Признак оптимальности в краткой форме

Для оптимальности допустимого вектора х= (х₁,х₂, …х_n,) в задаче 1 достаточно существования допустимого вектора y= (y₁,y₂,…..y_n) в задаче 1*, удовлетворяющего условию

m (х) = n (у)(16)

Тогда допустимый вектор y= (y₁,y₂,…..y_n) также является оптимальным в задаче 1*.

 

Доказательство.

Пусть вектор х допустимый и существует допустимый вектор у такой, что справедливо (16). Покажем, вектор х оптимальный.

Рассмотрим некоторый другой оптимальный вектор х′ в задаче 1 (х′≠х), тогда имеем пару векторов х′ и у. Для этой пары допустимых векторов справедлива лемма 1, т. е. m (х′) ≤ n (у) =m (х)и m (х′) ≤m (х). Отсюда следует что х – оптимальный вектор.

Покажем теперь, что вектор у также является оптимальным.

Рассмотрим некоторый другой оптимальный вектор у′ в задаче 1 (у′≠у), тогда имеем пару векторов х и у′. Для этой пары допустимых векторов справедливо лемма 1, т. е. n(у′)≥m(х)= n(у) и n(у)≤ n(у′). Отсюда следует что у – оптимальный вектор.▄

Признак оптимальности в развернутой форме

 

Для оптимальности допустимого вектора х= (х₁,х₂…,х_n,) в задаче 1 достаточно существование m-мерного вектора у =(у₁,у₂,у₃,…,у_m), удовлетворяющего условиям:

а) у_i і 0, iОI₂

б) еa_ijy_i + c_j = 0, jОJ_1,

iОI

в) еa_ijy_i + c_j, £ 0, jОJ_2,

iОI

г) еa_ijy_i + c_j, = 0, если х_j >0 для jОJ_2,

iОI

д) у_i = 0, если еa_ijx_j + b_i >0, iОI₂,

^jОJ

тогда вектор у является оптимальным в задаче 1*.

 

Пример применения признака оптимальности в развернутой форме

 

Как этим признаком пользоваться?

Предположим, что мы имеем допустимый вектор х, т.е. х_j ≥0 и такие, что , .

Тогда попытаемся найти вектор у из уравнений б), г), д). Эта система совместна и имеет единственное решение, если выполняются следующие условия:

1) Количество уравнений в системе m (совпадает с числом переменных);

2) Матрицы при неизвестных – неособенные

 

 

Пример применения признака оптимальности в развернутой форме

Проверить вектор на оптимальность в следующей задаче ЛП: Максимизировать при условиях:

Решение. Решение задачи необходимо начинать с проверки допустимости данного вектора . Подставляя значения компонент вектора в ограничении I^0 и 2^0, убеждаемся, что все они выполняются. Для проверки остальных условий признака оптимальности составляем двойственную задачу: Требуется найти вектор , удовлетворяющий условиям:

Пример применения признака оптимальности в развернутой форме

Проверить вектор на оптимальность в следующей задаче ЛП: Максимизировать при условиях:

еaijyi + cj, = 0, если хj >0 для jОJ2, i I – условие г)   Запишем условие г) признака оптимальности: (т.к. , следовательно, в первом и третьем ограничении условия 2^0 двойственной задачи достигается равенство)

Пример применения признака оптимальности в развернутой форме

Проверить вектор на оптимальность в следующей задаче ЛП: Максимизировать при условиях:

д) отсутствует, т.к. ни одно ограничение 2^0 основной задачи не выполняется как строгое неравенство. Из условия г) находим . Найден вектор . Проверяем его допустимость в двойственной задаче, т.е. выясняем, выполняются ли условия I^0 и 2^0 двойственной задачи. Т.к. все условия выполняются, вектор y является оптимальным в двойственной задаче, а вектор х =(1, 0, 1, 0)- оптимальным в основной задаче.

 

Основная теорема теории линейного программирования

И ее следствия

Для разрешимости задачи математического программирования (как и в любой оптимизационной задачи) необходимо, чтобы множество допустимых решений было не пусто, и целевая функция на этом множестве была ограничена сверху (если задача на максимум), либо снизу (если задача на минимум).

Теорема двойственности. Каковы бы ни были исходные данные, для задач 1 и 1* имеет место один из следующих взаимоисключающих случаев.

1. В задачах 1 и 1* имеются оптимальные векторы х и у и , т.е. обе задачи разрешимы.

2. В задаче 1 существуют допустимые векторы х из некоторого множества Х, но линейная функция на множестве этих векторов не ограничена сверху, т.е. , тогда в задаче 1* нет допустимых векторов.

3. В задаче 1* существуют допустимые векторы , но функция не ограничена снизу на множестве этих векторов, т.е. , тогда в задаче 1 нет допустимых векторов.

4. В задачах 1 и 1* нет допустимых векторов, то есть