Приклад виконання завдання ДС7

Механічна система, яка складається з трьох абсолютно твердих тіл А, B, D (рис. Д.12), починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в’язі ідеальними, знайти рівняння поступального руху тіла А механічної системи.

 

Дано: m_A=2m_B=0,5m_D=m; R_B=0,2м; r_B=0,15м; i_BX=0,17м; R_D=0,3м; a=30⁰, b=60⁰, f=0,2. Знайти S_A.

 

Розв’язання. Механічна система, що розглядається, має один ступінь вільності і складається з трьох тіл: тіло А робить поступальний рух; тіло В – обертальний і тіло D – плоский. За узагальнену координату зручно прийняти координату S прямолінійного поступального переміщення тіла А. Узагальненою швидкістю в цьому випадку буде – швидкість руху тіла А. У відповідності з одним ступенем вільності запишемо рівняння Лагранжа другого роду для вибраної узагальненої координати

 

. (а)

 

 

Рис. Д.12

Для розв’язання цього рівняння треба знайти кінетичну енергію і узагальнену силу як функції узагальнених координати S_A і швидкості .

 

1.Знайдемо кінетичну енергію системи як функцію узагальненої швидкості =V_A, яка складається з суми кінетичних енергій кожного з тіл системи:

 

T=T_A+T_B+T_D. (б)

 

а) Тіло А рухається поступально і тому

б) Тіло B обертається навколо нерухомої осі ОХ і тому

.

За умовами задачі ; v_E=v_A;

. Отже

.

c) Тіло D робить плоский рух і тому

За умовами задачі ; ; ; .

 

Таким чином, згідно (б),

 

, або Т = 1,585 m . (в)

 

2. Узагальнена сила Q_S, що стоїть у правій частині рівняння (а), це фізична величина, яка залежить від сил у звичайному змісті і є коефіцієнтом при варіації відповідної узагальненої координати у виразі можливій роботи.

У даному випадку dA = Q_SdS. Елементарна робота dА на можливому переміщенні dS тіла А, що співпадає з дійсним переміщенням dS (dS=dS), має вигляд, згідно рис. Д.12, . Але і тому

 

. (г)

 

Обчислимо роботу кожної сили зокрема: A_PA = P_A sin b dS_A; δA_F = –F_Tp δS_A. Але F_Tp = f N_A, де N_A = P_A cos b, тобто A_F = –f P_A cos b S_A. Робота . Для обчислення роботи δA_PD визначимо δS_C через δS_A. З кінематики відомо, що ; v_A = v_E; v_K = v_C, тобто . Звідси . Таким чином .

 

Підставимо одержані значення робіт в початкове рівняння (г):

.

 

Звідси випливає, що

 

Q_S = 0,016mg. (д)

 

Визначимо потрібні для (а) частинні похідні від кінетичної енергії Т згідно (в)

 

; ; . (е)

 

Підставимо значення даних (д) і (е) у рівняння (а) і отримаємо . Звідки

 

(м/с²). (є)

 

Рівняння (є) є диференціальним рівнянням руху механічної системи рис. Д.12 в узагальнених координатах, якщо за узагальнену координату прийняти шлях S тіла А.

Якщо диференціальне рівняння руху тіла А вихідної механічної системи знайдено, можна визначити шукане рівняння його руху, розв’язавши фактично обернену задачу динаміки матеріальної точки. Тобто зінтегруємо невизначеним інтегралом диференціальне рівняння другого порядку (є) два рази з урахуванням початкових умов.

Інтегруючи перший раз, одержимо

 

. (ж)

 

Інтегруючи вдруге, матимемо

 

. (з)

 

Постійні інтегрування С₁ і С₂ знаходимо з початкових умов: при t=t₀=0 ; S₀=S_А(0)=0. Підставимо ці значення у рівняння (ж) і (з). Отримаємо відповідно С₁=0 і С₂=0. Отже, підставимо ці значення постійних знов у (з) і одержимо шукане рівняння руху: S_А=0,002t².

 

Відповідь: S_А=0,002t² (м).

Література

1. И.В. Мещерский. Сборник задач по теоретической механике. М.,,,Наука”, 1986.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др./Под ред. А.А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.; Высш. Шк., 1985.

3. Е.І. Блінов. Основи теоретичної механіки, Херсон, ХНТУ, 2004.

4. Сборник задач по теоретической механике. Н.А. Брашниченко, В.А. Канн, В.Л. Минцберг и др. – М.,,,Высш. школа”, 1974.

5. Сборник задач по теоретической механике. К.С. Колесников, Г.Д. Блюмин, В.И. Дронг и др./ Под ред. К.С. Колесникова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.,,,Наука”, 1989.

6. М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 1. М., 1972, Том 2 (динамика) М., 1972.

7. А.М. Файн. Сборник задач по теоретической механике. М.: Высш. Школа, 1978.

8. М.А. Павловський: Підручник. – 2-ге вид., стереотип.-К.: Техніка, 2004.-512с.:ил.

9. Завдання до розрахунково-графічних робіт з курсу “Теоретична механіка” для студентів всіх спеціальностей / склав Е.І. Блінов. – Херсон; видавн. ХНТУ, 2007, - 66с.:іл..

 

 

Додаток 1. Варіанті завдань до роботи К1.

Таблиця 1

№ варіанта	Вид рівнянь руху	f1(t)	f2(t)	а1,см	b1,см	а2, см	b2,см	j, рад	t1, сек.
	x=a1f1(t)+b1 y=a2f2(t)+b2	sin^2j sin^2j sin j	cos^2j cos^2j sin j	-10			-3	(П/8)t (П/12)t (П/6)t
	x=a2f1(t)+b2 y=a1f2(t)+b1	sin^2j^2sin^2j^2 sin j^2	cos^2j^2 cos j^2 sin j^2	-1			-1	(П/18)t (ÖП/3)t (П/24)t	½
	x=a1f1(t)+b2 y=a2f2(t)+b1	j^2 j j	j^2 j j^2					2t 3t^2 t^2
	x=a2f1(t)+b1 y=a1f2(t)+b2	sin j sin j^2 sin j	cos j cos j^2 cos j					П/6t (Ö3/2П)t (3/5П)t	1/3 1/3
	x=a1f2(t)+b1 y=a2f1(t)+b2	j^2 j^3 j^3	j j j^2					3t 5t 4t
	x=b1f1(t)+a1 y=b2f2(t)+a2	sin^2 j j^3 sin 2j	sin^2j j^2 sin2j					(П/6)t 3t (П/10)t	¼
	x=b2f1(t)+a2 y=b1f2(t)+a1	cos2 j -sin j cos 2j	cos 2j -cos j -cos 2j		-10 -20		-5 -6	(П/12)t (П/8)t (П/16)t	4/3
	x=b1f1(t)+a2 y=b2f2(t)+a1	sin2 j sin2 j^2 j	cos 2j cos 2j^2 j^2		-6		-3 -9	(П/8)t (П/24)t 5t	4/5
	x=b2f1(t)+a1 y=b1f2(t)+a2	sin 2j sin 2j^2 j^2	cos2 j cos2 j^2 j^3		-2 -4		-6 -2	(П/24)t^2 (П/18)t t
	x=b1f2(t)+a1 y=b2f1(t)+a2	cos^2 j cos^2 j^2 sin 2j	sin2 j sin j^2 cos 2j		-1		-4 -9	(П/9)t (П/4)t^2 (П/12)t	1/2 4/9

 

 

Додаток 2. Варіанті завдань до роботи К2.

Таблиця 2

 

№ варіанта	r2,см	R2, см	R3,см	S,м	Рівняння руху тягаря x=x(t), см
				0,05 2,00 0,70	5+20t^2 2+50t^2 70t^2
				0,64 1,35 0,72	3+100t^2 60t^2 8+50t^2
				0,36 0,20 0,70	100t^2 10+30t^2 7+70t^2
				1,20 1,80 4,80	20+30t^2 20t^2 30t^2
				0,405 1,69 0,90	15+50t^2 2+100t^2 5+90t^2
				3,60 4,50 5,00	90t^2 50t^2 6+20t^2
				1,60 0,196 2.80	40t^2 6+40t^2 10+70t^2
				0,968 0,144 2,312	80t^2 3+90t^2 8+80t^2
				0,245 1,25 0,90	4+50t^2 15+20t^2 20+40t^2
				1,69 1,20 0,40	8+100t^2 10+30t^2 2+40t^2

 

Рисунок 1

Додаток 3. Варіанті завдань до роботи К3.

Таблиця 3

 

№ варианта	Розміри, см	wOA , рад/с	w1 , рад/с	eOA , рад/с^2	VA, см/с	aA, см/с^2
ОА	r	AB
			-		-		-	-
			-		-		-	-
	-		-	-	-	-
		-	-		-		-	-
		-	-		-		-	-
			-				-	-
		-			-		-	-
	-	-		-	-	-
	-	-		-	-	-
		-			-		-	-
	-	-		-	-	-
	-	-		-	-	-
		-			-		-	-
			-				-	-
			-		-		-	-
			-		-		-	-
	-		-	-	-	-
		-			-		-	-
			-		2,5		-	-
	-	-		-	-	-
		-			-		-	-
		-			-		-	-
	-	-		-	-	-
		-			-		-	-
		-			-		-	-
			-		1,2		-	-
	-		-	-	-	-
		-			-		-	-
		-			-		-	-
		-	-		-		-	-

Рисунок 2

Додаток 4. Варіанти завдань до роботи К4.

Таблиця 4

 

№ варіанта	R, см	а, см	a, град	Рівняння відносного руху точки М ОМ=Sr(t)	Рівняння руху тіла	t1, c
jе=jе(t), рад	xе=xе(t), см
	-		-	18sin(pt/4)	2t^3-t^2	-	0,5
		-	-	20sin(pt)	0,5t^2+1	-
	-		-	6t^3	2t+0,5t^2	-
	-	-		10sin(pt/6)	0,6t^2	-
		-	-	40pcos(pt/6)	3t-0,5t^3	-
		-	-	-	-	3t+0,3t^3		jr=0,2pt^3
	-			20cos(2pt)	0,5t^2	-	0,5
	-	-		6(t+0,5t^2)	t^3-5t	-
	-	-	-	10(1+sin2pt)	4t+1,5t^2	-	0,3
			-	20pcos(pt/4)	1,2t+t^2	-	1,3
	-		-	25sin(pt/3)	2t^2-0,5t	-
			-	15pt^3/8	5t-4t2	-
		-	-	120pt^2	8t^2-3t	-	0,25
	-	-		3+14sin(pt)	4t-2t^2	-	0,75
	-			5(t^2+t)	0,2t^3+t	-
	-		-	20sin(pt)	t-0,5t^2	-	0,5
	-		-	8t^3+2t	0,5t^2	-
	-	-		8t^3+2t	0,5t^2	-
		-	-	10t+t^3	8t-t^2	-
		-	-	6t+4t^3	t+3t^2	-
		-	-	3pcos(pt/6)	6t+t^2	-
		-	-	10psin(pt/4)	4t-0,2t^2	-	0,75
		-	-	6pt^2	-	-		j=pt^3/6 010=02A=20см
		-	-	75p(0,1t+0,3t^3)	2t-0,3t^2	-
	-	-	-	15sin(pt/3)	10t-0,1t^2	-
	-	-		8cos(pt/2)	-2pt^2	-	0,75
		-	-	-	-	50t^2		jr=5pt^3/48
		-	-	2,5pt^2	2t^3-5t	-
		-	-	5pt^3/4	-	-		j=pt^3/8 010=02A=40см
		-	-	4pt^2	-	t^3+4t

Рисунок 3

 

 

Додаток 5. Варіанти завдань до робот С1, С2.

Таблиця 5 Таблиця 6

С2 С1

№ варіант

G, кН

Q, кН

Т, кН

a, см

b, см

c, см

R, см

r, см

Варіант

Р, кН

М, кН. м

q, кН/м

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

 

Рисунок 4. Варіанти завдань до роботи С1.

Рисунок 5. Варіанти завдань до роботи С2.

 

Додаток 6 Варіанти завдань до роботи С3

Рисунок 6. Варіанти завдань до роботи С3.

Додаток 7 Варіанти завдань до роботи ДТ1

 

Таблиця 7

 

№ варіанта	m, кг	a, град.	а, м	f	j(t), рад	m	t1, c
				sinj	0,25pt	0,20
				cosj	pt	0,30
				j^3	3t	0,15
				j^4	2t	0,25
				cosj^2	pt	0,40
				sinj^2	0,5pt	0,30
				j^4	0,5t	0,20
				j^5	t	0,10
				j^3	2t	0,15
				cosj	0,5pt	0,355
				sinj	0,25pt	0,40
				j^6	t	0,25
				j^5	2t	0,10
				j^4	2,5t	0,20
				j^3	T	0,30
				sinj	1,5pt	0,40
				cosj	0,75pt	0,20
				j	4t	0,25
				sinj^2	Ö2pt	0,10
				cosj	4pt	0,20
				j^6	1,5t	0,30
				cos^2j	pt	0,40
				j^8	Öt	0,15
				j^3	3t	0,20
				j^4	0,5t	0,25
				sinj^2	Ö0,5pt	0,40
				cosj^2	Ö2pt	0,30
				sinj	0,5pt^2	0,20
				cosj	pt	0,15
				3j	T	0,30
				2j^2	Ö3pt	0,20

 

Додаток 8 Варіанти завдань до роботи ДТ2

 

Таблиця 8

№ варіанта	a, град.	V0, м/с	m	t1, c.	S, м
			0,40		?
			0,30	?
			0,20		?
			0,10		?
			0,15	?
			0,20	?
			0,25		?
			0,30		?
			0,35	?
			0,40	?
			0,35		?
			0,30		?
			0,25		?
			0,20		?
			0,15	?
			0,10	?
			0,10	?
			0,15		?
			0,20		?
			0,25	?
			0,30		?
			0,35		?
			0,40	?
			0,45		?
			0,35	?
			0,30	?
			0,25		?
			0,20		?
			0,15	?
			0,25		?
			0,35	?

 

 

Рисунок 7 Варіанти завдань до роботи ДТ2

 

 

 

 

Додаток 9 Варіанти завдань до робіт ДС

 

Таблиця 9

 

№ схеми	№ варіанта	mA	mB	mД	mБ	RB	RД	ІВХ	ІДХ	a	b	S	m
Килограми	Метри	градуси	м
		m m m	2m m 1,5m	0,15m 0,25m 0,75m	4m 6m 8m	0,5 0,4 0,5	0,3 0,2 0,2	0,18 0,15 0,17	0,10 0,12 0,16			4,0 3,0 2б0	0,20 0,30 0,10
		m m m	0,5m m 2m	0,10m 0,25m 0,20m	10m 5m 4m	0,4 0,6 0,5	0,4 0,3 0,5	0,16 0,14 0,15	0,15 0,10 0,13			2,5 3,0 4,0	- 0,30 0,20
		m m m	0,5m 1,5m 0,75m	0,30m 0,40m 0,10m	Зm 6m 7m	0,6 0,3 0,4	0,3 0,4 0,3	0,20 0,18 0,16	0,14 0,15 0,12			2,5 4,5 2,0	0,15 0,12 0,14
		m m m	2,5m 2m 1,5m	0,20m 0,30m 0,40m	8m 9m 10m	0,6 0,4 0,6	0,4 0,2 0,5	0,12 0,13 0,15	0,15 0,14 0,12			2,5 3,0 3,5	0,25 0,32 0,16
		m m m	m 0,5m 0,5m	0,25m 0,15m 0,35m	8m 6m 4m	0,5 0,4 0,5	0,6 0,2 0,3	0,16 0,17 0,18	0,10 0,11 0,13			4,5 4,0 5,0	0,18 - 0,20
		m m m	2m 1,5m m	4,00m 6,00m 5,00m	7m 10m 9m	0,4 0,3 0,5	0,3 0,4 0,3	0,14 0,15 0,16	0,15 0,16 0,10			3,0 2,0 4,0	0,26 0,28 0,36
		m m m	2,5m 0,25m 0,5m	0,50m 0,25m 0,30m	6m 4m 5m	0,6 0,4 0,5	0,3 0,2 0,4	0,12 0,14 0,16	0,12 0,14 0,15			5,0 4,5 4,0	0,13 0,17 0,21
		m m m	2m 3m 2,5m	0,10m 0,15m 0,20m	6m 8m 5m	0,5 0,3 0,4	0,2 0,1 0,3	0,15 0,17 0,16	0,12 0,10 0,15			2,0 3,0 4,0	0,20 0,15 0,17
		m m m	1,5m m 0,5m	0,50m 0,25m 0,30m	9m 7m 4m	0,5 0,4 0,3	0,1 0,2 0,3	0,18 0,10 0,14	0,10 0,12 0,14			1,0 2,0 3,0	0,12 0,10 0,14
		m m m m	1,75m 1,25m 2m 0,75m	0,35m 0,40m 0,50m 0,25m	8m 5m 6m 8m	0,4 0,6 0,3 0,5	0,1 0,2 0,3 0,2	0,15 0,16 0,13 0,13	0,11 0,12 0,14 0,10			2,0 3,0 2,0 4,0	0,15 0,17 0,20 0,25

 

Рис.8 Варіанти завдань до робіт ДС