Расчёт и экспериментальное исследование цепи при несинусоидальном приложенном напряжении

(для компьютерного варианта стенда)

Общие сведения

 

Несинусоидальное периодическое напряжение, приложенное к электрической цепи, можно разложить в ряд Фурье:

где

Расчёт цепи проводят с использованием принципа наложения в следующей последовательности:

· рассчитывают цепь при постоянном приложенном напряжении U ₀;

· рассчитывают цепь (обычно комплексным методом) при синусоидальном приложенном напряжении с амплитудой U _{1 m} частоты и частотой w (k=1);

· повторяют расчёт при k = 2, 3, 4, …, учитывая, что индуктивные сопротивления увеличиваются с ростом частоты (), а ёмкостные уменьшаются ();

· переходят к мгновенным значениям и суммируют постоянную и синусоидальные составляющие тока (напряжения) в каждой ветви;

· определяют действующие значения токов и напряжений, а также мощности по формулам:

·

где U_k, I_k – действующие значения синусоидальных составляющих.

Чем больше гармоник взято для расчёта, тем выше точность полученных результатов. На рис. 9.1 приведен в качестве примера экспериментальный график тока в

цепи с последовательным соединением R, L, и C при двуполярном прямоугольном приложенном напряжении. На этот график наложены в том же масштабе два расчётных графика: один сделан с учётом только первой и третьей гармоник, а в другом учтены 5 гармоник - с первой по одиннадцатую.

В приложении приведена MathCAD-программа расчёта этих графиков с комментариями.

Экспериментальная часть

Задание

 

Рассчитать мгновенное и действующее значение тока и напряжения на конденсаторе, а также потребляемую цепью активную мощность при прямоугольном периодическом приложенном напряжении, построить график изменения тока на входе цепи, проверить результаты расчёта путём осциллографирования и непосредственных измерений.

 

Рис. 9.1

Порядок выполнения работы

· Выбрать один из приведенных ниже вариантов параметров цепи (рис. 9.2) и выполнить расчёт согласно заданию, учитывая основную гармонику и одну – две высших. По результатам расчёта мгновенных значений на рис.9.3 построить графики, а действующие значения и мощность занести в табл. 9.1.

Варианты параметров элементов цепи и приложенного напряжения:

L = 10 мГн (R_K=17 Ом), L = 40 мГн (R_K=70 Ом), L = 100 мГн, (R_K=170 Ом);

С = 0,22, 0,47 или 1 мкФ;

R = 47, 100, 150, или 220 Ом;

Um=8…10 B, f=0,5…1 кГц.

· Собрать цепь (рис.9.2) с принятыми в расчёте параметрами элементов, включить виртуальные приборы для измерения действующих значений тока и напряжения на конденсаторе и осциллограф.

· Установить на источнике принятые значение частоты и амплитуду прямоугольных импульсов и перенести осциллограмм на рис. 9.4. Записать в табл. 9.1 действующие значения тока и напряжения на конденсаторе.

Рис.9.2

 

· Переключить вольтметр на вход цепи, включить виртуальный измеритель активной мощности и занести его показание также в табл. 9.1.

· Сравнить результаты расчёта и эксперимента и сделать выводы.

 

Таблица 9.1

	I, мА	U, В	Р. мВт
Расчётные значения
Экспериментальные значения

 

 

Рис.9.3

 

 

 

Рис. 9.4

Приложение

 

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходный процесс в цепи с конденсатором и резисторами

Общие сведения

 

Цепь с одним конденсатором и сопротивлениями описывается дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому свободная составляющая тока или напряжения в любой ветви имеет одно слагаемое вида , где р – корень характеристического уравнения, а А – постоянная интегрирования.

Характеристическое уравнение может быть составлено в виде:

,

где Z(p) и Y(p) - - входные операторные сопротивление и проводимость. Они могут быть получены заменой в выражениях комплексного сопротивления или проводимости цепи аргумента jw на оператор р.

Постоянные интегрирования А для каждого тока или напряжения определяется из начальных условий. Для определения постоянной А необходимо знать значение искомой функции в первый момент времени после коммутации (при t = +0).

Начальное значение напряжения на конденсаторе определяется из первого закона коммутации: u_C(+ 0 ) = u_C(- 0 ). ). В свою очередь u_C(- 0 определяется из расчёта цепи до коммутации. Начальные значения других величин (токов и напряжений, которые могут изменяться скачком) рассчитываются по закону Ома и законам Кирхгофа в момент времени t = +0.

Таким образом, все токи и напряжения в переходном режиме изменяются по экспоненциальному закону с одной и той же постоянной времени () от начального значения до установившегося. Причём, начальное значение напряжения на конденсаторе равно напряжению на нём непосредственно перед коммутацией, т. е. скачком не меняется.

В данной работе коммутация (включение и выключение) осуществляется транзистором, на базу которого подаются отпирающие импульсы тока от источника синусоидального напряжения с частотой 50 Гц. В результате оба переходных процесса периодически повторяются и их можно наблюдать на осциллографе.

Экспериментальная часть

Задание

Рассчитать докоммутационные (t = - 0), начальные (t = + 0) и установившиеся (t® ) значения токов и напряжения на конденсаторе в цепи (рис. 10.1.1) в двух случаях: 1. - ключ замыкается; 2. - ключ размыкается.

 

Рис. 10.1.1

 

В каждом из этих случаев определить постоянную времени цепи, снять осциллограммы рассчитанных величин и убедиться, что все токи и напряжение на конденсаторе изменяются с одной постоянной времени, а напряжение на конденсаторе не имеет скачков.

 

Порядок выполнения работы

· При включении ключа в цепи (рис. 10.1.1) рассчитайте токи и напряжение на конденсаторе до коммутации (t = - 0, ключ разомкнут), в первый момент после коммутации (t = + 0, ключ замкнут) и в новом установившемся режиме (t® ). Результаты расчёта занесите в табл. 10.1.1.

· Повторите расчёт при размыкании ключа. Результаты занесите также в табл. 10.1.2.

· Составьте характеристическое уравнение, определите корень р и постоянную времени для первого и для второго случаев, занесите результаты в табл. 10.1.1 и 10.1.2.

· Соберите цепь согласно схеме (рис.10.1.2), включив в неё вместо изображенных измерительных приборов соответствующие гнёзда коннектора. Обратите внимание на полярность электролитического конденсатора.

· Включите осциллограф, установите развёртку 2 мС/дел и перерисуйте изображение четырёх измеряемых величин на график (рис.10.1.3). Не забудьте указать масштаб для каждой кривой.

· Определите по графику или непосредственно по осциллографу докоммутационные (t = - 0) начальные (t = + 0) и установившиеся (t® ) значения токов и напряжения на конденсаторе в цепи в двух случаях: 1. - ключ замыкается; 2. - ключ размыкается. Занесите их также в табл. 10.1.1 и10.1.2 и сравните с расчётными.

Рис. 10.1.2

 

· Определите по графикам постоянные времени при замыкании и размыкании ключа. Сравните их с расчётными значениями и занесите в табл. 10.1.1 и 10.1.2.

· Проанализируйте результаты и сделайте выводы.

 

1. - ключ замыкается

Таблица 10.1.1

t	uC, В	i 1, ьА	i2, мА	i 3, мА	t, мС
- 0, расчёт - 0, эксперимент					Расчёт: t = мС Эксперимент: t = мС
+ 0, расчёт + 0, эксперимент
, расчёт , эксперимент

 

1. - ключ размыкается

Таблица 10.1.1

t	uC, В	i 1, ьА	i2, мА	i 3, мА	t, мС
- 0, расчёт - 0, эксперимент					Расчёт: t = мС Эксперимент: t = мС
+ 0, расчёт + 0, эксперимент
, расчёт , эксперимент

 

 

Рис.10.1.2