Аналитический критерий устойчивости

Можно показать, что устойчивым режимам соответствует условие

В стационарном режиме генератор эквивалентен контуру с коэффициентом затухания

.

При колебания будут незатухающими

(a_г =0). Условие баланса амплитуд выполняется при амплитуде колебаний U_В1.

Предположим, что амплитуда колебаний оказалась больше U_В1: . При этом коэффициент затухания a_г станет отличным от нуля. Для того, чтобы колебания с амплитудой были затухающими, необходимо, чтобы a_г > 0, т.е.

или ,

т.е. .

 

Запишем колебательную характеристику

и продифференцируем это выражение по U_в1

Устойчивым режимам соответствует условие .

При этом

. ()

 

Таким образом, стационарный режим является устойчивым, если в точке пересечения характеристик крутизна колебательной характеристики меньше крутизны характеристики обратной связи, и неустойчивы в противоположном случае.

По графикам рис.6а, 6б можно построить зависимость амплитуды колебаний от величины М, определяющей величину обратной связи (рис.6в).

При М < М₂ линия обратной связи проходит выше кривой средней крутизны. Это означает, что АЭ не в состоянии обеспечить требуемое усиление, т.к. крутизна в рабочей точке меньше требуемого значения средней крутизны , и условие стационарности не выполняется. При М < М₂ = М_кр единственным стационарным и притом устойчивым режимом является состояние равновесия (отсутствие колебаний).

При увеличении М линия обратной связи опускается ниже, и при М=М₂ условие стационарности выполняется. При дальнейшем увеличении М амплитуда колебаний плавно нарастает.

При М > М₂ появляются два стационарных режима (точки О и А), причем устойчивым оказывается динамический режим (точки А₃ и А₄) (Точка О является неустойчивой). Поэтому при М > М₂ с ростом М амплитуда I_к1 плавно изменяется. При уменьшении М амплитуда I_к1 изменяется в соответствии с той же характеристикой и при М₂=М_кр колебания исчезают.

Режим генератора, в котором амплитуда колебаний плавно меняется с изменением обратной связи, называется мягким режимом самовозбуждения колебаний.

Жесткий режим. Колебательная характеристика и семейство характеристик обратной связи для различных значений M (M₁ < M₂ < M₃ < M₄) приведены на рис.7а. Характеристика средней крутизны приведена на рис.7б. В жестком режиме рабочая точка выбирается вблизи нижнего загиба передаточной характеристики.

При M < M₂ колебания будут отсутствовать, т.к. линия обратной связи не пересекает графика средней крутизны. При M = M₂ линия обратной связи касается графика средней крутизны, но колебания не возникнут, т.к. крутизна в рабочей точке меньше требуемого значения средней крутизны . Колебания возникают лишь при M = M₄, т.е. в тот момент, когда обратная связь оказывается достаточной для обеспечения баланса амплитуд при малой крутизне в рабочей точке. При M=M₄ малые флуктуационные колебания начинают расти. Рост амплитуды колебаний вызывает увеличение средней крутизны характеристик, что приводит к увеличению усиления. С увеличением усиления возрастает амплитуда колебаний, а следовательно, и средняя крутизна. Эти два процесса стимулируют друг друга, и амплитуда скачком принимает значение (). Последующее увеличение коэффициента взаимной индукции вызывает плавное увеличение амплитуды колебаний.

При уменьшении M, начиная от больших значения, колебаний будут существовать до тех пор, пока M не станет равным M₂. При значениях M, лежащих в промежутке между M₂ и M₄, существующие колебания обеспечивают необходимую среднюю крутизну характеристики, и условие стационарности выполняется. При M < M₂ колебания в схеме исчезнут, т.к. в этот момент нарушится баланс амплитуд. Уменьшение амплитуды колебаний стимулируется уменьшением средней крутизны и наоборот. Амплитуда колебаний изменяет свое значение скачком от () до нуля.

Определим зависимость амплитуды I_к1 от величины обратной связи по колебательной характеристике. При увеличении М от нуля до значения М=М₄, при котором характеристики оказываются касательными в начале координат, режим, соответствующий точке О, является устойчивым, и малые флуктуации нарастания колебаний не вызывают. (При М=М₃ колебательная характеристика и характеристика обратной связи пересекаются в трех точках, соответствующих трем стационарным режимам: О - состоянию равновесия, В₃ и А₃ – динамическим режимам. Рассматривая качественно процесс изменения амплитуды I_к1 и U_в1 при небольших начальных отклонениях DU_в1 от U_в1, соответствующих точкам О, В₃ и А₃ или применяя аналитический критерий, видим, что точки О и А₃ соответствуют устойчивым, а точка В₃ - неустойчивому режиму.)

При М=М₄ режим, соответствующий точке О, становится неустойчивым, и малые колебания сразу нарастают до больших амплитуд, соответствующих точке А₄. При дальнейшем увеличении М изменение амплитуд происходит по колебательной характеристике. Если теперь уменьшать М до М=М₃ срыва колебаний не произойдет, т.к. динамические режимы, определяемые точками А₄ и А₃ являются устойчивыми. Колебания сорвутся, когда М уменьшится до М=М₂, т.к. соответствующая ему точка А₂ неустойчива: небольшое уменьшение амплитуды U_в1 вызовет ее дальнейшее уменьшение до нуля.

Зависимость I_к1 от М показана на рис.7в; сплошным линиям соответствуют устойчивые режимы, пунктирной - неустойчивые.

Жесткий режим самовозбуждения колебаний характеризуется скачкообразным возникновением колебаний большой амплитуды при плавном увеличении обратной связи и скачкообразным срывом колебаний при уменьшении обратной связи. Между этими значениями существует область затягивания (заштрихована на рис.7в) в пределах M₂ < M₃ < M₄.

При жестком режиме возбуждения для возникновения колебаний необходимо:

- или увеличивать сигнал обратной связи;

- или использовать внешний запускающий сигнал (например, импульс);

- или использовать автосмещение.

Автосмещение. Основным достоинством мягкого режима является плавное изменение амплитуды колебаний при изменении коэффициента М; недостатком - малый коэффициент полезного действия. При мягком самовозбуждении схема работает в неэкономичном режиме А. В режиме А всегда амплитуда первой гармоники тока меньше постоянной составляющей тока, поэтому КПД не может быть больше 50%.

Достоинством жесткого режима самовозбуждения является его экономичность. Нелинейный элемент в этом режиме работает с отсечкой тока, и коэффициент полезного действия может быть порядка 80%. Недостаток жесткого режима состоит в скачкообразном появлении и срыве колебаний, невозможности получить колебаний малой амплитуды.

Достоинства жесткого и мягкого режимов самовозбуждения можно объединить в схеме генератора с автоматическим смещением.

Схема такого генератора на биполярном транзисторе показана на рис.8а. Она отличается от ранее рассмотренной схемы наличием RC -цепи автоматического смещения в цепи базы. Исходное смещение на базе транзисторе выбирают на участке характеристики i_к(u_б) с большой крутизной. На этом участке происходит мягкое самовозбуждение колебаний при небольшой взаимоиндукции М.

Конденсатор С_б в течение положительного полупериода заряжается, в течение отрицательного – разряжается. Полярность напряжения на обкладках конденсатора показана на рис. Из-за нелинейности входной характеристики транзистора приращение напряжения за время заряда больше его убывания за время разряда. В результате напряжение смещения на базе транзистора постепенно уменьшается.

Нарастание амплитуды колебаний в контуре, а следовательно, и на базе транзистора, приведет к тому, что часть периода колебаний транзистор оказывается в режиме отсечки. Базовый ток приобретает форму импульсов положительной полярности. Пока длится импульс базового тока, конденсатор С_б достаточно быстро дозаряжается через относительно небольшое сопротивление открытого эмиттерного перехода транзистора (полярность напряжения на обкладках конденсатора С_б показана на рис.8а). При определенном значении отрицательной полуволны напряжения на базе наступит отсечка базового тока, и конденсатор начинает разряжаться. Так как входное сопротивление транзистора в режиме отсечки велико, можно считать, что разряд происходит через резистор R_б. Если постоянная времени заряда конденсатора С_б меньше постоянной времени его заряда, то на обкладке конденсатора, подключенной к базе транзистора, постепенно накапливается отрицательный заряд. Таким образом, происходит смещение рабочей точки транзистора влево (рис.8б).

Уменьшение смещения на базе транзистора вызывает уменьшение средней крутизны коллекторного тока. При правильно выбранной величине переходный процесс в генераторе заканчивается установлением стационарного режима с отсечкой тока. Смещение растет с увеличением t, однако при превышении некоторого критического значения в схеме генератора возникает явление, называемое прерывистой генерацией. Оно состоит в периодическом возникновении и исчезновении автоколебаний. Это возникает, если время установления колебаний t_у в автогенераторе становится меньше постоянной времени RC -цепи t. (При отсутствии колебаний рабочая точка находится в области максимальной крутизны. Выполняется условие самовозбуждения, и амплитуда колебаний быстро нарастает. В цепи базы возникают импульсы тока. Происходит заряд конденсатора С_б, рабочая точка перемещается в область с меньшей средней крутизной S_ср. Это приводит к тому, что сначала амплитуда колебаний падает, емкость продолжает заряжаться. При некотором смещении нарушится баланс амплитуд, и колебаний прервутся. Конденсатор начнет медленно разряжаться, рабочая точка переходит в область с большей S_ср, колебаний возникнут вновь.)

Переходный режим. Начальный этап нарастания амплитуды колебаний описывается экспоненциальным законом (см.рис.):

,

где - начальная амплитуда.

При малых амплитудах генератор ведет себя как колебательный контур с отрицательным затуханием. При больших амплитудах сказывается нелинейность генератора, в результате чего происходит постепенное приближение к установившейся амплитуде А_ст.

Время установления колебаний t_у определяется как время, в течение которого амплитуда нарастает до значения 0.9 А_ст.

Время установления зависит от параметров схемы и от начальной амплитуды (от начальных условий запуска). Увеличения коэффициента взаимной индукции М (глубины обратной связи) или средней крутизны S приводит к уменьшению t_у. Оно увеличивается при увеличении добротности контура Q. Как правило, при каждом включении величина оказывается разной, а поэтому различны и значения времени установления.

Необходимо отметить, что стационарная амплитуда А_ст от начальных условий не зависит.

/ 8.1(1). 8.1(6). 8.2(4). 8.2(5) /

Контрольные вопросы

1. Что называется генерированием электрических колебаний?

2. Что называется автогенераторами?

3. Переходный и стационарный режим колебаний.

4. Три основные задачи в исследовании автоколебательных систем.

5. В каком случае автогенератор переходит в стационарный режим?

6. Что называется условием баланса фаз и баланса амплитуд?

7. В каких случаях режим работы генератора с характеристиками называем мягким и когда жестким?

8. Когда стационарный режим является устойчивым, когда неустойчивым?