Гармонический анализ анодного тока. Коэффициенты Берга

Исследование ДХ, построенных по реальным СХ ламп, и построение формы импульса анодного тока для различных режимов дают наглядное представление о режимах работы ЭП. С помощью графоаналитического метода можно найти энергетические параметры режима ЭП. Однако данная методика не позволяет получить общие представления о режимах. Исходя из этого, а также упрощения расчетов введен метод идеализации СХ и получены уравнения (5.12) и (5.13), связывающие мгновенное значения анодного тока с мгновенными значениями напряжений на сетке е_с и аноде е_а. Следующим этапом этого метода является получение уравнения для анодного тока в виде функции времени и ее гармонический анализ. Здесь и ниже по-прежнему полагаем, что частота напряжения возбуждения ω равна разностной частоте анодного колебательного контура (ω= ω_р).

Воспользуемся полученными уравнениями для анодного тока в анодной системе координат (5.12):

 

i_а=S(е_с-Е_с0+Dе_а);

 

в анодно-сеточной системе координат (5.13):

 

i_а=S[е_с+D(е_а-Е_с0)].

 

Для резонансного ГВВ с гармоническим возбуждением мгновенные значения напряжений на сетке и аноде записывается в виде

 

е_с=E_с+U_сcosωt и е_а=E_а-U_аcosωt.

 

Подставим последние уравнения в (5.12) и (5.13), после преобразования получим уравнения для анодного тока:

 

i_а=S[U_с-DU_а] cosωt+ S[Е_с- Е_с0+DЕа],

 

i_а=S[U_с-DU_а] cosωt+ S[Е_с-+D(Еа-Е_а0)]. (5.17)

 

Наконец, если учесть Е_с^| =E_с0-DE_а= -D(E_а-E_а0) – есть напряжение отсечки анодного тока при напряжении на аноде, равном Е_а, то оба уравнения (5.17) можно привести к одной форме:

 

i_а=S[U_с-DU_а] cosωt+ S(Е_с-Е_с^|). (5.18)

 

Это уравнение описывает анодный ток в недонапряженном режиме, когда ЭП работает без отсечки анодного тока (класс А). Здесь S(U_с-DU_а) и S(Е_с-Е_с^|) =I_п – соответственно амплитуда первой гармоники и ток покоя. Уравнение (5.18) с учетом введенных обозначений приводится в виду

 

I_а=I_а1 cosωt+ I_п (I_п >I_а1).

 

На рисунке 5.14 изображена эпюра анодного тока I_а для случая, когда I_п>I_а1(кривая 1). Если уменьшать напряжение смещения Е_с , то будет уменьшаться и ток покоя I_п. При I_п.= I_а1, т.е. когда Е_с- Е_с^|=U_с- DU_а, имеет место предельный режим класса А: анодный ток при ωt=180⁰ равен нулю(кривая 2), амплитуда первой гармоники i_а равна постоянной составляющей: I_а1=I_п.

Если напряжение смещения уменьшать далее, то вместе с уменьшением тока покоя I_п= S(Е_с-E_с^|) на интервале а-б (рисунок 5.14), где S(U_с-DU_а) cosωt > S(Е_с-Е_а^|), наступает отсечка анодного тока, область а-б расширяется, а углы отсечки θ₃, θ₄, θ₅ уменьшаются. Анодный ток из непрерывного превращается в последовательность отдельных импульсов, имеющих косинусоидальную образующую с отсеченной нижней частью (интервалы а-б).

Полезным параметром для описания конусоидальных импульсов с отсечкой, а также режимов ЭП является угол отсечки анодного тока, который численно равен половине той части периода ВЧ (в угловых единицах), когда через лампу течет анодный ток.

Связь угла отсечки θ с остальными параметрами режима определяется следующим образом: в точке а (рисунок 5.14)

 

ωt=θ i_а=S(U_с-DU_а) cosθ+S(Е_с- Е_с^|) =0,

 

следовательно,

Рисунок 5.14 Эпюры анодного тока

 

cosθ= -(Е_с-Е_с^|)/(U_с-DU_а) (5.19)

 

Теперь благодаря введенному углу отсечки θ можно записать выражение для анодного тока при наличии отсечки:

 

i_а=S(U_с-DU_а) cos ωt+S(Е_с- Е_с^|) при 2πn-θ<ωt<2πn+θ; (5.20)

 

i_а=0 при 2πn-θ>ωt>2πn+θ.

 

Здесь n=0,1,2,…

Для интервала углов 0<ωt<π эта формула примет вид

 

i_а=S(U_с-DU_а) cos ωt+S(Е_с- Е_с^|) ωt<θ; (5.21)

i_а=0 при ωt>θ.

 

Напишем еще два варианта формулы (5.21), которые в дальнейшем будут полезны. Если из (5.19) определить разность

 

Е_с-Е_с^|= -(U_с-DU_а)cos θ

 

и подставить ее в (5.21), то после преобразований получим

 

i_а=S(U_с-DU_а)(cosωt-cosθ) при ωt<θ; (5.22)

 

i_а= 0 при ωt>θ;

 

Определим амплитуду импульса анодного тока I_ам. Для этого в (2.22) подставим i_а=I_am и ωt=0:

 

I_am= S(U_с-DU_а)(1- cosθ). (5.23)

 

Выразив из (5.23) S(U_с-DU_а) и подставим его в (5.22), найдем i_а=I_am(cosωt-cosθ)/(1-cosθ) при ωt<0; (5.24)

 

i_а=0 приωt>θ.

 

Полученные зависимости (5.21)-(5.24) справедливы для любых углов отсечки (0<θ<180⁰). Заметим, что ток покоя I_п по мере уменьшения угла отсечки также уменьшается: при θ=180⁰ I_п= S(Е_с- Е_с^|), при θ=90⁰ I_п=0.

Было отмечено, что при θ<180⁰ анодный ток представляет собой последовательность отдельных одинаковых импульсов, мгновенные значения тока описываются уравнениями (5.11)-(5.24). Если эта последовательность бесконечна (или, во всяком случае, длинная), то она может быть представлена рядом Фурье

 

i_а=I_а0+I_а1 cos ωt+I_а2 cos 2ωt+I_а3 cos 3ωt+…. (5.25)

 

Здесь I_а0 – постоянная составляющая анодного тока; I_а1, I_а2, I_а3 – амплитуды первой, второй, третьей и т.д. гармоник анодного тока. Имея аналитические выражения для i_а (ωt), значения I_а0, I_а1, … определим по формулам для коэффициентов ряда Фурье:

Подставив в (5.25) значения для i_а(ωt) из (5.22) и вынеся постоянное коэффициенты, получим

 

I_а0=S(U_с-DU_а)γ₀(θ), I_аn=S(U_с-DU_а)γ_n(θ) (5.26)

 

Здесь коэффициенты γ₀(θ)и γ_n(θ), называемые коэффициентами Берга, зависят только от угла отсечки и номера гармоники:

 

γ₀(θ)=(sinθ-cosθ)/π; γ₁(θ)=(2θ-sin2θ)/2π; γ₂(θ)=(2sin³θ)/3π;

γ₃(θ)= γ₂(θ) cosθ.

 

Если же в (5.25) подставить (5.24),то для составляющих анодного тока получим

 

I_а0= I_аmα₀(θ), I_аn= I_аmα_n(θ). (5.27)

 

Коэффициенты γ_n(θ) и α_n(θ) связаны между собой зависимостью α_n(θ)= γ_n(θ)/(1-cosθ).

С использованием коэффициентов γn(θ) и αn(θ) формула для i_а(ωt) может быть представлена в виде ряда Фурье одного из двух вариантов:

 

i_а=S(U_с-DU_а) [γ₀(θ) + γ₁(θ) cos ωt+ γ₂(θ) cos 2ωt+…]

 

или

 

i_а=I_аm [α₀(θ) + α₁(θ) cos ωt+ α₂(θ) cos 2ωt+…]. (5.28)

 

Отсюда следует, что если при анализе режима ЭП заданы исходные параметры U_с и U_а, то при расчетах должны использоваться коэффициенты γ_n(θ); если же исходным параметром является амплитуда импульса анодного тока I_аm , то при расчетах используются коэффициенты α_n(θ).

При расчете КПД анодной цепи (цепи стока или коллектора) часто используется коэффициент формы анодного тока по первой гармонике g₁(θ)=γ₁(θ)/ γ₀(θ)=α₁(θ)/α₀(θ).

Коэффициенты γ_n(θ),α_n(θ) и g₁(θ) подробно табулированы. На рисунке 5.15,а,б приведены графики зависимостей γ_n(θ) и α_n(θ) для постоянной составляющей в первых трех гармоник, а также зависимости g₁(θ). Отрицательное значение коэффициентов γ₃(θ) и α₃(θ) при углах отсечки 90⁰<θ<180⁰ означает, что ток третьей гармоники имеет противоположную начальную фазу по сравнению с током первой гармоники. Приведенные графики наглядно характеризуют гармонический состав анодного тока при различных θ. Так как θ =180⁰ (колебания класса А) амплитуда первой гармоники равна постоянной составляющей (I_а1=I_а0); амплитуда второй, третьей и т.д. гармоник равна нулю. В области 0≤ θ≤180⁰ графики γ_n(θ) и α_n(θ) при n=2,3, … имеют максимумы; для коэффициентов α_n(θ) значение угла θ, при котором наблюдается максимум, вычисляется из выражения θ=120⁰/n.

Рисунок 5.15 Графики коэффициентов Берга

Отметим, что при уменьшении угла отсечки от 180⁰ коэффициенты γ₀(α) иα₀(θ) убывают заметно быстрее, чем коэффициенты γ₁(θ) и α₁(θ), вследствие чего увеличивается коэффициент формы g₁(θ) и вместе с ним КПД анодной цепи. Влияние угла отсечки на параметры ГВВ можно рассмотреть, например, применительно к КПД анодной цепи η_а, амплитуде импульса I_am, напряжению возбуждения U_с , а также к максимальному мгновенному напряжению между сеткой и катодом |е_{с min}|. При этом примем, что значения этих величин при θ=90⁰ равны единице.

На рисунке 5.15 для триодного ГВВ приведены графики зависимостей η_а=ƒ₁(θ), I_аm=ƒ₂(θ), рассчитанные при условии постоянства выходной мощности Р₁=const. Все параметры для θ=90⁰ приняты равными единице.

Можно видеть, что при уменьшении угла отсечки θ от 180⁰ до 90⁰ КПД анодной цепи увеличивается примерно на 50%: от 0,5ξ до 0,78ξ. При дальнейшем уменьшении угла θ до 0 возможное увеличение КПД достигает лишь 22%. Кривая I_аm приуменьшении θ от 180 до 80⁰ идет почти на одном уровне. При дальнейшем уменьшении θ величина I_аm резко возрастает, поскольку значение коэффициента γ₁(θ) падает и для постоянства I_а1 и Р₁ требуется резко увеличивать I_аm. Напряжение возбуждения U_с при снижении угла отсечки θ от 180 до 90⁰ должно быть увеличено в 2 раза; дальнейшее снижение θ до 60⁰ требует увеличения U_с еще в 2,5 раза. Еще более сильно изменяется модуль минимального напряжения на управляющей сетке |е_{с min}|=|Е_с-U_с|; например, при изменении θ от 90 до 60⁰ он изменяется почти в 4 раза. То напряжение нормируется для некоторых ламп и всегда для транзисторов.

 

Параметры граничного режима

 

В теории ГВВ на ЭП с идеализированными характеристиками граничный режим играет роль не только своеобразного «водораздела» между недонапряженными и перенапряженными режимами. В граничном режиме ГВВ при заданных напряжениях питания, возбуждения и смещения (например, для Е_а, U_с и E_с)отдает наибольшую полезную мощность при высоком КПД. Именно поэтому каскады реальных передатчиков работают большей частью либо в граничном режиме, либо в режимах, близких к нему.

Покажем, что в граничною режиме ГВВ отдает наибольшую полезную мощность Р₁ при заданных E_а, U_с и Е_с. в качестве переменного параметра возьмем сопротивление нагрузки ГВВ R_экв.

При малых значениях R_экв режим недонапряженный (см.рисунок 5.14), первая гармоника анодного тока определяется из (5.26) после замены U_а на I_а1 R_экв:

 

I_{а1 ННР}= SU_с γ₁ /(1+SDR_экв γ₁),

 

А выходная мощность

(5.29)

В перенапряженном режиме по мере увеличения сопротивления R_экв амплитуда первой гармоники анодного тока I_а1 снижается, а амплитуда напряжения на нагрузке U_а=I_а1 R_экв слабо растет, достигая при R_экв→∞ своего асимптотического значения, равного 1,17 U_{а гр.} Полагая с некоторым приближением, что в ПНР U_а =В₂ ≈ const, получим выражения для полезной мощности ГВВ в ПНР:

 

P_1ПНР≈В₂²/2R_экв. (5.30)

 

Графики функций P_1ПНР и P_1ПНР приведены на рисунке ниже. Сплошными линиями указаны участки, имеющие физический смысл, штриховой линией показан участок, физически не реализуемый при заданных исходных параметрах Е_а, Е_с, U_с, а также при заданных параметрах лампы S, S_гр, E^|_с.

Таким образом, как следует из (5.29) и (5.30), если увеличивать R_экв, начиная от нуля, то полезная мощность ГВВ сначала увеличится почти пропорционально R_экв, достигает максимума при R_экв= R_{экв гр}, а затем снизится из-за увеличения провала в импульсе анодного тока.

При определении параметров граничного режима обычно используется тот факт, что верхняя точка ДХ А₂ лежит на пересечении СХ при е_с= е_{с max}=Е_с+ U_с и линии граничного режима. Другими словами, для определения амплитуды анодного тока (отрезок A₂, е_{а гр}) можно использовать либо уравнение (5.12), либо (5.15), а совместное их решение относительно одного из параметров позволяет найти значение этого параметра для граничного режима.

Например, пусть заданы значения Е_а, Е_с и U_с. Для нахождения U_{а гр} в граничном режиме подставим эти параметры в уравнения, учтя, что для точки А₂ =ωt=2πn, где n=0;1;…; i_а= S(е_с-Е_с0+Dе_а) и i_а=S_гр е_а, приравняем их друг другу и решим полученное уравнение относительно U_гр :

 

U_{а гр} = Е_а-S(Е_с+U_с-E_с0)/ (S_гр – SD)=E_а-е_{а остр гр.} (5.31)

 

Здесь е_{а остр гр.} – остаточное напряжение для граничного режима.

При практических расчетах чаще всего задаются другие исходные параметры, например амплитуда импульса анодного тока I_am (или I_а0), сопротивление нагрузки R_экв или необходимая полезная мощность P₁. В этих случаях целесообразно находить сначала значение коэффициента использования анодного напряжения ξ=U_а/Е_а для граничного режима ξ_гр=U_а/Е_а, а затем – все остальные параметры.

Зададимся значением i_а=I_am. Поставив его в (5.15), получим i_аm=S_гр(Е_а-U_агр). Преобразовав это уравнение, с учетом предыдущих соотношений получим

 

ξ_гр=1-I_am/S_грЕ_a. (5.32)

 

Так как

 

I_am= I_a0/α₀(θ), то

 

ξ_гр=1-I_a0/α₀(θ)S_грЕ_a. (5.33)

 

Если в (5.32) вместо I_am подставим I_a1/α₁(θ), затем заменить на U_агр/R_экв и сделать необходимые преобразования, то

 

ξ = (5.34)

 

Если в качестве исходных параметров заданы лампа, полезная мощность Р₁= I_a1U_агр/2 и напряжение анодного питания Е_а, то заменив I_аm в (5.32) на равную I_аm= 2Р₁/α₁(θ)U_{а гр} и сделав ряд преобразований, найдем

 

ξ_гр=0,5+0,5 (5.35)

 

Формулы (5.32)-(5.35) позволяют рассчитывать параметры граничного режима ГВВ при различных исходных данных. Задавая или изменяя первоначальные параметры режима I_аm, Е_а, R_экв или Р₁,можно с их помощью определить КПД анодной цепи ГВВ в граничном режиме или получить зависимость для изменения η_а. Для этого нужно задать значения подлежащего изменению параметра (обозначим его через Х), найти соответствующие значения ξ_гр(Х) и затем, подставляя ξ_гр(Х) в формулу η_а=Р₁/Р₀=g₁ξ_гр/2, (5.35а)

Определить η_а(Х). Например, если для ГВВ с заданным ЭП нужно определить зависимость η_а =ƒ(Р₁), то воспользовавшись (5.35) ξ_гр(Х) и положив 8Р₁/ α₁(θ)S_грЕ_а²<1, получим

 

η_а=0,5g₁-Р₁/α₀(θ)S_гр Е_а² . (5.35,б)

 

 

АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

 

 

- форма записи АМ сигнала.

 

АМ сигнал с глубокой модуляцией |Msmax(t)| 1 или |Msmin(t)| -1

АМ сигнал с неглубокой модуляцией |Ms(t)|<<11

АМ сигнал с перемодуляцией

 

При амплитудной модуляции связь между огибающей V(t) и модулирующим полезным сигналов S(t):

 

V_m(t)=V_m [1+M_s (t)], (6.1)

 

V_m - постоянный коэффициент, равный амплитуде несущего колебания в отсутствие модуляции; M – коэффициент амплитудной модуляции (глубина АМ).

АМ - сигналы с малой глубиной модуляции в радиоканалах нецелесообразны ввиду неполного использования мощности передатчика.

Относительный коэффициент модуляции вниз М2=(V_m-V_min)/V_m. В то же время 100%-ная модуляция вверх (М_В=1) в два раза повышает амплитуду колебании при пиковых значениях моделирующего сообщения. Дальнейший рост этой амплитуды приводит к нежелательным искажениям из - за перегрузки выходных каскадов передатчика. Не менее опасно слишком глубокая АМ вниз. Форма огибающей перестает повторять форму модулирующего сигнала.

На заметку: при АМ не удается обеспечить широкий динамический диапазон передаваемых сигналов. Если амплитуда увеличивается вдвое, то мощность возрастает в четыре раза.

Относительная амплитудная модуляция:

 

(6.2)

 

Спектральный состав АМ – сигнала:

 

(6.3)

 

- несущая частота; - верхняя боковая частота; - нижняя боковая частота.

Амплитудная модуляция при сложном модулирующем сигнале:

 

S(t)= - модулирующий НЧ сигнал (6.4)

 

Подставив (2) в (1) получим:

 

(6.5)

 

Введем совокупность частичных коэффициентов модуляции: и получим сложно модулированный (многоканальный) АМ – сигнал:

 

(6.6)

 

Спектральное разложение:

 

(6.7)

 

Спектральная диаграмма модулирующего сигнала

 

Спектральная диаграмма многоканального АМ - сигнала

В спектре сложно модулированного АМ – сигнала помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величину . Спектр нижних боковых колебаний также повторяют спектральную диаграмму сигнала S(t), но располагается зеркально относительно несущей частоты . Итак: ширина спектра АМ – сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего НЧ сигнала.