Одноканальная смо с отказами

 

Рассмотрим простейшую из всех задач теории массового обслу­живания – задачу о функционировании одноканальной СМО с отка­зами.

Пусть система массового обслуживания состоит только из одного канала (n=1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с ин­тенсивностью λ, зависящей, в общем случае, от времени:

λ = λ (t) (3.1)

Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает си­стему.

Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени T_об, распределенного по показательному закону с параметром μ:

f(t) = μ e^-μt (t>0). (3.2)

Рис.1

Из этого следует, что «поток об­служиваний» - простейший, с интенсивностью μ. Чтобы представить
себе реально этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал – он будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью μ.

 

Требуется найти:

1) абсолютную пропускную способность СМО (А);

2) относительную пропускную способность СМО (q).

 

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний:

S₀ – свободен,

S₁ – занят.

Граф состояний системы показан на рис. 1.

Из состояния S₀ в S₁ систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью λ; из S₁ и S₀ – «поток обслуживании» с интенсив­ностью μ.

Обозначим вероятности состояний p₀(t) и р₁(t). Очевидно, для лю­бого момента t:

p₀(t) + р₁(t) = 1 (3.3)

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероят­ностей состояний согласно правилу, данному в предыдущем разделе. Имеем:

(3.4)

Из двух уравнений (3.4) одно является лишним, так как p₀ и р₁ свя­заны соотношением (3.3). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо р₁ его выражение (1– p₀):

или

(3.5)

Это уравнение естественно решать при начальных условиях:

p₀ (0)=1, p₁ (0)=0 (в начальный момент канал свободен).

Линейное дифференциальное уравнение (3.5) с одной неизвестной функцией p₀ легко может быть решено не только для простейшего по­тока заявок (λ = const), но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется (λ=λ(t)). He останавливаясь на последнем случае, приведем реше­ние уравнения (3.5) только для случая λ= const:

(3.6)

Зависимость величины p₀ от времени имеет вид изображенный на рис. 2. В начальный момент (при t =0)

Рис.2

канал заведомо свободен (p₀ (0)=1).

С увеличением t вероятность p₀ уменьшается и в пределе (при t →∞) равна . Величина p₀ (t), дополняющая p₀ (t) до единицы, изменяется как показано на том же рис. 2.

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами ее вероятность p₀ есть не что иное, как относительная пропускная способ­ность q.

Действительно, p₀ есть вероятность того, что в момент t канал сво­боден, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее от­ношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также рав­но p₀: q = p₀.

В пределе, при t →∞, когда процесс обслуживания уже устано­вится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

q = (3.7)

Зная относительную пропускную способность q, легко найти аб­солютную A. Они связаны очевидным соотношением:

А = λq. (3.8)

В пределе, при t →∞, абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна

A = . (3.9)

Зная относительную пропускную способность системы q (вероят­ность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:

Р_отк = 1 – q. (3.10)

Вероятность отказа Р_отк есть не что иное, как средняя до­ля необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при t →∞,

Р_отк = 1 – = (3.11)

 

Пример. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну теле­фонную линию. Заявка – вызов, пришедший в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов λ = 0,8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора t_об = 1,5 мин. Все потоки событий – про­стейшие. Определить предельные (при t →∞) значения:

1) относительной пропускной способности q;

2) абсолютной пропускной способности А;

3) вероятности отказа Р_отк.

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, ко­торая была бы, если бы каждый разговор длился в точности 1,5 мин, и разгово­ры следовали бы один за другим без перерыва.

Решение. Определяем параметр μ потока обслуживаний:

μ =1/ t_об = 1/1,5 = 0,667.

По формуле (3.6) получаем относительную пропускную способность СМО:

q = = 0,455.

Таким образом, в установившемся режиме система будет обслуживать около 45% поступающих вызовов.

По формуле (3.9) находим абсолютную пропускную способность:

А = λq = 0,8·0,455 » 0,364,

т. е. линия способна осуществить в среднем 0,364 разговора в минуту. Вероятность отказа:

Р_отк = 1 – q = 0,545,

значит около 55% поступивших вызовов будет получать отказ.

Номинальная пропускная способность канала:

A_ном = 1/ t_об = 0,667 (разговора в минуту),

что почти вдвое больше, чем фактическая пропускная способность, получаемая с учетом случайного характера потока заявок и случайности времени обслужи­вания.