Смо с ограниченным временем ожидания

 

До сих пор мы рассматривали СМО с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, раз ставшая в очередь, уже не по­кидает ее и «терпеливо» дожидается обслуживания. На практике не­редко встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпели­вые» заявки).

Рис.8

 

Рассмотрим СМО подобного типа, оставаясь в рамках марковской схемы. Предположим, что имеется n -канальная СМО с ожиданием, в ко­торой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заяв­ки в очереди ограничено некоторым случайным сроком Т_оч со средним значением _оч, таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди; действует как бы «поток уходов» с интенсивностью

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Будем снова нумеровать состояния системы по числу заявок, связанных с си­стемой – как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

S₀ – все каналы свободны,

S₁ – занят один канал, остальные свободны,

.......

S_k – заняты k каналов, остальные свободны,

.......

S_n – заняты все n каналов,

S_n+1 – заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди,

.......

S_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди,

.......

и т. д.

Граф состояний системы показан на рис. 8.

Разметим этот граф, т. е. проставим у стрелок соответствующие интенсивности. Снова, как и раньше, у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок λ. Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и рань­ше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех заня­тых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, веду­щих из них справа налево будет стоять суммарная интенсивность по­тока обслуживании всех n каналов n μ, плюс соответствующая интен­сивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна r ν.

Как видно из графа, перед нами опять схема гибели и размноже­ния; применяя общие выражения для предельных вероятностей состоя­ний в этой схеме, напишем:

или, вводя обозначения:

ρ = λ / μ, β = ν / μ,

(7.1)

Отметим некоторые особенности рассмотренной СМО с «нетерпе­ливыми» заявками по сравнению с ранее рассмотренной СМО с «тер­пеливыми» заявками.

Если длина очереди не ограничена заранее никаким числом и за­явки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предель­ный режим существует только в случае ρ < n (при ρ ≥ n соответствую­щая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физичес­ки соответствует неограниченному росту очереди при t →∞). Напро­тив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при t →∞ дости­гается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок ρ. Это следует из того, что ряд в знаменателе первой формулы (7.1) сходится при любых положительных значениях ρ и β.

Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность от­каза» не имеет смысла – каждая заявка становится в очередь, но мо­жет и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительную пропускную способность q такой СМО можно под­считать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

.

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью ν. Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем бу­дет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу вре­мени; всего в единицу времени в среднем будет обслужено

A = λ– (7.3)

заявок. Относительная пропускная способность СМО будет

(7.4)

Среднее число занятых каналов z по-прежнему получим, деля аб­солютную пропускную способность на μ:

(7.5)

Это позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не сум­мируя бесконечного ряда (7.2). Действительно, из (7.5) получим:

(7.6)

а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0,1, 2,.... n с вероятностями р₀, р₁, р₂,..., [1 – (p₀ + p₁ +…+ p_n-1)]:

 

= 0· р₀ + 1· р₁ + 2· р₂ + … + n ·[1 – (p₀ + p₁ +…+ p_n-1)] =

= р₁ + 2 р₂ + … + n [1 – (p₀ + p₁ +…+ p_n-1)]. (7.7)