Частотная и фазовая модуляция аналоговых сообщений

Основные определения. Поскольку мгновенная частота ω (0 с фазой θ(t) сигнала связана соотношением

 

(7.1)

 

то частотная и фазовая модуляция взаимозависимы, их объединя­ют даже общим названием — угловая модуляция.

При частотной модуляции (ЧМ) мгновенная частота сигнала из­меняется по закону модулирующего сигнала, при фазовой (ФМ) — фаза- Поэтому при модуляции тестовым синусоидальным сигна­лом частотой Ω

 

u_мод(t)= U_мод cosΩt (7.2)

 

При ЧМ и ФМ соответственно получим:

 

ω(t) = ω₀ + Δω_дcosΩt, (7.3)

 

где Δω_дев = kU_мол — девиация частоты;

 

θ(t) = ω₀t + Δφ_дcosΩt + θ₀ (7.4)

 

где Δφ_дев = kU_мол — девиация фазы. Высокочастотное, несущее колебание

 

u(t) = U₀.cosθ(t) (7.5)

 

При частотной модуляции тональным сигналом (8.2) с учетом (7.3) несущее колебание (7.5) примет вид (рисунок 7.1)

 

(7.6)

 

где m_ч = Δω/Ω — индекс частотной модуляции.

 

Рисунок 7.1 Вид частотной модуляции тональным сигналом

При фазовой модуляции тональным сигналом (7.2) с учетом (7.4) несущее колебание (7.5) принимает вид

 

(7.7)

 

где Δφ_дев — девиация фазы, или индекс фазовой модуляции.

Из (7.6) и (7.7) следует, что при частоте модулирующего сиг­нала Ω = const отличить частотную модуляцию от фазовой не пред­ставляется возможным. Это различие можно обнаружить только при изменении частоты Ω. При ЧМ согласно (7.6) девиация час­тоты Δω_дев = const при изменении частоты Ω, а девиация фазы сигнала меняется по закону Δφ_дев = Δω_дев/Ω

При ФМ согласно (7.7) амплитуда колебания фазы сигнала Δφ_дев = const, а мгновенная частота сигнала меняется по закону

 

ω(t) = ω₀ - Δφ_д Ωsin Ωt, (7.8)

следовательно, девиация частоты пропорциональна частоте модулирующето сигнала Δω_дев = Δφ_дев Ω. Данное различие между ЧМ и ФМ иллюстрируется с помощью графиков, построенных на рисунке 7.2.

Таким образом, при обоих видах угловой модуляции (ЧМ и ФМ) меняется как мгновенная частота, так и фаза модулируемо­го ВЧ сигнала. Однако два основных параметра, характеризую­щих эти виды модуляции — девиация частоты Δω_дев и девиация фазы Δφ_дев, — по-разному зависят от частоты модулирующего сигнала Ω.

 

 

Рисунок 7.2 Различие между ЧМ и ФМ

 

Спектр сигнала при частотной и фазовой модуляции.

Обратимся к выражению для ЧМ сигнала (7.6), представив его в виде суммы двух слагаемых:

 

u(t) = (7.9)

 

Разложив периодические функции в (7.9) в ряд Фурье, имеем

 

(7.10)

 

где J_n(m_ч) — бесселевая функция 1-го рода n-го порядка от аргу­мента m; п — целое число.

Программа и графики бесселевой функции при n = 0...5 и m_ч = х = 0...20

 

I0(x):=J0(x) I1(x):=J1(х) I2(x):= Jn(2,x)

I3(x):=Jn(3,x) I4(x):=Jn(4,x) I5(x):= Jn(5,x)

I

Рисунок 7.3 Графики бесселевой функции

 

Пакет программ Mathcad представляет возможность путем об­ращения к функции J₀, J₁, J_n вычислить значения бесселевой функ­ции 1-го рода n-го порядка при любом значении аргумента m_ч.

Согласно (7.10) при ЧМ спектр высокочастотного сигнала при тональном модулирующем сигнале частотой Ω имеет бесконечное число спектральных составляющих, расположенных симметрично относительно частоты ω₀ через интервалы, равные Ω. Частоты этих спектральных составляющих равны ω₀ ± Ω, а амплитуды — . Аналогичный результат получается и при фазовой моду­ляции с заменой параметра m_ч, на Δφ_яев.

С помощью приведенных графиков можно построить спектр ЧМ и ФМ сигнала при заданном значении m_ч = х или Δφ_яев = х. В качестве примера такие спектрограммы при m_ч = 5 и m_ч = 2,4 приведены на рисунке 7.4.

Следует заметить, что спектральная составляющая с частотой ω₀ и несущая с частотой ω₀ суть разные понятия. Так, при m_ч = 2,4 спектральная составляющая с частотой ω₀ равна 0, но это не озна­чает отсутствие несущей в сигнале.

Теоретически спектр ЧМ сигнала безграничен. Однако, как показывает анализ, большая часть энергии ЧМ сигнала сосредото­чена в полосе

 

Δfсп=2(1+m_ч + (7.11)

 

где F — высшая частота в спектре модулирующего сигнала.

 

Рисунок 7.4 Спектр ЧМ и ФМ сигнала

 

Именно на эту величину и следует рассчитывать полосы про­пускания ВЧ трактов радиопередатчиков и радиоприемников. При m_ч << 1 ширина спектра ЧМ сигнала: Δfсп= 2F.

Частотная модуляция с индексом m_ч < 1 является узкополос­ной, с индексом т_ч > 2—3 — широкополосной. Преимущества частотной модуляции в полной мере реализуются при т_ч> 1.