 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 завдання ДС.

Схеми варіантів механічної системи показані на рис. 8.

В завданні прийняті наступні позначення: m_A, m_B, m_Б, m_Д - маси тіл А, В, Б, Д; R_в=2r_в, R_Д=1,5r_Д - радіуси великих і малих кіл; і_вх, і_дх - радіуси інерції тіл В і Д, відносно горизонтальних осей, що проходять через їх центри мас, a, b - кути нахилу площин до горизонту; m - коефіцієнт тертя тіла А.

Необхідні дані наведено в таблиці 10.

Таблиця 10

 

№ варіанта	mA	mB	mД	mБ	RB	RД	іВХ	іДХ	a	b	S	m
Кілограми	Метри	градуси	м
	m	2m	0,15m	4m	0,5	0,3	0,18	0,10			4,0	0,20
	m	m	0,25m	6m	0,4	0,2	0,15	0,12			3,0	0,30
	m	1,5m	0,75m	8m	0,5	0,2	0,17	0,16			2б0	0,10
	m	0,5m	0,10m	10m	0,4	0,4	0,16	0,15			2,5	0,25
	m	m	0,25m	5m	0,6	0,3	0,14	0,10			3,0	0,30
	m	2m	0,20m	4m	0,5	0,5	0,15	0,13			4,0	0,20
	m	0,5m	0,30m	Зm	0,6	0,3	0,20	0,14			2,5	0,15
	m	1,5m	0,40m	6m	0,3	0,4	0,18	0,15			4,5	0,12
	m	0,75m	0,10m	7m	0,4	0,3	0,16	0,12			2,0	0,14
	m	2,5m	0,20m	8m	0,6	0,4	0,12	0,15			2,5	0,25

Рисунок 8

Завдання ДС1. Знайти швидкість тіла А даної механічної системи за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії.

Умови задачі наведено в завданні ДС.

 

Необхідно знати:

1. Теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи.

2. Формули, за якими визначається кінетична енергія при поступальному, обертальному і плоскому рухах твердого тіла.

3. Формули, за якими визначається робота постійної сили, змінної сили, сили тертя, сили ваги, моменту сили.

Необхідно вміти:

1. Визначати рухи твердого тіла.

2. Виконувати кінематичний розрахунок системи: за заданою швидкістю (прискоренням, переміщенням) даного тіла визначити швидкість (прискорення, переміщення) всіх об'єктів та точок, що складають систему твердих тіл.

3. Вираховувати кінетичну енергію конкретних твердих тіл, які складають механічну систему, в залежності від їх руху.

4. Вираховувати роботу конкретних сил, прикладених до тіл механічної системи.