Лекция 13. Угловая модуляция

 

1. Фазовая модуляция.

2. Частотная модуляция.

3. Спектр ФМ и ЧМ колебании.

4. Схемная реализация частотной модуляции.

5. Схемная реализация фазовой модуляции.

 

Фазовая модуляция

Два вида угловой модуляции: фазовая и частотная.

Фазовая модуляция (ФМ) заключается в изменении фазы j переносчика пропорционально первичному сигналу x(t):

, (1)

где а - коэффициент пропорциональности.

Амплитуда колебания при ФМ не изменяется, поэтому аналитическое выражение ФМ колебания имеет вид

. (2)

Если модуляция осуществляется гармоническим сигналом , то мгновенная фаза

. (3)

Первые два слагаемых в выражении (3) определяют фазу немодулированного колебания, третье - изменение фазы колебания в результате модуляции.

ФМ -колебание характеризуется векторной диаграммой рис.1, построенной на плоскости, вращающейся по часовой стрелке с угловой частотой w_о. Немодулированному колебанию соответствует неподвижный вектор U_o. Фазовая модуляция заключается в периодическом с частотой W повороте вектора U относительно U_o на угол .

Крайние положения вектора U обозначены U' и U ".

Максимальное отклонение фазы модулированного колебания от фазы немодулированного колебания

(4)

называется индексом модуляции. Индекс модуляции М пропорционален амплитуде Х модулирующего сигнала.

Выражение для ФМ колебания можно переписать в виде

. (5)

Мгновенная частота ФМ колебания

. (6)

Таким образом, ФМ колебание в разные моменты времени имеет различные мгновенные частоты, отличающиеся от частоты несущего колебания w_о на величину , что позволяет рассматривать ФМ колебание как модулированное по частоте.

Наибольшее отклонение частоты w от несущей частоты w_о называется девиацией частоты Dw_д = М W

 

Частотная модуляция

Частотная модуляция заключается в изменении мгновенной частоты переносчика пропорционально первичному сигналу:

. (7)

Мгновенная фаза ЧМ колебания равна

. (8)

Аналитическое выражение ЧМ колебания с учетом постоянства амплитуды можно записать в виде

. (9)

В простейшем случае модуляции гармоническим колебанием мгновенная частота колебания равна , где - девиация частоты, т.е. максимальное отклонение частоты от несущей w_О, вызванное модуляцией.

Аналитическое выражение для ЧМ сигнала

. (10)

Индекс модуляции М =Dw_д/W.

Тогда ЧМ колебание можно записать в виде

. (11)

 

Из сказанного следует, что ФМ и ЧМ колебания имеют много общего. Так, колебание вида (10) может быть результатом как ФМ, так и ЧМ гармоническим первичным сигналом. Кроме того, ФМ и ЧМ характеризуются одними и теми же параметрами (индексом модуляции М и девиацией частоты Dw_д).

Наряду с отмеченным сходством ЧМ и ФМ между ними имеется и существенно отличие, связанное с различным характером зависимости величин М и Dw_Д от частоты W первичного сигнала:

- при ФМ индекс модуляции не зависит от частоты W, а девиация частоты пропорциональна W;

- при ЧМ девиация частоты не зависит от частоты W, а индекс модуляции обратно пропорционален W.

В общем случае любое колебаний с угловой модуляцией может быть получено как в результате ФМ первичным сигналом x(t), так и ЧМ первичным сигналом x₁ (t)= (т.к. фаза колебания представляет собой интеграл от частоты). Следует также отметить, что частотная и фазовая модуляции различаются также способами их осуществления.

Средняя мощность ЧМ (ФМ) колебания. Так как обычно W << w, то можно считать рассматриваемые колебания в пределах периода T =2p/w гармоническими. Средняя мощность такого колебания за период T

. (12)

Такой же она будет и в другие периоды, а поэтому и за период низкой частоты. Следовательно, средняя мощность при ЧМ и ФМ остается такой же, как и в отсутствие модуляции; происходит лишь ее перераспределение между составляющими спектра.

 

Спектр ФМ и ЧМ колебаний

При узкополосной модуляции M < 1, спектр ЧМ (ФМ) колебаний аналогичен спектру простейшего АМ колебания. Он содержит компоненты несущей частоты w_о и двух боковых частот w_о+W и w_о-W:

Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является индекс модуляции M. Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, как и при АМ: она равна удвоенной частоте модуляции.

Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от АМ колебания, что является следствием различия в знаках (т.е. сдвиге фаз на 180^о) компонент нижней боковой частоты. Это иллюстрирует векторная диаграмма рис.3.

При широкополосной угловой модуляции M >> 1. В этом случае выражение для спектра имеет достаточно сложный вид. На рис.5 в качестве примера приведен спектр ФМ (ЧМ) сигнала при модуляции гармоническим сигналом. Практическая ширина спектра близка к удвоенной девиации частоты

Dw_ЧМ,ФМ» 2Dw_д = 2 M W. (13)

При модуляции гармоническим сигналом спектр ЧМ и ФМ колебаний оказывается дискретным, симметричным относительно w_о и содержащим бесконечное число боковых частот вида w_о± n W с амплитудами

A_n = U_oJ_n(M) (J_n(M) -функции Бесселя n -го порядка). В качестве примера на рис.4 приведен спектр для M =4. Соотношения между функциями Бесселя различных порядков, а следовательно, и между амплитудами различных боковых компонент определяются индексом модуляции M. При некоторых значениях M отдельные компоненты могут исчезнуть (J_n(M) =0). Это же относится к амплитуде несущей частоты, которая обращается в ноль при M =2.4; 5.6¼

Наличие бесконечно большого числа боковых компонент спектра означает, что теоретически спектр ФМ и ЧМ колебания является бесконечно широким. Однако функции Бесселя, начиная с некоторых

n < M, быстро убывают с ростом n. Это позволяет ограничить полезный (практический) спектр таких сигналов определенным количеством боковых частот. При ограничении спектра необходимо учитывать влияние двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ослабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих. На практике выбирают компромиссное решение.

Если ограничиться в спектре боковыми составляющими, амплитуда которых не превосходит q % от максимальной амплитуды спектральной компоненты U_x, то для каждого M можно рассчитать соответствующую ширину спектра. Она окажется несколько большей 2 М W = 2Dw_д. Из рис.4 следует, что для M =4 при q =20% ширина спектра Dw_ЧМ,ФМ= 2(M +3)W = 2(Dw_д+3W). При больших индексах модуляции (порядка десятков и сотен), практическая ширина спектра, подсчитанная подобным образом, близка к удвоенной девиации частоты.

При изменении амплитуды Х модулирующего сигнала спектры ФМ и ЧМ колебаний изменяются одинаково. При возрастании Х происходит пропорциональное увеличение индекса модуляции, спектры расширяются за счет увеличения числа спектральных компонент.

Изменение частоты W модулирующего колебания по-разному влияет на изменение спектров ФМ и ЧМ колебаний. При ФМ изменение частоты W не влияет на величину индекса модуляции, а следовательно, и на число спектральных составляющих (рис.5). При ЧМ с уменьшением W индекс модуляции увеличивается, что приводит к увеличению числа спектральных компонент (рис.5). В итоге ширина спектра ЧМ колебания от частоты почти не зависит, а при ФМ изменяется пропорционально W.

На практике часто используется фазовая манипуляция, при которой фаза несущей изменяется на 180^о. Графики изменения фазы Dj(t) и фазоманипулированного сигнала показаны на рис.6. Амплитудный спектр такого сигнала приведен на рис.7. Он содержит только боковые частоты вида w_о± n W (с нечетными n).

 

13.4Схемная реализация частотной модуляции

Для получения частотной модуляции нужно, чтобы частота колебаний автогенератора изменялась под действием первичного сигнала u _W. На рис.8 приведена схема автогенератора (обведена пунктирной линией), вырабатывающей синусоидальное напряжение с частотой w приблизительно равной резонансной частоте контура w_о. Следовательно, изменение частоты генерируемых колебаний может быть достигнуто изменением емкости или индуктивности контура. Для осуществления частотной модуляции параллельно контуру генератора подключают параметрический элемент - реактивное управляемое сопротивление X_у(t), величина которого изменяется под действием модулирующего сигнала.

Рассмотрим случай, когда в качестве сопротивления X_у используется емкость С' = C₁ + D C(t). Частота генерируемых колебаний определяется формулой

, (14)

где C_о = С + C₁; .

Изменение общей емкости контура на величину D C вызывает изменение частоты на Dw = w - w_о. Разлагая правую часть (14) в ряд Тейлора и ограничивая для D C/C_о << 1 первыми двумя членами разложения, получаем

Dw/w_о = -D C/(2C_о). (15)

Если изменить индуктивность контура L = L_o + D L(t) так, чтобы D L/L_о << 1, относительное изменение частоты будет

Dw/w_о = -D L/(2L_о). (16)

 

В рассмотренных случаях изменение частоты колебаний происходит пропорционально изменениям D C(t) и D L(t). Знак "-" в (15) и (16) является следствием того, что увеличение индуктивности или емкости контура ведет к уменьшению частоты колебаний.

Из выражений (15) и (16) следует, что если D C(t) и D L(t) изменяются пропорционально первичному сигналу и притом в небольших пределах, изменение частоты также пропорционально u _W, т.е. частотная модуляция будет неискаженной.

В качестве управляемого сопротивления в транзисторных генераторах обычно используют варикапы. На рис.9 показана схема автогенератора с подключенным в контур варикапом. От источника постоянного напряжения на варикапе VD обеспечивается постоянное обратное напряжение смещения Е_м, определяющее начальную емкость варикапа С_о. На варикап относительно выбранной рабочей точки подается управляющее напряжение u _W, пропорциональное модулирующей функции. Изменение управляющего напряжения приводит к изменению емкости варикапа и, следовательно, частоты генерируемых колебаний.

Остальные элементы схемы имеют вспомогательное значение: емкость С_р большой величины разделяет цепи питания генератора и варикапа по постоянному току, позволяя в каждой из них установить нужные напряжения; добавочное сопротивление R_д (величиной порядка сотен килоом) включается для того, чтобы источник смещения и вторичная обмотка трансформатора не шунтировали контур генератора.

Вольт - парадная характеристика варикапа показана на рис.10.